八年级数学上册 第15章　轴对称图形与等腰三角形 单元测试卷（沪科版 24秋）

八年级数学上册第15章轴对称图形与等腰三角形单元测试卷（沪科版24秋）一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1．【2024·长沙期中】下列学校的校徽图案是轴对称图形的是()2．【母题：教材P133练习T1】有一个内角是36°的等腰三角形，其他两个内角的度数分别是()A．36°，108° B．72°，72° C．36°，108°或72°，72° D．36°，144°3．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，连接AA′，BB′，CC′，其中BB′分别交AC，A′C′于点D，D′，下列结论：①AA′∥BB′；②∠ADB＝∠A′D′B′；③直线l垂直平分AA′；④直线AB与直线A′B′的交点不一定在直线l上．其中正确的是()A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，若BD＝5，则CD等于()A．3 B．4 C．5 D．65．【2024·东营校级期末】如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A，B，连接AB，若在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰三角形，则满足条件的格点C的个数是()A．5 B．6 C．8 D．96．如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，交AB于点E，连接EC，若BC＝12cm，AB＝18cm，则△EBC的周长为()A．24cm B．28cm C．30cm D．36cm7．【2024·东莞市大岭山中学期中】下列条件不能得到等边三角形的是()A．有两个内角是60°的三角形 B．有一个角是60°的等腰三角形C．腰和底相等的等腰三角形 D．有两个角相等的等腰三角形8．【2024·淮南田家庵区月考】如图，△ABC的面积为10cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于点P，连接PC，则△PBC的面积为()A．3cm2 B．4.5cm2 C．5cm2 D．6cm29．如图，在△ABC中，点M，N为AC边上的两点，AM＝NM，BM⊥AC，ND⊥BC于点D，且NM＝ND，若∠A＝α，则∠C＝()A．eq\f(3,2)α B．90°－eq\f(1,2)α C．120°－α D．2α－90°10．如图，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于点F，交AB于点G，连接CP.下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PACS△PAB＝ACAB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF.其中正确的有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．在平面直角坐标系中，点A和B关于x轴对称，若点A到x轴的距离是3cm，则点B到x轴的距离是________cm.12．【母题：教材P138练习T3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝30°，BD＝2，则AD的长度是________．13．如图，∠ABC的平分线BF与∠ACG的平分线相交于点F，过F作DF∥BC交AB于点D，交AC于点E，若DB＝18，DE＝8，则CE的长为________．14．【2024·淮南月考】△ABC中，D是BC边上的点(不与点B，C重合)，连接AD.(1)如图①，若AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝3，则eq\f(S△ABD,S△ACD)＝________；(2)如图②，当AD平分∠BAC时，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，则S△ABC＝________．三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15．如图，已知OA和OB两条公路，以及C，D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等(即PC＝PD)，且P到OA，OB两条公路的距离相等，请作出车站P的位置．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°.(1)作出AB边的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E，连接BD；(2)下列结论正确的是____________(填序号)．①BD平分∠ABC；②AD＝BC；③△BDC的周长等于AB＋BC的值；④AD＝CD.四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17．【2024·铜陵期中】如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB.若CD＝3，AB＝10，△ABD的面积为15，则AD是∠BAC的平分线吗？请说明理由．18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC上的一点，AD＝AB.求证：∠BAD＝2∠C.五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．如图，△ABC中，∠A＝96°，BC边的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，连接BD，若∠ABD∶∠DBC＝3∶2，求∠C的度数．20．【2023·淮南大通区期末】如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A(1，3)，B(－2，－2)，C(2，－1)．(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)写出点A1，B1，C1的坐标；(3)求△ABC的面积．六、(本题满分12分)21．