第2课时垂线、同位角、内错角、同旁内角-2022-2023学年七年级数学下册同步考点知识清单＋例题讲解＋课后练习(人教版)(原卷版+解析)

第2课时—垂线、同位角、内错角、同旁内角知识点一：垂直：垂直的定义：两条直线相交形成的四个角中，有一个角是时，就说这两条直线，其中一条直线叫做另一条直线的，它们的交点叫做。若直线与直线垂直，表示为。由邻补角与对顶角可知，若相交线形成的角的中有一个角是直角，则四个均是。【类型一：与垂直有关的计算】1．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂直为点O，∠BOD＝50°，则∠COE＝（）第1题第2题A．30° B．50° C．120° D．140°2．如图，平面内∠AOB＝∠COD＝90°，∠COE＝∠BOE，OF平分∠AOD，则以下结论：①∠AOE＝∠DOE；②∠AOD+∠COB＝180°；③∠COB﹣∠AOD＝90°；④∠COE+∠BOF＝180°．其中正确结论的个数有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．0个3．如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，若∠AOC＝120°38'，则∠BOD的大小为．第3题第4题4．如图，在∠AOB内部作OC⊥OB，OD平分∠AOB．若∠AOB＝130°，则∠COD＝（）A．65° B．25° C．35° D．20°5．如图所示，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1＝15°30'，则下列结论中不正确的是（）第5题第6题A．∠2＝45° B．∠1＝∠3 C．∠AOD与∠1互为补角 D．∠1的余角等于75°30'6．如图，∠PQR＝132°，SQ⊥QR，QT⊥PQ，则∠SQT＝（）A．48° B．32° C．24° D．66°知识点二：垂直的画法（尺规作图）：过一点作已知直线的垂线：具体步骤：①将直尺的一条边与已知直线。②将直角三角尺的一条直角边紧靠直尺平移，直到另一直角边与已知点。③过点沿另一直角边画直线。该直线即为所作垂线。④在交点的位置标上直角符号。【类型一：垂直作图判断】7．下列选项中，过点P画AB的垂线CD，三角板放法正确的是（）A． B． C． D．8．过点P向线段AB所在的直线画垂线，正确的画法是（）A． B． C． D．知识点三：垂直的性质：在同一平面内，过一点作已知直线的垂线，条直线与已知直线垂直。有且只有：存在且唯一。垂线段：过直线外一点作已知直线的，点到之间的部分叫做垂线段。垂线段最短：直线外一点连接直线上所有点的连线中，最短。点到直线的距离：垂线段的是直线外一点到该直线的距离。【类型一：垂线存在问题】9．如图，在平面内过A点作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（）A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条10．如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（）A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条11．在平面内，过一点画已知直线的垂线，可画垂线（）A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条【类型二：垂线段最短】12．如图，某同学在体育课上跳远后留下的脚印，在图中画出了他的跳远距离，能正确解释这一现象的数学知识是（）A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直13．如图，将军要从村庄A去村外的河边饮马，有三条路AB、AC、AD可走，将军沿着AB路线到的河边，他这样做的道理是（）A．两点之间，线段最短 B．两点之间，直线最短 C．两点确定一条直线 D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短14．在乡村振兴活动中，某村通过铺设水管将河水引到村庄C处，为节省材料，他们过点C向河岸l作垂线，垂足为点D，于是确定沿CD铺设水管，这样做的数学道理是（）A．两点之间，线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．垂线段最短 D．两条直线相交有且只有一个交点15．如图，河道的一测有甲、乙两个村庄，现要铺设一条管道将水引向甲、乙两村，下列四种方案中最节省材料的是（）A． B． C． D．【类型一：点到直线的距离】16．如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且PB⊥a，垂足是B，PA⊥PC，则下列不正确的语句是（）A．线段PB的长是点P到直线a的距离 B．PA、PB、PC三条线段中，PB最短 C．线段AC的长是点A到直线PC的距离 D．线段PC的长是点C到直线PA的距离17．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝3，BC＝4，AB＝5，则点C到直线AB的距离为．第17题第18题18．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，则点A到CD的距离是线段（）的长度．A．CD B．AD C．BD D．BC19．如图，在直线l外一点P与直线上各点的连线中，PA＝5，PO＝4，PB＝4.3，OC＝3，则点P到直线l的距离为（）第19题第22题A．3 B．4 C．