考点7二次函数-2022四川中考数学试题分类汇编(原卷版+解析)

考点7：二次函数1.(2023成都）如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（）A.B.当时，的值随值的增大而增大C.点的坐标为D.2．(2023内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于两点（x1，0）、（2，0），其中0＜x1＜1．下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2a﹣c＞0；④不等式ax2+bx+c＞﹣x+c的解集为0＜x＜x1．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．13.(2023达州）二次函数的部分图象如图所示，与y轴交于，对称轴为直线．以下结论：①；②；③对于任意实数m，都有成立；④若，，在该函数图象上，则；⑤方程（，k为常数）的所有根的和为4．其中正确结论有（）A.2 B.3 C.4 D.54.(2023广安）已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，与x轴正半轴的交点为A（3，0），其部分图象如图所示，有下列结论：①abc>0；②2c﹣3b<0；③5a+b+2c=0；④若B（，y1）、C（，y2）、D（，y3）是抛物线上的三点，则y1<y2<y3．其中正确结论的个数有（）

A.1 B.2 C.3 D.45.(2023广元）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）abc＜0；（2）4a+c＞2b；（3）3b﹣2c＞0；（4）若点A（﹣2，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）4a+2b≥m（am+b）（m为常数）．其中正确的结论有（）A.5个 B.4个 C.3个 D.2个6.(2023凉山州）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0）和点（0，－3），且对称轴在y轴的左侧，则下列结论错误的是（）A.a＞0B.a＋b＝3C.抛物线经过点（－1，0）D.关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根7.(2023泸州）抛物线经平移后，不可能得到的抛物线是（）A. B.C. D.8.(2023绵阳）如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列四个结论：①，②，③，④．正确结论的个数为（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个9.(2023南充）已知点在抛物线上，当且时，都有，则m的取值范围为（）A. B. C. D.10.(2023雅安）抛物线的函数表达式为y＝（x﹣2）2﹣9，则下列结论中，正确的序号为（）①当x＝2时，y取得最小值﹣9；②若点（3，y1），（4，y2）在其图象上，则y2＞y1；③将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y＝（x﹣5）2﹣5；④函数图象与x轴有两个交点，且两交点的距离为6．②③④ B.①②④ C.①③ D.①②③④11.(2023宜宾）已知抛物线的图象与x轴交于点、，若以AB为直径的圆与在x轴下方的抛物线有交点，则a的取值范围是（）A. B. C. D.12.(2023自贡）已知A(−3，−2)，B(1，−2)，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：①c≥−2

；②当x>0时，一定有y随x的增大而增大；③若点D横坐标的最小值为−5，点C横坐标的最大值为3；④当四边形ABCD为平行四边形时，a=．其中正确的是（）A.①③ B.②③ C.①④ D.①③④13.(2023成都）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度（米）与物体运动的时间（秒）之间满足函数关系，其图像如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设表示0秒到秒时的值的“极差”（即0秒到秒时的最大值与最小值的差），则当时，的取值范围是_________；当时，的取值范围是_________．

14.(2023广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________米，水面宽8米．

15.(2023南充）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高_______________m时，水柱落点距O点．

16.(2023遂宁）抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m=a-b+c，则m的取值范围是______．17.(2023遂宁）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如，都是“黎点”．（1）求双曲线上的“黎点”；（2）若抛物线（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当时，求c的取值范围．18．(2023内江）（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求点P的坐标．19.(2023成都）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧），点关于轴的对称点为．（1）当时，求，两点的坐标；（2）连接，，，，若的面积与的面积相等，求的值；（3）试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．20.(2023达州）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．

（1）求该二次函数的表达式；（2）连接，在该二次函数图象上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；（3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线，分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．21.(2023德阳）抛物线的解析式是．直线与轴交于点，与轴交于点，点与直线上的点关于轴对称．（1）如图①，求射线的解析式；（2）在（1）的条件下，当抛物线与折线有两个交点时，设两个交点的横坐标是x1，x2（），求的值；（3）如图②，当抛物线经过点时，分别与轴交于，两点，且点在点的左侧．在轴上方的抛物线上有一动点，设射线与直线交于点．求的最大值．22.(2023广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）．

（1）求此抛物线的函数解析式．（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．23.(2023广元）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．

（1）求a，b满足的关系式及c的值；（2）当a＝时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△PAB周长的最小值；（3）当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值．24.(2023乐山）如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C，且．（1）求二次函数的解析式；（2）如图2，过点C作轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连接PB、PC，若，求点P的坐标；（3）如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连接OP交BC于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示的值，并求的最大值．25.(2023凉山州）在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A（－1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P的坐标；（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP＋ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．26.(2023泸州）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，两点，直线与轴交于点．（1）求，的值；（2）经过点的直线分别与线段，直线交于点，，且与的面积相等，求直线的解析式；（3）是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段和直线上是否分别存在点，，使，，，为顶点的四边形是以为一边的矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．27.(2023眉山）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为．（1）求点的坐标；（2）如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值；（3）如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．28.(2023绵阳）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A(-1，0)，B两点，交y轴于点C(0，3)，顶点D的横坐标为1．（1）求抛物线的解析式；（2）在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB＋∠ACB＝180°．若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．29.(2023南充）抛物线与x轴分别交于点，与y轴交于点．（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，顶点P在抛物线上，如果面积为某值时，符合条件的点P有且只有三个，求点P的坐标．（3）如图2，点M在第二象限的抛物线上，点N在延长线上，，连接并延长到点D，使．交x轴于点E，与均为锐角，，求点M的坐标．30.(2023遂宁）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，点C的坐标为．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，E为边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为，求周长的最小值；（3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，面积为，当为等腰三角形时，求点N的坐标．31.(2023雅安）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），且与y轴交于点C（0，﹣3）．

（1）求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点E，使△ACE为Rt△，若存在，试求点E的坐标，若不存在，请说明理由；（3）在平面直角坐标系中，存在点P，满足PA⊥PD，求线段PB的最小值．32.(2023宜宾）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，其顶点为点D，连结AC．

