专题01旋转问题(原卷版+解析)

专题01旋转问题【解题方法】遇见中点要旋转，遇见等腰要旋转（等腰三角形、等腰直角三角形），遇见等边要旋转（等边三角形），遇见正方形要旋转.【口诀】等线段，共端点，必旋转，必全等，有相似，要牢记.【模型一】旋转与截长补短法解题口诀：截长补短法，构造全等三角形；等边三角形，等量代换的结果。1．(2023秋•鸠江区期中）（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕顶点A逆时针旋转时，当AE∥BC时，设DE与AC于交P．证明：△ADP是等边三角形；（2）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕顶点A逆时针旋转α度（0°＜α＜180°），α为多少时，使得△ADE的顶点D落在BC上？（3）当直角三角形变为一般三角形时，如图2，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可以得到∠APB＝60°，试证明：PA+PC＝PE．【模型二】双旋三角形面积问题解题关键：作辅助线，构造直角三角形2．(2023春•青浦区校级期末）如图，将△ABC的边AB绕着点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到AB，边AC绕着点A逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得到AC'，联结B'C．当α+β＝30°时，我们称△AB'C'是△ABC的“双旋三角形”．如果等边△ABC的边长为a，那么它的“双旋三角形”的面积是．（用含a的代数式表示）3．(2023春•松江区期中）如图，将△ABC的边AB绕着点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到AB′，边AC绕着点A逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得到AC′，联结B′C′，当α+β＝60°时，我们称△AB′C′是△ABC的“双旋三角形”，如果等边△ABC的边长为a，那么它所得的“双旋三角形”中B′C′＝（用含a的代数式表示）．【模型三】正方形与旋转面积解题关键：旋转90°构造全等三角形，构造等腰直角三角形；作垂直，构造等腰直角三角形；勾股定理逆定理，证明三角形是直角三角形，三点共线4．(2023•回民区二模）如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为、、4，则正方形ABCD的面积为（）A． B． C．12 D．24【模型四】三角形面积最大问题（隐圆问题）解题关键：三角形求面积，先作高；有定点，有定长，构造圆，相切角最大；证全等，可知结果6．(2023秋•崇川区期末）如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝13，AE＝AF＝12，连接BF，DE．若△AEF绕点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE＝．【模型五】手拉手模型求线段数量关系解题关键：知等边及特殊角，旋转构造等边三角形/直角三角形隐圆问题：定边对定角，必有隐圆；定弦定角，必有隐圆；单动点折叠，必有隐圆；同侧共边等角，异侧共边互补，必有隐圆；矩形、正方形，四个顶点是共圆，对角线的交点是圆心，对角线是直径5．(2023•新余一模）如图，在四边形ABCD中，∠C＝60°，∠A＝30°，CD＝BC．（1）求∠B+∠D的度数．（2）连接AC，探究AD，AB，AC三者之间的数量关系，并说明理由．（3）若BC＝2，点E在四边形ABCD内部运动，且满足DE2＝CE2+BE2，求点E运动路径的长度．【模型六】三角形面积最大值问题（手拉手）解题关键：底边是定值，垂直平分高最大。遇见平方等式，要用手拉手模型；构造全等三角形，等量代换是解题三要素；等腰图形有旋转，辩清共点旋转边；关注三边旋转角，全等思考边角边；7．如图①，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE＝4﹣2，连接DE．现将△ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜360°），如图②，连接CE，BD．（1）当0°＜α＜180°时，求证：CE＝BD；（2）如图③，当α＝90°时，延长CE交BD于点N，求证：CN垂直平分BD；（3）如图④，当0°＜α＜270°时，连接BE，求BE的取值范围；（4）△ADE在旋转过程中，求△BCD的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数；（5）如图⑤，当ED∥AB时，连接CD，判断CD与BD的数量关系，并说明理由．【模型七】共端点模型与旋转构造全等、相似三角形问题解题关键：等线段，共端点，必旋转；必全等，有相似，要牢记；8．(2023•历下区三模）【操作发现】（1）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．请按要求画图：将ABC绕点A顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′，此时∠ABB′＝；【问题解决】在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：（2）如图2，在等边△ABC中，点P在内部，且PA＝3，PC＝4，∠APC＝150°，求PB的长．