【2024·芜湖期中】如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB，AC的垂直平分线交于点P，两垂直平分线分别交△ABC的边于点G，D和点E，H，连接AD，AE，AP.(1)求∠DAE的度数；(2)求证：AP平分∠DAE.七、(本题满分12分)22．探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在底边BC上，AE＝AD，连接DE.(1)当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数；(2)当点D在BC边上(点B，C除外)运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；(3)深入探究：如图②，若∠BAC≠90°，探究∠BAD与∠CDE的数量关系．八、(本题满分14分)23．如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点E，∠ABD＝∠ADB.(1)求证：AC垂直平分BD；(2)过点B作BF∥CD交CA的延长线于点F，AB＝AF；①求证：△BCD是等边三角形；②如果G，H分别是线段AC，线段CD上的动点，当GH＋AH的值最小时，请确定点H的位置，思考此时GH与CH有怎样的数量关系，并说明理由．

答案一、1．B2．C3．A4．C5．C6．C7．D8．C9．D10．D【点拨】∵AP平分∠CAB，BP平分∠CBE，∴∠PAB＝eq\f(1,2)∠CAB，∠PBE＝eq\f(1,2)∠CBE.∵∠CBE＝∠CAB＋∠ACB，∠PBE＝∠PAB＋∠APB，∴eq\f(1,2)(∠CAB＋∠ACB)＝∠PAB＋∠APB.∴eq\f(1,2)∠ACB＝∠APB.∴∠ACB＝2∠APB，故①正确；如图，过点P作PM⊥AE于M，PN⊥AD于点N，PS⊥BC于点S，则PM＝PN＝PS.∴S△PAC∶S△PAB＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AC·PN))∶eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AB·PM))＝AC∶AB，CP平分∠BCD，故②正确；∵BE＝BC，BP平分∠CBE，∴BP垂直平分CE，故③正确；∵PG∥AD，∴∠FPC＝∠DCP.∵CP平分∠DCB，∴∠DCP＝∠PCF.∴∠PCF＝∠CPF，故④正确．二、11．312．613．1014．(1)eq\f(5,3)(2)9【点拨】(1)如图，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.∵AD是∠BAC的平分线，∴DE＝DF.∵AB＝5，AC＝3，∴eq\f(S△ABD,S△ACD)＝eq\f(\f(1,2)AB·DE,\f(1,2)AC·DF)＝eq\f(AB,AC)＝eq\f(5,3).(2)∵AD＝DE，∴S△ABD＝S△BDE＝6.∵AC＝2，AB＝4，AD平分∠BAC，∴S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC＝4∶2＝2∶1.∴S△ACD＝3.∴S△ABC＝S△ABD＋S△ACD＝6＋3＝9.三、15．【解】如图．16．【解】(1)如图．(2)①②③四、17．【解】AD是∠BAC的平分线．理由如下：∵AB＝10，△ABD的面积为15，DE⊥AB，∴DE＝eq\f(15×2,10)＝3.∴DE＝CD.∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴AD是∠BAC的平分线．18．【证明】如图，过点A作AH⊥BC，垂足为H，则∠AHB＝90°.∴∠BAH＋∠B＝90°.∵∠BAC＝90°，∴∠B＋∠C＝90°.∴∠BAH＝∠C.∵AD＝AB，AH⊥BD，∴∠BAD＝2∠BAH.∴∠BAD＝2∠C.五、19．【解】∵DE垂直平分BC，∴DC＝BD.∴∠C＝∠DBC.∵∠ABD∶∠DBC＝3∶2，∴设∠ABD＝3x，∠DBC＝2x.∴∠C＝2x.∴96°＋3x＋2x＋2x＝180°，解得x＝12°.∴∠C＝24°.20．【解】(1)△A1B1C1如图所示．(2)A1(－1，3)，B1(2，－2)，C1(－2，－1)．(3)△ABC的面积＝4×5－eq\f(1,2)×4×1－eq\f(1,2)×4×1－eq\f(1,2)×3×5＝20－2－2－7.5＝8.5.六、21．(1)【解】∵∠BAC＝120°，∴∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝60°.由题意得AD＝BD，AE＝CE，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE.∴∠BAD＋∠CAE＝60°.∴∠DAE＝∠BAC－(∠BAD＋∠CAE)＝60°.(2)【证明】连接PB，PC，则PB＝PA，PA＝PC，∴PB＝PC.∴∠PBD＝∠PCE.∵PA＝PB，DA＝DB，∴∠PAB＝∠PBA，∠DAB＝∠DBA.∴∠PAD＝∠PBD.同理得∠PAE＝∠PCE，∴∠PAE＝∠PAD，即AP平分∠DAE.七、22．【解】(1)∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠C＝45°.∵∠BAD＝60°，∴∠DAE＝30°.∵AD＝AE，∴∠AED＝75°.∴∠CDE＝∠AED－∠C＝30°.(2)设∠BAD＝x，则∠CAD＝90°－x.∵AE＝AD，∴∠AED＝45°＋eq\f(1,2)x.∴∠CDE＝∠AED－∠C＝eq\f(1,2)x.∴∠BAD＝2∠CDE.(3)设∠CDE＝a，∠C＝b，则∠AED＝b＋a.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝b.∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝b＋a.∵∠ADC＝∠B＋∠BAD＝∠ADE＋∠CDE，∴b＋∠BAD＝b＋a＋a.∴∠BAD＝2a.∴∠BAD＝2∠CDE.八、23．(1)【证明】∵∠ABD＝∠ADB，∠ABC＝∠ADC，∴AB＝AD，∠ABC－∠ABD＝∠ADC－∠ADB.∴∠CBE＝∠CDE.∴CB＝CD.∴AC垂直平分BD.(2)①【证明】如图①，设∠F＝α.∵AB＝AF，∴∠ABF＝∠F＝α.∵∠BAC是△ABF的外角，∴∠BAC＝∠F＋∠ABF＝2α.由(1)知AC⊥BD，CB＝CD，∴∠BCE＝∠DCE.∵BF∥CD，∴∠F＝∠DCE.∴∠BCE＝∠F＝α