（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标；（2）在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点、AC为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标；（3）在（2）的条件下，将点D向下平移5个单位得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值．33.(2023自贡）已知二次函数．（1）若，且函数图象经过，两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与轴交点及顶点的坐标；（2）在图①中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值时自变量的取值范围；（3）若且，一元二次方程两根之差等于，函数图象经过，两点，试比较的大小．考点7：二次函数1.(2023成都）如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（）A.B.当时，的值随值的增大而增大C.点的坐标为D.答案:D解析：分析：结合二次函数图像与性质，根据条件与图像，逐项判定即可．【详解】解：A、根据图像可知抛物线开口向下，即，故该选项不符合题意；B、根据图像开口向下，对称轴为，当，随的增大而减小；当，随的增大而增大，故当时，随的增大而增大；当，随的增大而减小，故该选项不符合题意；C、根据二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，可得对称轴，解得，即，故该选项不符合题意；D、根据可知，当时，，故该选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，根据图像得到抛物线开口向下，根据对称轴以及抛物线与轴交点得到是解决问题的关键．2．(2023内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于两点（x1，0）、（2，0），其中0＜x1＜1．下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2a﹣c＞0；④不等式ax2+bx+c＞﹣x+c的解集为0＜x＜x1．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1分析：利用二次函数的图象和性质依次判断即可．【解答】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴，∴a＞0，b＜0，c＞0，∴abc＜0，∴①正确．∵当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴②错误．∵抛物线对称轴x＝﹣＞1，a＞0，∴b＜﹣2a，∵a+b+c＜0，∴a﹣2a+c＜0，∴2a﹣c＞a＞0，∴③正确．如图：设y1＝ax2+bx+c，y2＝﹣x+c，由图值，y1＞y2时，x＜0或x＞x1，故④错误．故选：C．【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．3.(2023达州）二次函数的部分图象如图所示，与y轴交于，对称轴为直线．以下结论：①；②；③对于任意实数m，都有成立；④若，，在该函数图象上，则；⑤方程（，k为常数）的所有根的和为4．其中正确结论有（）A.2 B.3 C.4 D.5答案:A解析：分析：根据图象可判断，即可判断①正确；令，解得，根据图得，，再由顶点坐标的纵坐标的范围即可求出a的范围，即可判断②错误；由代入变形计算即可判断③错误；由抛物线的增减性和对称性即可判断④错误；分类讨论当时，当时，再根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可判断⑤正确．【详解】二次函数的部分图象与y轴交于，对称轴为直线，抛物线开头向上，，，，故①正确；令，解得，由图得，，解得，抛物线的顶点坐标为，由图得，，解得，，故②错误；，可化为，即，，若成立，则，故③错误；当时，随的增大而减小，，，对称轴为直线，时与时所对应的值相等，，故④错误；，当时，，，当时，，，，故⑤正确；综上，正确的个数为2，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，一元二次方程求根公式，根与系数的关系等，熟练掌握知识点，能够运用数形结合的思想是解题的关键．4.(2023广安）已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，与x轴正半轴的交点为A（3，0），其部分图象如图所示，有下列结论：①abc>0；②2c﹣3b<0；③5a+b+2c=0；④若B（，y1）、C（，y2）、D（，y3）是抛物线上的三点，则y1<y2<y3．其中正确结论的个数有（）