4.3 D．520．点P为直线l外一点，点A为直线l上一点，PA＝4cm，设点P到直线l的距离是dcm，则（）A．d＞4 B．d≥4 C．d＜4 D．d≤421．直线l上有A、B、C三点，直线l外有一点P，若PA＝2cm，PB＝4cm，PC＝3cm，那么P点到直线l的距离是（）A．等于2cm B．小于2cm C．不大于2cm D．大于2cm且小于3cm22．如图，量得直线l外一点P到l的距离PB的长为6cm，若点A是直线l上的一点，那么线段PA的长不可能是（）A．5.5cm B．6.2cm C．7.5cm D．8cm知识点四：同位角、内错角、同旁内角：同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角。如图中的（举1例）。内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角。如图中的（举1例）。同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角。如图中的（举1例）。同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形。【类型一：判断同位角、内错角以及同旁内角】23．如图，下列图形中的∠1和∠2不是同位角的是（）A． B． C． D．24．如图，直线b，c被直线a所截，则∠1与∠2是（）A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角25．如图所示，下列结论中正确的是（）第25题第26题A．∠1和∠2是同位角 B．∠2和∠3是同旁内角 C．∠1和∠4是内错角 D．∠3和∠4是对顶角26．如图，下列判断：①∠A与∠1是同位角；②∠A与∠B是同旁内角；③∠4与∠1是内错角；④∠1与∠3是同位角．其中正确的是（）A．①、② B．①、②、④ C．②、③、④ D．①、②、③、④27．如图，直线a，b被c所截，则∠1与∠2是（）第27题第28题A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角28．若直线a，b，c相交如图所示，则∠1的内错角为（）A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠529．如图，下列判断正确的是（）A．∠3与∠6是同旁内角 B．∠2与∠4是同位角 C．∠1与∠6是对顶角 D．∠5与∠3是内错角第2课时—垂线、同位角、内错角、同旁内角（答案卷）知识点一：垂直：垂直的定义：两条直线相交形成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。若直线与直线垂直，表示为。由邻补角与对顶角可知，若相交线形成的角的中有一个角是直角，则四个均是直角。【类型一：与垂直有关的计算】1．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂直为点O，∠BOD＝50°，则∠COE＝（）A．30° B．50° C．120° D．140°分析：利用对顶角的定义结合垂线的定义得出∠COE＝90°+50°求出即可．【解答】解：∵∠BOD＝50°，∴∠AOC＝50°，∵EO⊥AB，∴∠COE＝90°+50°＝140°．故选：D．2．如图，平面内∠AOB＝∠COD＝90°，∠COE＝∠BOE，OF平分∠AOD，则以下结论：①∠AOE＝∠DOE；②∠AOD+∠COB＝180°；③∠COB﹣∠AOD＝90°；④∠COE+∠BOF＝180°．其中正确结论的个数有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．0个分析：由∠AOB＝∠COD＝90°根据等角的余角相等得到∠AOC＝∠BOD，而∠COE＝∠BOE，即可判断①正确；由∠AOD+∠COB＝∠AOD+∠AOC+90°，而∠AOD+∠AOC＝90°，即可判断，②确；由∠COB﹣∠AOD＝∠AOC+90°﹣∠AOD，没有∠AOC≠∠AOD，即可判断③不正确；由OF平分∠AOD得∠AOF＝∠DOF，由①得∠AOE＝∠DOE，根据周角的定义得到∠AOF+∠AOE＝∠DOF+∠DOE＝180°，即点F、O、E共线，又∠COE＝∠BOE，即可判断④正确．【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠BOD，而∠COE＝∠BOE，∴∠AOE＝∠DOE，所以①正确；∠AOD+∠COB＝∠AOD+∠AOC+90°＝90°+90°＝180°，所以②正确；∠COB﹣∠AOD＝∠AOC+90°﹣∠AOD，而∠AOC≠∠AOD，所以③不正确；∵OF平分∠AOD，∴∠AOF＝∠DOF，而∠AOE＝∠DOE，∴∠AOF+∠AOE＝∠DOF+∠DOE＝180°，即点F、O、E共线，∵∠COE＝∠BOE，∴∠COE+∠BOF＝180°，所以④正确．故选：B．3．如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，若∠AOC＝120°38'，则∠BOD的大小为．分析：根据平角的意义求出∠BOC的度数，再根据垂直的意义求出答案．【解答】解：∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝120°38'，∴∠BOC＝180°﹣120°38'＝59°22′，又∵OC⊥OD，∴∠COD＝90°，∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣59°22′＝30°38′，故答案为：30°38′．4．