高中数学第三章概率3-3-1几何概型课件新人教A版必修3

3.3几何概型3.3.1几何概型必备知识·自主学习导思1.什么是几何概型？2.几何概型的概率计算公式是什么？几何概型(1)定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_____(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.(2)特点①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个.②每个基本事件出现的可能性_____.(3)几何概型的概率公式P(A)=______________________________________.长度相等【思考】(1)你是怎样理解“长度”一词的？提示：公式中“长度”的理解：公式中的“长度”不一定是实际意义的长度.有些书上也叫测度，测度的意义依试验的全部结果构成的区域而定，若区域分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的测度分别是长度、面积和体积.(2)几何概型与古典概型有何异同？提示：①相同点：古典概型与几何概型中每一个基本事件发生的可能性都是相等的.②不同点：古典概型要求随机试验的基本事件的总数必须是有限多个；几何概型要求随机试验的基本事件的个数是无限的，而且几何概型解决的问题一般都与几何知识有关.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)几何概型的基本事件有无数个，反之基本事件是无数个的随机事件一定属于几何概型. (

)(2)几何概型中的基本事件可能是一个数值、一个点、一个角等. (

)(3)几何概型的概率与构成事件的区域形状无关. (

)(4)在射击中，运动员击中靶心的概率在(0，1)内. (

)提示：(1)×.随机事件是否属于几何概型，要看其发生的概率是否只与长度(面积或体积)成比例，不能只看基本事件的个数.(2)√.几何概型中的长度包括区间长度、面积、角度等.(3)√.几何概型的概率与构成事件的区域形状无关，只与其大小有关.(4)×.在射击中运动员击中靶心的概率在[0，1]内.2.在线段[0，3]上任投一点，则此点坐标不大于1的概率为 (

)

A. B. C. D.1【解析】选B.坐标不大于1的区间为[0，1]，长度为1，[0，3]区间长度为3，故所求概率为.2.在线段[0，3]上任投一点，则此点坐标不大于1的概率为 (

)

A. B. C. D.1【解析】选B.坐标不大于1的区间为[0，1]，长度为1，[0，3]区间长度为3，故所求概率为.3.(教材二次开发：例题改编)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是 (

)

A. B. C. D.【解析】选B..关键能力·合作学习类型一与长度(角度)有关的几何概型(数学运算、直观想象)【题组训练】1.如图A，B两盏路灯之间的距离是30m，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C，D，则A与C，B与D之间的距离都不小于10m的概率为______.

2.如图，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为_____.

3.如图所示，在△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，高AD=，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，则BM<1的概率为______.

【解析】1.记E：“A与C，B与D之间的距离都不小于10m”，把AB三等分，由于中间长度为30×=10m，故P(E)==.答案：

2.如题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，所以OA落在∠yOT内的概率为.答案：

【解析】1.记E：“A与C，B与D之间的距离都不小于10m”，把AB三等分，由于中间长度为30×=10m，故P(E)==.答案：

2.如题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，所以OA落在∠yOT内的概率为.答案：

3.因为∠B=60°，∠C=45°，所以∠BAC=75°.在Rt△ABD中，AD=，∠B=60°，所以BD==1，∠BAD=30°.记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM<1”，则可得∠BAM<∠BAD时事件N发生.由几何概型的概率公式，得：P(N)=.答案：

【解题策略】求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解.要特别注意“长度型”与“角度型”的不同.解题的关键是构建事件的区域(长度或角度).【补偿训练】某汽车站每隔15min有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间超过10min的概率.【解析】设上一辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T2到达，则线段T1T2的长度为15，设T是线段T1T2上的点，且T1T=5，T2T=10，如图所示.

记“等车时间超过10min”为事件A，则当乘客到达车站的时刻t落在线段T1T上(不含端点)时，事件A发生.所以，即该乘客等车时间超过10min的概率是.类型二与面积有关的几何概型(直观想象，数学运算)角度1几何图形面积问题

【典例】(1)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，称高是“正从”，“步”是丈量土地的单位.现有一邪田，广分别为十步和二十步，正从为十步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田.若在邪田内随机种植一株茶树，则该株茶树恰好种在圭田内的概率为 (

)

A. B. C. D.(2)七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，顾名思义，是由七块板组成的.而这七块板可拼成许多图形.如图中的正方形七巧板就是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成的.若向正方形内随机地抛10000颗小米粒(大小忽略不计)，则落在阴影部分的小米粒的颗粒大约为 (

)A.3750 B.2500 C.1875 D.1250【思路导引】(1)转化为面积比问题解决.(2)转化为面积比问题解决.【解析】(1)选A.因为邪田的广分别为十步和二十步，正从为十步，圭田广为八步，正从为五步，在邪田内随机种植一株茶树，所以利用面积公式，算出圭田的面积为×8×5，邪田的面积为×10，所以根据几何概型概率公式可得该株茶树恰好种在圭田内的概率为P=.(2)选D.设大正方形的边长为2，则阴影部分是由2个小等腰直角三角形构成的，由图知，图中大等腰直角三角形的直角边为，设小正方形的边长为a，则小等腰直角三角形的直角边为a，即2a=，解得a=，所以小等腰直角三角形的面积为，所以阴影部分的面积为S阴影=，因为大正方形的面积S正=2×2=4，由与面积有关的几何概型概率公式可得，向正方形内撒小米粒，落在阴影区域内的概率为，设向大正方形内随机地抛10000颗小米粒(大小忽略不计)，则落在阴影部分的小米粒大约为x颗，所以，解得x=1250.角度2约会问题

【典例】某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为______(用数字作答).