A.1 B.2 C.3 D.4答案:C解析：分析：根据二次函数的图象与性质一一判断即可．【详解】解：由图像可知，开口向上，图像与y轴负半轴有交点，则，，对称轴为直线，则，∴，故①正确；当时，，∵，∴，即∴，故②正确；∵对称轴为直线，∴抛物线与x轴负半轴交点为（，0），∴，∵，两式相加，则，∴，故③错误；∵，，，∴，∴根据开口向上，离对称轴越近其对应的函数值越小，则有，故④正确；∴正确的结论有3个，故选：C【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象及性质，能够通过函数图象提取信息是解题的关键．5.(2023广元）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）abc＜0；（2）4a+c＞2b；（3）3b﹣2c＞0；（4）若点A（﹣2，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）4a+2b≥m（am+b）（m为常数）．其中正确的结论有（）A.5个 B.4个 C.3个 D.2个答案:C解析：分析：由图象可知，对称轴为直线，与x轴的一个交点为，然后可得，则有，进而可判断（1）（2）（3），最后根据函数的性质可进行判断（4）（5）．【详解】解：由图象及题意得：，对称轴为直线，与x轴的一个交点为，∴，∴，即，∴，故（1）（3）正确；由图象可知当x=-2时，则有，即，故（2）错误；∵点A（﹣2，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，∴根据二次函数开口向下，离对称轴的距离越近，其所对应的函数值越大，∴，故（4）错误；由图象可知当x=2时，该函数有最大值，最大值为，∴当x=m时，（m为常数），则有，∴，即为，故（5）正确；综上所述：正确的有（1）（3）（5）共3个；故选C．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．6.(2023凉山州）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0）和点（0，－3），且对称轴在y轴的左侧，则下列结论错误的是（）A.a＞0B.a＋b＝3C.抛物线经过点（－1，0）D.关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根答案:C解析：分析：根据抛物线的图像与性质，根据各个选项的描述逐项判定即可得出结论．【详解】解：A、根据抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0）和点（0，－3），且对称轴在y轴的左侧可知，故该选项不符合题意；B、由抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0）和点（0，－3）可知，解得，故该选项不符合题意；C、若抛物线经过点（－1，0），由抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0），可得对称轴，但对称轴在y轴的左侧，则抛物线与轴的另一个交点在（－1，0）左侧，故该选项符合题意；D、关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1根的情况，可以转化为抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≤0）与直线的交点情况，根据抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0）和点（0，－3），，结合抛物线开口向上，且对称轴在y轴的左侧可知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≤0）与直线的有两个不同的交点，故该选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，涉及到开口方向的判定、二次函数系数之间的关系、方程的根与函数图像交点的关系等知识点，根据题中条件得到抛物线草图是解决问题的关键．7.(2023泸州）抛物线经平移后，不可能得到的抛物线是（）A. B.C. D.答案:D解析：分析：通过了解平移过程，得到二次函数平移过程中不改变开口大小和开口方向，所以a不变，选出答案即可．【详解】解：抛物线经平移后，不改变开口大小和开口方向，所以a不变，而D选项中a=-1，不可能是经过平移得到，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数平移的知识点，上加下减，左加右减，熟练掌握方法是解题关键，还要掌握通过平移不能改变开口大小和开口方向，即不改变a的大小．8.(2023绵阳）如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列四个结论：①，②，③，④．正确结论的个数为（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案:B解析：分析：根据二次函数的对称性，即可判断①；由开口方向和对称轴即可判断②；根据抛物线与x轴的交点已经x=-1时的函数的取值，即可判断③；根据抛物线的开口方向、对称轴，与y轴的交点以及a－b＋c＜0，即可判断④．【详解】∵对称轴为直线x=1，-2<x1<-1，∴3＜x2＜4，①正确，∵=1，∴b=-2а，∴3a＋2b=3a-4a=-a，∵a＞0，∴3a+2b<0，②错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac>0，根据题意可知x=-1时，y<0，∴a－b＋c<0，∴a＋c<b，∵a＞0，∴b=-2a<0，∴a＋c<0，∴b2-4ac>a+c，∴b2＞a＋c＋4ac，③正确；∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，∴a＞0，c<0，∴a>c，∵a-b＋c<0，b=-2a，∴3a+c<0，∴c<-3a，∴b=–2a，∴b＞c，以④错误；故选B【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的对称性．9.(2023南充）已知点在抛物线上，当且时，都有，则m的取值范围为（）A. B. C. D.答案:A解析：分析：根据题意可得，抛物线的对称轴为，然后分四种情况进行讨论分析，最后进行综合即可得出结果．【详解】解：根据题意可得，抛物线的对称轴为，①当0<m<时，恒成立；②当时，恒不成立；③当时，使恒成立，∴m，∴m，，④当时，恒不成立；综上可得：，故选：A．【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质，理解题意，熟练掌握二次函数的基本性质是解题的关键．10.(2023雅安）抛物线的函数表达式为y＝（x﹣2）2﹣9，则下列结论中，正确的序号为（）①当x＝2时，y取得最小值﹣9；②若点（3，y1），（4，y2）在其图象上，则y2＞y1；③将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y＝（x﹣5）2﹣5；④函数图象与x轴有两个交点，且两交点的距离为6．②③④ B.①②④ C.①③ D.①②③④答案:B解析：分析：由二次函数的开口向上，函数有最小值，可判断①，由二次函数的增减性可判断②，由二次函数图象的平移可判断③，由二次函数与x轴的交点坐标可判断④，从而可得答案．【详解】解：y＝（x﹣2）2﹣9，图象的开口向上，∴当x＝2时，y取得最小值﹣9；故①符合题意；y＝（x﹣2）2﹣9的对称轴为，而故②符合题意；将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y＝（x+1）2﹣5，故③不符合题意；当时，则解得：而故④符合题意；故选B【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，二次函数与x轴的交点问题，掌握“二次函数的图象与性质”是解本题的关键．11.(2023宜宾）已知抛物线的图象与x轴交于点、，若以AB为直径的圆与在x轴下方的抛物线有交点，则a的取值范围是（）A. B. C. D.答案:A解析：分析：根据题意，设抛物线的解析式为，进而求得顶点的的坐标，结合图形可知当顶点纵坐标小于或等于-3满足题意，即可求解．【详解】解：抛物线的图象与x轴交于点、，设抛物线的解析式为顶点坐标为，,以AB为直径的圆与在x轴下方的抛物线有交点，则圆的半径为3，如图，解得故选：A【点睛】本题考查了圆的的性质，二次函数图象的性质，求得抛物线的顶点纵坐标的范围是解题的关键．12.(2023自贡）已知A(−3，−2)，B(1，−2)，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：①c≥−2

；②当x>0时，一定有y随x的增大而增大；③若点D横坐标的最小值为−5，点C横坐标的最大值为3；④当四边形ABCD为平行四边形时，a=．其中正确的是（）A.①③ B.②③ C.①④ D.①③④答案:D解析：分析：根据顶点在线段AB上抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）可以判断出c的取值范围，可判断①；根据二次函数的增减性判断②；先确定x=1时，点D的横坐标取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点C的横坐标，即可判断③；令y=0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB=CD，然后列出方程求出a的值，判断④．【详解】解：∵点A，B的坐标分别为(-3，-2)和(1，-2)，∴线段AB与y轴的交点坐标为(0，-2)，又∵抛物线顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为(0，c)，∴C≥-2，(顶点在y轴上时取“=”)，故①正确；∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，∴当x＞1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误；若点D的横坐标最小值为-5，则此时对称轴为直线x=-3，根据二次函数的对称性，点C的横坐标最大值为1+2=3，故③正确；令y=0，则ax2+bx+c=0，设该方程的两根为x1，x2，则x1+x2=-，x1x2=，∴CD2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2，根据顶点坐标公式，，∴，即，∵四边形ACDB为平行四边形，∴CD=AB=1-（-3)=4，∴=42=16，解得a=，故④正确；综上所述，正确的结论有①③④．故选：D．．【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，要注意顶点在y轴上的情况．13.(2023成都）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度（米）与物体运动的时间（秒）之间满足函数关系，其图像如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设表示0秒到秒时的值的“极差”（即0秒到秒时的最大值与最小值的差），则当时，的取值范围是_________；当时，的取值范围是_________．