经过同学们的观察、分析、思考、交流、对上述问题形成了如下想法：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△ABP′，连接PP′，寻找PA、PB、PC三边之间的数量关系……请参考他们的想法，完成该问题的解答过程；【学以致用】（3）如图3，在等边△ABC中，AC＝7，点P在△ABC内，且∠APC＝90°，∠BPC＝120°．求△APC的面积；【思维拓展】如图4，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝1，CD＝3，AD＝kAB（k为常数），请直接写出BD的长（用含k的式子表示）．【模型八】对应点连线最小值问题9．(2023•南京二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，∠A＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转120°，若P为AB上一动点，旋转后点P的对应点为点P'，则线段PP'长度的最小值是（）A． B．2 C．3 D．2【模型九】线段最大值为题（三点共线）解题关键：旋转线段最大值，三点共线最合适；10．(2023•高淳区二模）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，点O是AC的中点，以O为旋转中心，将△ABC绕点O旋转一周，A、B、C的对应点分别为A'、B'、C'，则BC'的最大值为．专题01旋转问题【解题方法】遇见中点要旋转，遇见等腰要旋转（等腰三角形、等腰直角三角形），遇见等边要旋转（等边三角形），遇见正方形要旋转.【口诀】等线段，共端点，必旋转，必全等，有相似，要牢记.【模型一】旋转与截长补短法解题口诀：截长补短法，构造全等三角形；等边三角形，等量代换的结果。1．(2023秋•鸠江区期中）（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕顶点A逆时针旋转时，当AE∥BC时，设DE与AC于交P．证明：△ADP是等边三角形；（2）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕顶点A逆时针旋转α度（0°＜α＜180°），α为多少时，使得△ADE的顶点D落在BC上？（3）当直角三角形变为一般三角形时，如图2，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可以得到∠APB＝60°，试证明：PA+PC＝PE．【考点】几何变换综合题．分析：（1）由旋转的性质易证∠D＝60°，由平行线的性质得∠C＝∠CAE＝30°，则∠APD＝60°，即可得出结论；（2）由旋转的性质得AB＝AD，由（1）得∠B＝60°，则△ABD是等边三角形，即可得出结果；（3）连接EC，延长BC到F，使CF＝PA，连接EF，设DE交AC于H，由旋转的性质得∠EAC＝60°，∠ACB＝∠AED，AE＝AC，易证∠EPC＝∠EAC＝60°，则△ACE是等边三角形，得出AE＝EC＝AC，∠ACE＝60°，由三角形内角和定理和平角性质易证∠PAE＝∠ECF，由SAS证得△APE≌△ECF，得出PE＝PF，即可得出结论．【解答】（1）证明：由旋转的性质得：∠DAE＝∠BAC＝90°，∠B＝∠D，∵∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，∴∠B＝60°，∴∠D＝60°，∵AE∥BC，∴∠C＝∠CAE＝30°，∴∠APD＝∠DAE﹣∠CAE＝90°﹣30°＝60°，∴△ADP是等边三角形；（2）解：由旋转的性质得：AB＝AD，由（1）得：∠B＝60°，∵△ADE的顶点D落在BC上，∴△ABD是等边三角形，∴∠BAD＝60°，∴α＝60°；（3）证明：连接EC，延长BC到F，使CF＝PA，连接EF，如图2所示：设DE交AC于H，由旋转的性质得：∠EAC＝60°，∠ACB＝∠AED，AE＝AC，∵∠AHE＝∠PHC，∴∠EPC＝180°﹣∠PHC﹣∠ACB＝180°﹣∠AHE﹣∠AED＝∠EAC＝60°，∵AE＝AC，∴△ACE是等边三角形，∴AE＝EC＝AC，∠ACE＝60°，∵∠APB＝60°，∴∠APE＝180°﹣∠APB﹣∠EPC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠APE＝∠ACE，∴∠PAE＝180°﹣∠APE﹣∠AED＝180°﹣∠ACE﹣∠ACB＝∠ECF，在△APE和△ECF中，，∴△APE≌△ECF（SAS），∴PE＝PF，∵PF＝CF+PC＝PA+PC，∴PA+PC＝PE．【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质、平行线的性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．【模型二】双旋三角形面积问题解题关键：作辅助线，构造直角三角形2．(2023春•青浦区校级期末）如图，将△ABC的边AB绕着点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到AB，边AC绕着点A逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得到AC'，联结B'C．