如图，在∠AOB内部作OC⊥OB，OD平分∠AOB．若∠AOB＝130°，则∠COD＝（）A．65° B．25° C．35° D．20°分析：由角平分线的定义可求∠BOD，由垂直的定义得到∠BOC＝90°，即可求出∠COD．【解答】解：∵OD平分∠AOB，∴∠BOD＝∠AOB＝×130°＝65°，∵OC⊥OB，∴∠BOC＝90°，∴∠COD＝∠BOC﹣∠BOD＝90°﹣65°＝25°．故选：B．5．如图所示，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1＝15°30'，则下列结论中不正确的是（）A．∠2＝45° B．∠1＝∠3 C．∠AOD与∠1互为补角 D．∠1的余角等于75°30'分析：由余角，补角的定义，对顶角的性质，角平分线的定义，垂直的定义，即可判断．【解答】解：∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°，∵OF平分∠AOE，∴∠2＝∠AOE＝45°，∵∠1和∠3是对顶角，∴∠1＝∠3，∵∠AOD与∠1是邻补角，∴∠AOD与∠1互为补角，∵∠1的余角等于90°﹣∠1，∴∠1的余角等于90°﹣15°30′＝74°30′，故选：D．6．如图，∠PQR＝132°，SQ⊥QR，QT⊥PQ，则∠SQT＝（）A．48° B．32° C．24° D．66°分析：利用垂直的概念，得出∠PQS＝∠PQR°﹣90°，再利用互余的性质，得出∠SQT＝∠PQT﹣∠PQS．【解答】解：∵，∠PQR＝132°，QT⊥PQ，∴∠PQS＝132°﹣90°＝42°，又∵SQ⊥QR，∴∠PQT＝90°，∴∠SQT＝∠PQT﹣∠PQS，＝90°﹣42°，＝48°．故选：A．知识点二：垂直的画法（尺规作图）：过一点作已知直线的垂线：具体步骤：①将直尺的一条边与已知直线重合。②将直角三角尺的一条直角边紧靠直尺平移，直到另一直角边与已知点重合。③过点沿另一直角边画直线。该直线即为所作垂线。④在交点的位置标上直角符号。【类型一：垂直作图判断】7．下列选项中，过点P画AB的垂线CD，三角板放法正确的是（）A． B． C． D．分析：根据过直线外一点作已知直线的垂线做法及三角板的特征直接可得．【解答】解：∵三角板有一个角是直角．∴三角板的一条直角边与直线AB重合．∵过点P作直线AB的垂线．∴三角板的另一条直角边过点P．∴符合上述条件的图形只有选项C．故选：C．8．过点P向线段AB所在的直线画垂线，正确的画法是（）A． B． C． D．分析：根据过直线外一点作已知直线的垂线的作法判断即可．【解答】解：A选项，没有过点P，过该选项不符合题意；B选项，过点P作AB的垂线，垂线是直线，故该选项符合题意；C选项，PO为垂线段，不是直线，故该选项不符合题意；D选项，PA没有垂直于AB，故该选项不符合题意；故选：B．知识点三：垂直的性质：在同一平面内，过一点作已知直线的垂线，有且只有1条直线与已知直线垂直。有且只有：存在且唯一。垂线段：过直线外一点作已知直线的垂线，点到垂足之间的部分叫做垂线段。垂线段最短：直线外一点连接直线上所有点的连线中，垂线段最短。点到直线的距离：垂线段的长度是直线外一点到该直线的距离。【类型一：垂线存在问题】9．如图，在平面内过A点作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（）A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条分析：根据垂直、垂线的定义，可直接得结论．【解答】解：在同一平面内，与已知直线垂直的直线有无数条，所以作已知直线m的垂线，可作无数条．故选：D．10．如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（）A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条分析：根据垂直、垂线的定义，可直接得结论．【解答】解：在同一平面内，与已知直线垂直的直线有无数条，所以作已知直线m的垂线，可作无数条．故选：D．11．在平面内，过一点画已知直线的垂线，可画垂线（）A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条分析：根据垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进行分析即可．【解答】解：在平面内，过一点画已知直线的垂线，可画垂线的条数是1．故选：B．【类型二：垂线段最短】12．如图，某同学在体育课上跳远后留下的脚印，在图中画出了他的跳远距离，能正确解释这一现象的数学知识是（）A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直分析：根据垂线段最短进行判断即可．【解答】解：由题意得，解释这一现象的数学知识是“垂线段最短”，故选：C．13．如图，将军要从村庄A去村外的河边饮马，有三条路AB、AC、AD可走，将军沿着AB路线到的河边，他这样做的道理是（）A．两点之间，线段最短 B．两点之间，直线最短 C．两点确定一条直线 D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短分析：根据垂线段最短即可求解．【解答】解：将军要从村庄A去村外的河边饮马，有三条路可走AB、AC、AD，将军沿着AB路线到的河边，他这样做的道理是垂线段最短．故选：D．14．在乡村振兴活动中，某村通过铺设水管将河水引到村庄C处，为节省材料，他们过点C向河岸l作垂线，垂足为点D，于是确定沿CD铺设水管，这样做的数学道理是（）A．两点之间，线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．