答案:①.②.解析：分析：根据题意，得-45+3m+n=0，，确定m，n的值，从而确定函数的解析式，根据定义计算确定即可．【详解】根据题意，得-45+3m+n=0，，∴，∴，解得m=50，m=10，当m=50时，n=-105；当m=10时，n=15；∵抛物线与y轴交于正半轴，∴n＞0，∴，∵对称轴为t==1，a=-5＜0，∴时，h随t的增大而增大，当t=1时，h最大，且（米）；当t=0时，h最最小，且（米）；∴w=，∴w的取值范围是，故答案为：．当时，的取值范围是∵对称轴为t==1，a=-5＜0，∴时，h随t的增大而减小，当t=2时，h=15米，且（米）；当t=3时，h最最小，且（米）；∴w=，w=，∴w的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题考查了待定系数法确定抛物线的解析式，函数的最值，增减性，对称性，新定义计算，熟练掌握函数的最值，增减性，理解新定义的意义是解的关键．14.(2023广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________米，水面宽8米．

答案:##解析：分析：根据已知得出直角坐标系，通过代入A点坐标（3，0），求出二次函数解析式，再根据把x=4代入抛物线解析式得出下降高度，即可得出答案．【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，由题意可得：AO=OB=3米，C坐标为（0，2），

通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，把点A点坐标（3，0）代入得，∴，∴，∴抛物线解析式为：；当水面下降，水面宽为8米时，有把代入解析式，得；∴水面下降米；故答案为：；【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．15.(2023南充）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高_______________m时，水柱落点距O点．

答案:5.5解析：分析：设原抛物线的解析式为，当向上移动1.5米到4米高度时，抛物线解析式为：，将两个交点分别代入求解确定原解析式，设向上平移k个单位后，，将点（4,0）代入求解，然后结合题意即可得出结果．【详解】解：设原抛物线的解析式为，根据题意可得，与x轴交于点（2.5,0）代入得：①，当向上移动1.5米到4米高度时，抛物线解析式为：，与x轴交于点（4,0），代入得②，联立①②求解可得：，∴将其代入②解得，∴原抛物线的解析式为，设向上平移k个单位后，∴与x轴交点为（4,0），代入得：解得：k=3，∴原抛物线向上移动3个单位，即喷头高3+2.5=5.5米，故答案为：5.5．【点睛】题目主要考查二次函数的应用，理解题意，设出二次函数的解析式，然后利用待定系数法求解是解题关键．16.(2023遂宁）抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m=a-b+c，则m的取值范围是______．答案:解析：分析：由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置及抛物线经过（1，0）可得a，b，c的等量关系，然后将x=-1代入解析式求解．【详解】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴在y轴左侧，∴-＜0，∴b＞0，∵抛物线经过（0，-2），∴c=-2，∵抛物线经过（1，0），∴a+b+c=0，∴a+b=2，b=2-a，∴y=ax2+（2-a）x-2，当x=-1时，y=a+a-2-2=2a-4，∵b=2-a＞0，∴0＜a＜2，∴-4＜2a-4＜0，故答案为：-4＜m＜0．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．17.(2023遂宁）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如，都是“黎点”．（1）求双曲线上的“黎点”；（2）若抛物线（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当时，求c的取值范围．答案:（1）上的“黎点”为，（2）解析：分析：（1）设双曲线上的“黎点”为，构建方程求解即可；（2）抛物线（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，推出方程有且只有一个解，，可得结论．【小问1详解】设双曲线上的“黎点”为，则有，解得，∴上的“黎点”为，．【小问2详解】∵抛物线上有且只有一个“黎点”，∴方程有且只有一个解，即，，，∴．∵，∴．【点睛】本题考查反比例函数图象上的点特征，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．18．(2023内江）（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求点P的坐标．分析：（1）运用待定系数法即可解决问题；（2）过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，过点D作DE⊥AC于E，可用待定系数法求出直线AC的解析式，设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，从而可以用m的代数式表示出DG，然后利用cos∠EDG＝cos∠CAO得到DE＝DG，可得出关于m的二次函数，运用二次函数的最值即可解决问题；（3）根据S△PCB：S△PCA＝EB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE，即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；（2）过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，过点D作DE⊥AC于E，如图．设直线AC的解析式为y＝kx+t，则，解得：，∴直线AC的解析式为y＝x+2．设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，∴DH＝﹣m2﹣m+2，GH＝m+2∴DG＝﹣m2﹣m+2﹣m﹣2＝﹣m2﹣m，∵DE⊥AC，DH⊥AB，∴∠EDG+DGE＝AGH+∠CAO＝90°，∵∠DGE＝∠AGH，∴∠EDG＝∠CAO，∴cos∠EDG＝cos∠CAO＝＝，∴，∴DE＝DG＝（﹣m2﹣m）＝﹣（m2+4m）＝﹣（m+2）2+，∴当m＝﹣2时，点D到直线AC的距离取得最大值．此时yD＝﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+2＝2，即点D的坐标为（﹣2，2）；（3）如图，设直线CP交x轴于点E，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，又∵S△PCB：S△PCA＝EB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE，则BE：AE＝1：5或5：1则AE＝5或1，即点E的坐标为（1，0）或（﹣3，0），将点E的坐标代入直线CP的表达式：y＝nx+2，解得：n＝﹣2或，故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+2或y＝x+2，联立方程组或，解得：x＝6或﹣（不合题意值已舍去），故点P的坐标为（6，﹣10）或（﹣，﹣）．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，锐角三角函数、图象面积计算等，解决问题的关键是将面积比转化为线段比．19.(2023成都）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧），点关于轴的对称点为．（1）当时，求，两点的坐标；（2）连接，，，，若的面积与的面积相等，求的值；（3）试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．答案:（1）点的坐标为，点的坐标为（2）或（3）是，解析：分析：(1)解方程组，整理得到，解方程即可得到答案．(2)分k＜0和k＞0，两种情形求解．(3)设直线A的解析式为y=px+q，根据题意求得p，q的值，结合方程组的意义，确定与y轴的交点即可．【小问1详解】根据题意，得，整理得到，解方程，得，当x=-3时，y=-9；当x=1时，y=-1；∵点在点的左侧，∴点的坐标为（-3，-9），点的坐标为（1，-1）．【小问2详解】∵A，B是抛物线图像上的点，设A（m，），B（n，），则（-n，），当k＞0时，根据题意，得，整理得到，∴m，n是两个根，∴，设直线y=kx-3与y轴的交点为D，则点D（0，-3）∴，，∴==，∴3==，∴，∵n≠0，∴，，∴，解得k=或k=-(舍去)，故k=；当k＜0时，根据题意，得，整理得到，∴m，n是的两个根，∴，设直线y=kx-3与y轴的交点为D，则点D（0，-3）∴，，∴==，∴3==-，∴-，∵n≠0，∴，，∴，解得k=-或k=(舍去)，故k=-；综上所述，k的值为或．【小问3详解】直线A一定过定点（0，3）．理由如下：∵A，B是抛物线图像上的点，∴设A（m，），B（n，），则（-n，），根据题意，得，整理得到，∴m，n是的两个根，∴，设直线A的解析式为y=px+q，根据题意，得，解得，∴直线A的解析式为y=（n-m）x-mn，∵mn=-3，∴-mn=3，∴直线A的解析式为y=（n-m）x+3，故直线A一定过定点（0，3）．【点睛】本题考查了抛物线与一次函数的交点问题，待定系数法，一元二次方程根与系数关系定理，对称性，熟练掌握抛物线与一次函数的交点，及其根与系数关系定理是解题的关键．20.(2023达州）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．