当α+β＝30°时，我们称△AB'C'是△ABC的“双旋三角形”．如果等边△ABC的边长为a，那么它的“双旋三角形”的面积是．（用含a的代数式表示）【考点】旋转的性质；列代数式；等边三角形的性质．分析：首先根据等边三角形、“双旋三角形”的定义得出△AB′C′是等腰直角三角形，其中AB′＝AC′＝a．根据S△AB′C′＝AB′•AC′即可求解．【解答】解：∵等边△ABC的边长为a，∴AB＝AC＝a，∠BAC＝60°，∵将△ABC的边AB绕着点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到AB'，∴AB'＝AB＝a，∠B'AB＝α，∵边AC绕着点A逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得到AC，∴AC'＝AC＝a，∠CAC'＝β，∴∠B'AC'＝∠B'AB+∠BAC+∠CAC'＝α+60°+β＝60°+30°＝90°，∴．故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质以及三角形的面积．运用旋转的性质是解题的关键．3．(2023春•松江区期中）如图，将△ABC的边AB绕着点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到AB′，边AC绕着点A逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得到AC′，联结B′C′，当α+β＝60°时，我们称△AB′C′是△ABC的“双旋三角形”，如果等边△ABC的边长为a，那么它所得的“双旋三角形”中B′C′＝（用含a的代数式表示）．【考点】作图﹣旋转变换；等边三角形的性质．分析：利用△ABC为等边三角形得到AB＝AC＝a，∠BAC＝60°，再利用“双旋三角形”的定义得到α+β＝60°，AB′＝AB＝a，AC′＝AC＝a，所以∠B′AC＝120°，作AH⊥B′C′于H，如图，则B′H＝C′H，然后计算出B′H即可得到B′C′的长．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝a，∠BAC＝60°，∵△AB′C′是△ABC的“双旋三角形”，∴α+β＝60°，AB′＝AB＝a，AC′＝AC＝a，∴∠B′AC＝120°，∴∠B′＝∠C′＝30°，作AH⊥B′C′于H，如图，则B′H＝C′H，在Rt△AB′H中，AH＝AB′＝a，∴B′H＝AH＝a，∴B′C′＝2B′H＝a．故答案为a．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了等边三角形的性质．【模型三】正方形与旋转面积解题关键：旋转90°构造全等三角形，构造等腰直角三角形；作垂直，构造等腰直角三角形；勾股定理逆定理，证明三角形是直角三角形，三点共线4．(2023•回民区二模）如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为、、4，则正方形ABCD的面积为（）A． B． C．12 D．24【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．分析：如图，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，连接PM，过点B作BH⊥PM于H．首先证明∠PMC＝90°，推出∠CMB＝∠APB＝135°，推出A，P，M共线，利用勾股定理求出AB2即可．【解答】解：如图，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，连接PM，过点B作BH⊥PM于H．∵BP＝BM＝，∠PBM＝90°，∴PM＝PB＝2，∵PC＝4，PA＝CM＝2，∴PC2＝CM2+PM2，∴∠PMC＝90°，∵∠BPM＝∠BMP＝45°，∴∠CMB＝∠APB＝135°，∴∠APB+∠BPM＝180°，∴A，P，M共线，∵BH⊥PM，∴PH＝HM，∴BH＝PH＝HM＝1，∴AH＝2+1，∴AB2＝AH2+BH2＝（2+1）2+12＝14+4，∴正方形ABCD的面积为14+4，故选：B．【点评】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题．【模型四】三角形面积最大问题（隐圆问题）解题关键：三角形求面积，先作高；有定点，有定长，构造圆，相切角最大；证全等，可知结果6．(2023秋•崇川区期末）如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝13，AE＝AF＝12，连接BF，DE．若△AEF绕点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE＝．【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质．分析：过D作DH⊥AE于H，由题意得△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，12为半径的圆上，当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，则BF⊥AF，再由勾股定理求出BF＝5，然后证△ADH≌△ABF（AAS），得DH＝BF＝5，最后由三角形面积公式求解即可．