垂线段最短 D．两条直线相交有且只有一个交点分析：根据垂线段最短进行判断．【解答】解：因为CD⊥l于点D，根据垂线段最短，所以CD为C点到河岸l的最短路径．故选：C．15．如图，河道的一测有甲、乙两个村庄，现要铺设一条管道将水引向甲、乙两村，下列四种方案中最节省材料的是（）A． B． C． D．分析：垂线段最短指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．依据线段的性质以及垂线段的性质，即可得出结论．【解答】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的方案是B选项．故选：B．【类型一：点到直线的距离】16．如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且PB⊥a，垂足是B，PA⊥PC，则下列不正确的语句是（）A．线段PB的长是点P到直线a的距离 B．PA、PB、PC三条线段中，PB最短 C．线段AC的长是点A到直线PC的距离 D．线段PC的长是点C到直线PA的距离分析：利用点到直线的距离的定义、垂线段最短分析．【解答】解：A、根据点到直线的距离的定义：即点到这一直线的垂线段的长度．故此选项正确；B、根据垂线段最短可知此选项正确；C、线段AP的长是点A到直线PC的距离，故选项错误；D、根据点到直线的距离即点到这一直线的垂线段的长度．故此选项正确．故选：C．17．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝3，BC＝4，AB＝5，则点C到直线AB的距离为．分析：运用直角三角形面积的两种求法求CD的长即可．【解答】解：由题意可知，△ABC的面积为，，∴AC×BC＝AB×CD，∴3×4＝5×CD，∴CD＝．故答案为．18．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，则点A到CD的距离是线段（）的长度．A．CD B．AD C．BD D．BC分析：根据点到直线的距离的概念判断即可．【解答】解：∵CD⊥AB，∴点A到AB的距离是线段AD的长度，故选：B．19．如图，在直线l外一点P与直线上各点的连线中，PA＝5，PO＝4，PB＝4.3，OC＝3，则点P到直线l的距离为（）A．3 B．4 C．4.3 D．5分析：由点到直线的距离概念，即可选择．【解答】解：∵直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，∴点P到直线l的距离为垂线段PO的长度，故选：B．20．点P为直线l外一点，点A为直线l上一点，PA＝4cm，设点P到直线l的距离是dcm，则（）A．d＞4 B．d≥4 C．d＜4 D．d≤4分析：根据点到直线的距离垂线段最短进行求解即可．【解答】解：∵点P到直线l的距离是dcm，点到直线的距离是垂线段的长度，垂线段最短PA＝4cm∴d≤4，故选：D．21．直线l上有A、B、C三点，直线l外有一点P，若PA＝2cm，PB＝4cm，PC＝3cm，那么P点到直线l的距离是（）A．等于2cm B．小于2cm C．不大于2cm D．大于2cm且小于3cm分析：根据点到直线的距离的定义和垂线段最短的性质解答．【解答】解：∵PA＝2cm，PB＝4cm，PC＝3cm，∴P点到直线l的距离不大于2cm．故选：C．22．如图，量得直线l外一点P到l的距离PB的长为6cm，若点A是直线l上的一点，那么线段PA的长不可能是（）A．5.5cm B．6.2cm C．7.5cm D．8cm分析：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短，据此可得结论．【解答】解：直线l外一点P到l的距离PB的长为6cm，点A是直线l上的一点，那么线段PA的长最短等于6cm，故不可能是5.5cm，故选：A．知识点四：同位角、内错角、同旁内角：同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角。如图中的∠1与∠5（举1例）。内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角。如图中的∠4与∠6（举1例）。同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角。如图中的∠4与∠5（举1例）。同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形。【类型一：判断同位角、内错角以及同旁内角】23．如图，下列图形中的∠1和∠2不是同位角的是（）A． B． C． D．分析：根据同位角的意义逐项进行判断即可．【解答】解：选项A中的∠1与∠2，是直线AB、BC被直线EF所截的同位角，因此选项A不符合题意；选项B中的∠1与∠2，是直线AB、MG被直线EM所截的同位角，因此选项B不符合题意；选项C中的∠1与∠2，没有公共的截线，因此不是同位角，所以选项C符合题意；选项D中的∠1与∠2，是直线CD、EF被直线AB所截的同位角，因此选项D不符合题意；故选：C．24．如图，直线b，c被直线a所截，则∠1与∠2是（）A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角分析：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．【解答】解：由题意可得，∠1与∠2是直线b，c被直线a所截而成的同位角．故选：B．25．如图所示，下列结论中正确的是（）A．∠1和∠2是同位角 B．∠2和∠3是