（1）求该二次函数的表达式；（2）连接，在该二次函数图象上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；（3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线，分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．答案:（1）（2）或（3）解析：分析：（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）根据题意，分情况讨论，①过点作关于的对称点，即可求P的坐标，②轴上取一点，使得，则，设，根据勾股定理求得，建列方程，解方程求解即可；（3）设，，过点作轴于点，则，证明，根据相似三角形的性质列出比例式求得，即可求解．【小问1详解】解：∵由二次函数，令，则，，过点，，设二次函数的表达式为，将点代入得，，解得，，【小问2详解】二次函数的图象经过点，，抛物线的对称轴为，①如图，过点作关于的对称点，，，，，②轴上取一点，使得，则，设，则，，解得，即，设直线CD的解析式为，，解得，直线CD的解析式为，联立，解得或，，综上所述，或，

【小问3详解】的值是定值，设，，过点作轴于点，则，

，，，，，即，，，，，．即的值是定值【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，角度问题，相似三角形的性质与判定，掌握二次函数的性质是解题的关键．21.(2023德阳）抛物线的解析式是．直线与轴交于点，与轴交于点，点与直线上的点关于轴对称．（1）如图①，求射线的解析式；（2）在（1）的条件下，当抛物线与折线有两个交点时，设两个交点的横坐标是x1，x2（），求的值；（3）如图②，当抛物线经过点时，分别与轴交于，两点，且点在点的左侧．在轴上方的抛物线上有一动点，设射线与直线交于点．求的最大值．答案:（1），（2）4（3）解析：分析：（1）先求出直线与坐标轴的交点M、E的坐标，根据G(5,-3)、F关于x轴对称求出F点坐标，再利用待定系数法即可求解；（2）求出抛物线的对称轴x=2，可确定M点在抛物线对称轴上，可确定抛物线与折线EMF的两个交点，必然是一个点落在射线ME上，一个点落在射线MF，即可得到，①-②，得到，则问题得解；（3）先求出抛物线的解析式，再求出抛物线与x轴的交点A、B坐标，设P点坐标为，根据A、P的坐标求出直线AP的解析式，即可求出AP与ME的交点N的坐标，即可用含a的代数式表示出和，即可得到，则问题得解．【小问1详解】∵直线与坐标轴交于点M、E，∴令x=0时，y=2；令y=0时，x=2，∴M点坐标为(2,0)，E点坐标为(0,2)，∵G(5,-3)，且点G、F关于x轴对称，∴F(5,3)，设射线MF的解析式为，，∵M点坐标为(2,0)，F(5,3)，∴，解得：，∴射线MF的解析式为，，【小问2详解】根据题意可知射线ME的解析式为：，，在（1）中已求得射线MF的解析式为，，∵的对称轴为x=2，又∵M点(2,0)，∴M点刚好在的对称轴为x=2上，∴抛物线与折线EMF的两个交点，必然是一个点落在射线ME上，一个点落在射线MF，∵，∴此时交点的坐标为、，且、，∵、在抛物线上，∴，由①-②，得：，整理得：∵、，∴，∴，∴，∴；【小问3详解】∵抛物线过点C(0,5)，∴代入C点坐标可得a=5，∴抛物线解析式，令y=0，得，解得：，，∴A点坐标(-1,0)、B点坐标为(5,0)，∵P点在抛物线上，∴设P点坐标为，显然A、P不重合，即a≠-1，∵P点在x轴上方，∴，设直线AP的解析式为，∴即有，解得，即直线AP的解析式为：，联立，解得，∴N点坐标为，∵P点坐标为，A点坐标(-1,0)，∴，∴，∴，∴，∵，且通过图像可知，只有当P点在直线ME上方时，的值才有可能取得最大值，∴，即，∴即有，∴，∴当时，取的最大值，且最大值为：，即的最大值为．【点睛】本题考查了用待定系数法求解析式、抛物线与一元二次方程的根的知识、勾股定理、二次函数求最值等知识，本题的计算量较大，仔细化简所表示出和的代数式是解答本题的关键．22.(2023广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）．