【解答】解：过D作DH⊥AE于H，如图所示：∵AF＝12，∴当△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，12为半径的圆上，∴当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，∴BF⊥AF，在Rt△ABF中，由勾股定理得：BF＝＝＝5，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∵∠EAF＝90°，∴∠BAF+∠BAH＝90°，∵∠DAH+∠BAH＝90°，∴∠DAH＝∠BAF，在△ADH和△ABF中，，∴△ADH≌△ABF（AAS），∴DH＝BF＝5，∴S△ADE＝AE•DH＝×12×5＝30，故答案为：30．【点评】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握旋转的性质，证明△ADH≌△ABF是解题的关键．【模型五】手拉手模型求线段数量关系解题关键：知等边及特殊角，旋转构造等边三角形/直角三角形隐圆问题：定边对定角，必有隐圆；定弦定角，必有隐圆；单动点折叠，必有隐圆；同侧共边等角，异侧共边互补，必有隐圆；矩形、正方形，四个顶点是共圆，对角线的交点是圆心，对角线是直径5．(2023•新余一模）如图，在四边形ABCD中，∠C＝60°，∠A＝30°，CD＝BC．（1）求∠B+∠D的度数．（2）连接AC，探究AD，AB，AC三者之间的数量关系，并说明理由．（3）若BC＝2，点E在四边形ABCD内部运动，且满足DE2＝CE2+BE2，求点E运动路径的长度．【考点】四边形综合题．分析：（1）利用四边形内角和定理计算即可；（2）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，得到△QDC，连接AQ，证明∠QDA＝90°，根据勾股定理可得结论；（3）如图中，将△BCE绕C点顺时针旋转60°，得到△CDF，连接EF，想办法证明∠BEC＝150°即可解决问题；【解答】解：（1）在四边形ABCD中，∠C＝60°，∠A＝30°，∴∠D+∠B＝360°﹣∠A﹣∠C＝360°﹣60°﹣30°＝270°．（2）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，得到△QDC，连接AQ，∴∠ACQ＝60°，AC＝CQ，AB＝QD，∴△ACQ是等边三角形，∴AC＝CQ＝AQ，由（1）知：∠ADC+∠B＝270°，∴∠ADC+∠CDQ＝270°，可得∠QDA＝90°，∴AD2+DQ2＝AQ2，∴AD2+AB2＝AC2；（3）将△BCE绕C点顺时针旋转60°，得到△CDF，连接EF，∵CE＝CF，∠ECF＝60°，∴△CEF是等边三角形，∴EF＝CE，∠CFE＝60°，∵DE2＝CE2+BE2，∴DE2＝EF2+DF2，∴∠DFE＝90°，∴∠CFD＝∠CFE+∠DFE＝60°+90°＝150°，∴∠CEB＝150°，则动点E在四边形ABCD内部运动，满足∠CEB＝150°，以BC为边向外作等边△OBC，则点E是以O为圆心，OB为半径的圆周上运动，运动轨迹为，∵OB＝BC＝2，则＝＝．点E运动路径的长度是．【点评】本题考查四边形综合题、等边三角形的判定和性质、勾股定理以及逆定理、弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．【模型六】三角形面积最大值问题（手拉手）解题关键：底边是定值，垂直平分高最大。遇见平方等式，要用手拉手模型；构造全等三角形，等量代换是解题三要素；等腰图形有旋转，辩清共点旋转边；关注三边旋转角，全等思考边角边；7．如图①，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE＝4﹣2，连接DE．现将△ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜360°），如图②，连接CE，BD．（1）当0°＜α＜180°时，求证：CE＝BD；（2）如图③，当α＝90°时，延长CE交BD于点N，求证：CN垂直平分BD；（3）如图④，当0°＜α＜270°时，连接BE，求BE的取值范围；（4）△ADE在旋转过程中，求△BCD的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数；（5）如图⑤，当ED∥AB时，连接CD，判断CD与BD的数量关系，并说明理由．【考点】几何变换综合题．分析：（1）利用线段的和差定义证明即可；（2）证明CN⊥BD，CD＝CB＝4，可得结论；（3）根据AB﹣AE≤BE≤AE+AB，结合旋转角的范围，可得结论；（4）如图4中，当AD⊥BC时，△BCD的面积最大，延长DA交CB于点J．求出DJ，可得结论；（5）结论CD＝DB，证明AD垂直平分线段BC即可．【解答】（1）证明：如图①中，∵AB＝AC，AE＝AD，∴AC﹣AE＝AB﹣AD，∴EC＝BD；（2）证明：如图②中，∵AC＝AB，∠CAE＝∠BAD＝90°，AE＝AD，∴△CAE≌△BAD（SAS），∴∠ACE＝∠ABD，∵∠AEC＝∠BEN，∴∠CAE＝∠BNE＝90°，∴CN⊥DB，∵AC＝AB＝2，∴BC＝AC＝4，∵AD＝4﹣2，∴CD＝AC+AD＝4，∴CD＝CB，∴DN＝BN，∴CN垂直平分线段BD；（3）解：∵AE＝4﹣2，AB＝2，∴2﹣（4﹣2）≤BE≤4﹣2+2，∴4﹣4≤BE≤4，∵0＜α＜270°，∴4﹣4≤BE＜4；（4）解：如图4中，当AD⊥BC时，△BCD的面积最大，延长DA交CB于点J．