（1）求此抛物线的函数解析式．（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．答案:（1）（2）（-2，-4）（3）P点坐标为：（-1，3），（-1，-5），，解析：分析：（1）直接将B（0，-4），C（2，0）代入，即可求出解析式；（2）先求出直线AB关系式为：，直线AB平移后的关系式为：，当其与抛物线只有一个交点时，此时点D距AB最大，此时△ABD的面积最大，由此即可求得D点坐标；（3）分三种情况讨论，①当∠PAB=90°时，即PA⊥AB，则设PA所在直线解析式为：，将A（-4,0）代入得，解得：，此时P点坐标为：（-1,3）；②当∠PBA=90°时，即PB⊥AB，则设PB所在直线解析式为：，将B（0，-4）代入得，，此时P点坐标为：（-1,-5）；③当∠APB=90°时，设P点坐标为：，由于PA所在直线斜率为：，PB在直线斜率为：，=-1，则此时P点坐标为：，．【小问1详解】解：将B（0，-4），C（2，0）代入，得：，解得：，∴抛物线的函数解析式为：．【小问2详解】向下平移直线AB，使平移后的直线与抛物线只有唯一公共点D时，此时点D到直线AB的距离最大，此时△ABD的面积最大，∵时，，，∴A点坐标为：（-4,0），设直线AB关系式为：，将A（-4,0），B（0，-4），代入，得：，解得：，∴直线AB关系式为：，设直线AB平移后的关系式为：，则方程有两个相等的实数根，即有两个相等的实数根，∴，即的解为：x=-2，将x=-2代入抛物线解析式得，，∴点D的坐标为：（-2，-4）时，△ABD的面积最大；【小问3详解】①当∠PAB=90°时，即PA⊥AB，则设PA所在直线解析式为：，将A（-4,0）代入得，，解得：，∴PA所在直线解析式为：，∵抛物线对称轴为：x=-1，∴当x=-1时，，∴P点坐标为：（-1，3）；②当∠PBA=90°时，即PB⊥AB，则设PB所在直线解析式为：，将B（0，-4）代入得，，∴PA所在直线解析式为：，∴当x=-1时，，∴P点坐标为：（-1，-5）；③当∠APB=90°时，设P点坐标为：，∴PA所在直线斜率为：，PB在直线斜率为：，∵PA⊥PB，∴=-1，解得：，，∴P点坐标为：，综上所述，P点坐标为：（-1，3），（-1，-5），，时，△PAB为直角三角形．【点睛】本题主要考查的是二次函数图象与一次函数、三角形的综合，灵活运用所学知识是解题的关键．23.(2023广元）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．

（1）求a，b满足的关系式及c的值；（2）当a＝时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△PAB周长的最小值；（3）当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值．答案:（1）2a=b+1，c=-2；（2）△PAB的周长最小值是2+2；（3）此时Q（-1，-2），DQ最大值为．解析：分析：（1）先求得点A、点B的坐标，再利用待定系数法求解即可；（2）先利用对称性找出△PAB周长最小时点P的位置，此时AP=CP，△PAB的周长最小值为：PB+PA+AB=BC+AB，根据勾股定理求出AB、BC的长即可求出△PAB最小值；（3）过点Q作QF⊥x轴交于F点，交直线AB于点E，得到∠QED=∠EQD=45°，推出QD=ED=EQ，设Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），求得QE=-t2-2t，再利用二次函数的性质即可求解．【小问1详解】解：∵直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(0，-2)，∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，∴，∴2a=b+1，c=-2；【小问2详解】解：当a=时，则b=-，∴抛物线的解析式为y=x2-x-2，抛物线的对称轴为直线x=1，∵点A的坐标为(-2，0)，∴点C的坐标为(4，0)，△PAB的周长为：PB+PA+AB，且AB是定值，∴当PB+PA最小时，△PAB的周长最小，∵点A、C关于直线x=1对称，∴连接BC交直线x=1于点P，此时PB+PA值最小，∵AP=CP，∴△PAB的周长最小值为：PB+PA+AB=BC+AB，∵A（-2，0），B（0，-2），C（4，0），∴OA=2，OB=2，OC=4，由勾股定理得BC=2，AB=2，∴△PAB的周长最小值是：2+2．【小问3详解】解：当a=1时，b=1，∴抛物线的解析式为y=x2+x-2，过点Q作QF⊥x轴交于F点，交直线AB于点E，∵A（-2，0），B（0，-2），∴OA=OB，∴∠OAB=45°，∵QD⊥AB，∴∠AEF=∠QED=∠EQD=45°，∴QD=ED=EQ，设Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），∴QE=-t-2-(t2+t-2)=-t2-2t，∴DQ=QE=-(t2+2t)=-(t+1)2+，当t=-1时，DQ有最大值，此时Q（-1，-2）．【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．24.(2023乐山）如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C，且．（1）求二次函数的解析式；（2）如图2，过点C作轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连接PB、PC，若，求点P的坐标；（3）如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连接OP交BC于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示的值，并求的最大值．答案:（1）；（2）P（1+）或（1-）；（3）解析：分析：（1）在Rt△AOC中求出OC的长，从而确定点C的坐标，将二次函数设为交点式，将点C的坐标代入，进一步求得结果；（2）可分为点P在第三象限和第一象限两种情况：当点P在第三象限时，设点P（a，），可表示出△BCD的面积，作PE∥AB交BC于E，先求出直线BC，从而得到E点坐标，从而表示出△PBC的面积，根据S△PBC=S△BCD，列出方程，进一步求得结果，当P在第一象限，同样的方法求得结果；（3）作PN⊥AB于N，交BC于M，根据P（t，），M（t，），表示出PM的长，根据PN∥OC，得出△PQM∽△OQC，从而得出，从而得出的函数表达式，进一步求得结果．【小问1详解】∵A（-1，0），∴OA=1，又∵∠AOC=90°，tan∠OAC=，∴OC=2OA=2即点C的坐标为（0，-2），设二次函数的解析式为y=a（x+1）（x-2），将C点坐标代入得：a=1，∴y=（x+1）（x-2）=；【小问2详解】设点P（a，），如图所示，当点P在第三象限时，作PE∥AB交BC于E，∵B（2，0），C（0，-2），∴直线BC的解析式为：y=x-2，∴当时，x=y+2=，∴PE==，∴S△PBC=PE·OC，∵抛物线的对称轴为y=，CD∥x轴，C（0，-2），∴点D（1，-2），∴CD=1，∴S△BCD=CD·OC，∴PE·OC=CD·OC，∴a2-2a=1，解得a1=1+（舍去），a2=1-；当x=1-时，y==a-1=-，∴P（1-，-），如图，当点P在第一象限时，作PE⊥x轴于点E，交直线BC于F，∴F（a，a-2），∴PF=（）-（a-2）=，∴S△PBC=PF·OB=CD·OC，∴=1，解得a1=1+，a2=1-（舍去）；当a=1+时，y==，∴P（1+，），综上所述，P点坐标为（1+）或（1-）；【小问3详解】如图，作PN⊥AB于N，交BC于M，由题意可知，P（t，），M（t，t-2），∴PM=（t-2）-（）=-，又∵PN∥OC，∴△PQM∽△OQC，∴+，∴当t=1时，()最大=．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，三角函数的应用、二次函数的解析式、相似三角形的综合和配方法求最值等，熟练掌握二次函数的图象与性质是解决此类问题的关键．25.(2023凉山州）在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A（－1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P的坐标；（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP＋ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．答案:（1）（2）（3）存在，解析：分析：（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得；（2）先求出抛物线的对称轴，再设点的坐标为，则，根据旋转的性质可得，从而可得，将点代入抛物线的解析式求出的值，由此即可得；（3）先根据点坐标的平移规律求出点，作点关于轴的对称点，连接，从而可得与轴的交点即为所求的点，再利用待定系数法求出直线的解析式，由此即可得出答案．【小问1详解】解：将点代入得：，解得，则抛物线的解析式为．【小问2详解】解：抛物线的对称轴为直线，其顶点的坐标为，设点的坐标为，则，由旋转的性质得：，，即，将点代入得：，解得或（舍去），当时，，所以点的坐标为．【小问3详解】解：抛物线的顶点的坐标为，则将其先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度恰好落在原点，这时点落在点的位置，且，，即，恰好在对称轴直线上，如图，作点关于轴的对称点，连接，则，由两点之间线段最短可知，与轴的交点即为所求的点，此时的值最小，即的值最小，由轴对称的性质得：，设直线的解析式为，将点代入得：，解得，则直线的解析式为，当时，，故在轴上存在点，使得的值最小，此时点的坐标为．【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、旋转的性质、点坐标的平移规律等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的图象与性质是解题关键．26.(2023泸州）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，两点，直线与轴交于点．（1）求，的值；（2）经过点的直线分别与线段，直线交于点，，且与的面积相等，求直线的解析式；（3）是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段和直线上是否分别存在点，，使，，，为顶点的四边形是以为一边的矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．答案:（1），（2）（3）存在点，F的坐标为解析：分析：（1）将点A，B的坐标带入抛物线方程即可的到关于、的方程，即可计算出、的值；（2）设点E的坐标为，D的坐标为，直线DE的解析式为，结合题意，根据一次函数、一元二次方程的性质分析，得到最终的答案；（3）设P点存在且坐标为，过点P作，交BO于点M，延长MP交直线于点N，根据二次函数、相似三角形的性质计算出、值，即可得到答案．【小问1详解】∵抛物线经过，两点∴∴∴∴；【小问2详解】过点D作，交于点M，过点D作，交于点N∵直线DE经过点O∴设直线DE为设点E为∵点E为直线和直线的交点∴∴∵点C为，点E为∴，∵∴设点D的坐标为∵，∴,∵点B的坐标为∴∵∴∵点A的坐标为∴∵∴∵∴∵与的面积相等，∴∵点D在直线DE上∴∴∴∴∴∴，或∵直线DE过二、四象限∴∴∴直线的解析式为；【小问3详解】设P存在且坐标为，过点P作，交BO于点M，延长MP交直线于点N∵点B的坐标为，点P的坐标为∴，∵∴∵∴∴∵四边形BFGP为矩形∴∴∵∴∴∵∴∴∵四边形BFGP为矩形∴，∴∵∴∴∵∴∴∵∴∵∴∴∵点在抛物线上，且抛物线为∴∴∴，或∵当时，点P与点B重合∴舍去∴∵∴∵F在线段OC上∴点F的坐标为．