则AJ⊥CB，∵AC＝AB，∠CAB＝90°，∴CJ＝BJ＝2，∴AJ＝CB＝2，∴DJ＝AD+AJ＝4﹣2+2＝6﹣2，∴△BCD的面积的最大值＝•BC•DJ＝×4×（6﹣2）＝12﹣4；（5）解：如图5中，结论：CD＝BD．理由：∵AE＝AD，∠EAD＝90°，∴∠E＝∠EDA＝45°，∵DE∥AB，∴∠EDA＝∠DAB＝45°，∵∠CAB＝90°，∴∠DAC＝∠DAB，∵AC＝AB，∴AD垂直平分线段BC，∴DC＝DB．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【模型七】共端点模型与旋转构造全等、相似三角形问题解题关键：等线段，共端点，必旋转；必全等，有相似，要牢记；8．(2023•历下区三模）【操作发现】（1）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．请按要求画图：将ABC绕点A顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′，此时∠ABB′＝；【问题解决】在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：（2）如图2，在等边△ABC中，点P在内部，且PA＝3，PC＝4，∠APC＝150°，求PB的长．经过同学们的观察、分析、思考、交流、对上述问题形成了如下想法：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△ABP′，连接PP′，寻找PA、PB、PC三边之间的数量关系……请参考他们的想法，完成该问题的解答过程；【学以致用】（3）如图3，在等边△ABC中，AC＝7，点P在△ABC内，且∠APC＝90°，∠BPC＝120°．求△APC的面积；【思维拓展】如图4，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝1，CD＝3，AD＝kAB（k为常数），请直接写出BD的长（用含k的式子表示）．【考点】相似形综合题．分析：【操作发现】（1）连接BB′，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，则AB＝AB′，∠B′AB＝90°，即可得出答案；【问题解决】（2）由∠ABC＝60°，将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△ABP'，连接PP′，则△APP′是等边三角形，∠APC＝∠AP′B＝150°，PC＝P′B＝4，得出∠AP′P＝60°，P′P＝AP＝3，∠PP′B＝90°，由勾股定理即可得出结果；【学以致用】（3）将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，连接PP′，则△APP′是等边三角形，∠AP′C＝∠APB＝360°﹣90°﹣120°＝150°，得出PP′＝AP，∠AP′P＝∠APP′＝60°，∠PP′C＝90°，∠P′PC＝30°，推出PP′＝PC，即AP＝PC，由勾股定理得出AP2+PC2＝AC2，即（PC）2+PC2＝72，求出PC＝2，AP＝，由三角形面积公式即可得出结果；【思维拓展】由等腰三角形的性质得出AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG，得出∠BAC＝∠DAG，∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD，证出△ABC∽△ADG，得出BC＝2，DG＝kBC＝2k，证得∠GDC＝90°，得出CG＝＝，即可得出结果．【解答】【操作发现】解：（1）连接BB′，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，如图1所示：∴AB＝AB′，∠B′AB＝90°，∴∠AB′B＝45°，故答案为：45°；【问题解决】解：（2）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△ABP'，连接PP′，如图2所示：则△APP′是等边三角形，∠APC＝∠AP′B＝150°，PC＝P′B＝4，∴∠AP′P＝60°，P′P＝AP＝3，∴∠PP′B＝90°，∴PB＝＝＝5；【学以致用】解：（3）将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C，连接PP′，如图3所示：则△APP′是等边三角形，∠AP′C＝∠APB＝360°﹣90°﹣120°＝150°，∴PP′＝AP，∠AP′P＝∠APP′＝60°，∴∠PP′C＝90°，∠P′PC＝30°，∴PP′＝PC，即AP＝PC，∵∠APC＝90°，∴AP2+PC2＝AC2，即（PC）2+PC2＝72，∴PC＝2，∴AP＝，∴S△APC＝AP•PC＝××2＝7；【思维拓展】解：∵AE⊥BC，BE＝EC，∴AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG，如图4所示：∵∠BAD＝∠CAG，∴∠BAC＝∠DAG，∵AB＝AC，AD＝AG，∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD，∴△ABC∽△ADG，∵AD