【点睛】本题考查了矩形、一次函数、二次函数、一元二次方程、直角三角形、相似三角形的相关知识；解题的关键是熟练掌握矩形、一次函数、二次函数、相似三角形的性质，从而完成求解．27.(2023眉山）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为．（1）求点的坐标；（2）如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值；（3）如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．答案:（1）（2）最大为（3）存在，的坐标为或（3，-16）或解析：分析：（1）把点A的坐标代入，求出c的值即可；（2）过作于点，过点作轴交于点，证明是等腰直角三角形，得，当最大时，最大，，运用待定系数法求直线解析式为，设，，则，求得PH，再根据二次函数的性质求解即可；（3）分①当AC为平行四边形ANMC的边，②当AC为平行四边形AMNC的边，③当AC为对角线三种情况讨论求解即可．【小问1详解】（1）∵点在抛物线的图象上，∴∴，∴点的坐标为；【小问2详解】过作于点，过点作轴交于点，如图：∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵轴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴当最大时，最大，设直线解析式为，将代入得，∴，∴直线解析式为，设，，则，∴，∵，∴当时，最大为，∴此时最大为，即点到直线的距离值最大；【小问3详解】存在．∵∴抛物线的对称轴为直线，设点N的坐标为（-2，m），点M的坐标为（x，）分三种情况：①当AC为平行四边形ANMC的边时，如图，∵A（-5，0），C（0，5），∴，即解得，x=3.∴∴点M的坐标为（3，-16）②当AC为平行四边形AMNC的边长时，如图，方法同①可得，，∴∴点M的坐标为（-7，-16）；③当AC为对角线时，如图，∵A（-5，0），C（0，5），∴线段AC的中点H的坐标为，即H（）∴，解得，。∴∴点M的坐标为（-3，8）综上，点的坐标为：或（3，-16）或．【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键．28.(2023绵阳）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A(-1，0)，B两点，交y轴于点C(0，3)，顶点D的横坐标为1．（1）求抛物线的解析式；（2）在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB＋∠ACB＝180°．若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．答案:（1）y=-x2+2x+3；（2）存在，P（0，-1）使∠APB＋∠ACB＝180°，理由见解析；（3）存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（-3，-12）或解析：分析：（1）由抛物线的对称轴可得点B的坐标，由此设出交点式，代入点C的坐标，即可得出抛物线的解析式；（2）由题意可知，点A，C，B，P四点共圆，画出图形，即可得出点P的坐标；（3）由抛物线的对称性可得出点E的坐标，点D的坐标，根据两点间的距离公式可得出AD，DE，AE的长，可得出△ADE是直角三角形，且DE∶AE=1：3，再根据相似三角形的性质可得出EF和FM的比例，由此可得出点M的坐标．【小问1详解】解：∵顶点D的横坐标为1，∴抛物线的对称轴为直线x=1，∵A（-1，0），∴B（3，0），设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3），把C（0，3）代入抛物线的解析式得：-3a=3，解得a=-1，∴抛物线的解析式为：y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3；【小问2详解】存在，P（0，-1），理由如下：∵∠APB+∠ACB=180°，∴∠CAP+∠CBP=180°，∴点A，C，B，P四点共圆，如图所示，∵点A（0，-1），B（3，0），C（0，3），∴OB=OC=3，∴∠OCB=∠OBC=45°，∴∠APC=∠ABC=45°，∴△AOP是等腰直角三角形，∴OP=OA=1，∴P（0，-1）；【小问3详解】解：存在，理由如下：∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴D（1，4），由抛物线的对称性得：E（2，3），∵A（-1，0），∴，∴，∴△ADE是直角三角形，且∠AED=90°，DE∶AE=1∶3，∵点M在直线l下方的抛物线上，设，则t＞2或t＜0，∵MF⊥l，∴点F（t，3），∴，，∵以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似，∴或，∴或，解得t=2（舍去）或t=3或t=-3或（舍去）或，∴点M的坐标为（3，0）或（-3，-12）或，综上所述，存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（-3，-12）或．【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，圆内四边形的性质，相似三角形的性质与判定，分类讨论思想等，第（2）问得出四点共固是解题关键；第（3）问得出△ADE是直角三角形并得出AD∶AE的值是解题关键．29.(2023南充）抛物线与x轴分别交于点，与y轴交于点．（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，顶点P在抛物线上，如果面积为某值时，符合条件的点P有且只有三个，求点P的坐标．（3）如图2，点M在第二象限的抛物线上，点N在延长线上，，连接并延长到点D，使．交x轴于点E，与均为锐角，，求点M的坐标．答案:（1）（2）（2，），（，）或（，）（3）（－4，）解析：分析：（1）根据待定系数法求解析式即可；（2）先根据题意判断出三角形BCP面积为平行四边形BCPQ面积的一半，得出当P在直线BC下方的抛物线上时，面积取最大值时满足题意，求出最大面积后得到直线BC下方的P点坐标，再根据△BCP的面积求出BC上方P点坐标即可；（3）过点N作NH⊥x轴，过D作DP⊥x轴，过M作MQ⊥x轴，根据平行线性质求出MQ=PD，证明△MEQ≌△DEP，得PQ=2PE，设OP=x，用x表示出PB，PE的长度，再根据得出PB=2PE，代入求出x值，进而求得Q点坐标及M点坐标．【小问1详解】解：∵抛物线与x轴分别交于点，与y轴交于点，∴，解得：，即抛物线解析式为．【小问2详解】解：由题意知，三角形BCP面积为平行四边形BCPQ面积的一半，设直线BC下方抛物线上有一点P，过P作平行于BC的直线l，作直线l关于BC对称的直线MN，由图知，直线MN与抛物线必有两个交点，根据平行线间距离处处相等知，当三角形BCP面积取最大值时即直线l与抛物线只有一个交点时，符合题意的P点只有三个，由B（4,0），C（0，-4）知直线BC解析式为：y=x-4，过P作PH⊥x轴于H，交BC于E，则S△BCP=S△PCE+S△PBE==2PE，设P（m，），则E（m，m-4），∴S△BCP==，∴当m=2时，△BCP面积取最大值，最大值为，此时，直线BC下方抛物线上的P点坐标为（2，），同理，设直线BC上方抛物线上P点横坐标为n，则：，解得：n=或n=，即P（，）或（，），综上所述，满足题意的P点坐标为（2，），（，）或（，）．【小问3详解】解：过点N作NH⊥x轴，过D作DP⊥x轴，过M作MQ⊥x轴，垂足分别为H、P、Q，如图所示，则NH∥PD∥MQ，∴，，∴PD=2HN，QM=2HN，即PD=QM，∵∠MEQ=∠PED，∴△MEQ≌△DEP，∴QE=PE，设OP=x，则BP=4-x，PH=BH=，∴OH=OP+PH=x+=，OQ=2OH=4+x，PQ=4+2x，PE=2+x，∵，∴，即PB=2PE，∴4-x=2（2+x），解得：x=0，即P点为坐标原点，D在y轴上，∴OQ=4，即Q（－4,0），∴M（－4,）．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数与三角形面积最值问题、平行线分线段成比例性质、全等三角形证明等知识点，解题关键是利用平行线分线段成比例定理找出各线段间的关系．30.(2023遂宁）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，点C的坐标为．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，E为边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为，求周长的最小值；（3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，面积为，当为等腰三角形时，求点N的坐标．答案:（1）（2）周长的最小值为（3）N的坐标为或或解析：分析：（1）直接利用待定系数法求解即可；（2）设