【思路导引】构造两个变量，转化为平面直角坐标系中的面积问题解决.【解析】设小张与小王的到校时间分别为7：00后第x分钟，第y分钟，根据题意可画出图形，如图所示，则总事件所占的面积为(50-30)2=400.小张比小王至少早5分钟到校表示的事件A={(x，y)|y-x≥5，30≤x≤50，30≤y≤50}，如图中阴影部分所示，阴影部分所占的面积为，所以小张比小王至少早5分钟到校的概率为答案：

【解题策略】求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解.【题组训练】1.1876年4月1日，加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了勾股定理的一种证明方法，即在如图的直角梯形ABCD中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形的面积”，可以简洁明了地推证出勾股定理.1881年加菲尔德就任美国第二十任总统.后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、易懂的证明，就把这一证明方法称为“总统证法”.如图，设∠BEC=15°，在梯形ABCD中随机取一点，则此点取自等腰直角△CDE中(阴影部分)的概率是 (

)【解析】选C.在直角△BCE中，a=ccos15°，b=csin15°，则2.古代人常常会研究“最大限度”问题，如图是一个正三角形内最大限度地可以放入三个同样大小的圆，若将一个质点随机投入如图所示的正三角形ABC中(阴影部分是三个半径相同的圆，三个圆彼此互相外切，且三个圆与正三角形ABC的三边分别相切)，则质点落在阴影部分的概率是 (

)A. B.C. D.【解析】选D.设“质点落在阴影部分”为事件M.如图所示：设圆的半径为r，正三角形ABC的边长为a.因为∠PBO1=30°，所以=tan30°=，解得BP=r.同理，CQ=r.又因为PQ=O1O2=2r，所以BP+CQ+PQ=r+r+2r=(2+2)r=BC=a，所以由几何概型得，质点落在阴影部分的概率是类型三与体积有关的几何概型(直观想象，数学运算)【典例】已知正三棱锥S-ABC的底面边长为a，高为h，在正三棱锥内取点M，试求点M到底面的距离小于的概率.步骤内容理解题意条件：正三棱锥S-ABC的底面边长为a，高为h，在正三棱锥内取点M.结论：求点M到底面的距离小于的概率.思路探求作出图形，根据图形把概率问题转化为三棱锥的体积的比的问题.步骤内容书写表达如图，分别在SA，SB，SC上取点A1，B1，C1，使A1，B1，C1分别为SA，SB，SC的中点，则当点M位于平面ABC和平面A1B1C1之间时，点M到底面的距离小于.步骤内容书写表达设△ABC的面积为S，由△ABC∽△A1B1C1，且相似比为2，得△A1B1C1的面积为.由题意，知区域D(三棱锥S-ABC)的体积为Sh，区域d(三棱台ABC-A1B1C1)的体积为所以点M到底面的距离小于的概率为P=.步骤内容题后反思解决与体积有关的几何概型的关键点是注意几何概型的条件，分清所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆.【解题策略】关于与体积有关的几何概型(1)首先要明确所求事件构成的几何体的类型，如正方体、球等，再根据相应的公式求体积.(2)注意几何体的结构特征，一是可能是几何体的一部分，二是需不需要对几何体进行组合、割补.【题组训练】在体积为V的三棱锥S-ABC的棱AB上任取一点P，则三棱锥S-APC的体积大于的概率是______.

【解析】如图，三棱锥S-ABC的高与三棱锥S-APC的高相同.作PM⊥AC于M，BN⊥AC于N，则PM，BN分别为△APC与△ABC的高，所以

又，所以时，满足条件.设，则P在BD上，所求的概率.答案：

【补偿训练】如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A-A1BD内的概率为_____.

【解析】设长、宽、高分别为a，b，c，则此点在三棱锥A-A1BD内运动的概率

答案：

课堂检测·素养达标1.下列关于几何概型的说法中，错误的是 (

)

A.几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性B.几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关C.几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个D.几何概型中每个结果的发生都具有等可能性【解析】选A.几何概型和古典概型是两种不同的概率模型.2.设A(0，0)，B(4，0)，在线段AB上任投一点P，则|PA|<1的概率为 (

)A. B. C. D.【解析】选C.满足|PA|<1的区间长度为1，故所求其概率为.3.有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是 (

)

【解析】选A.中奖的概率依次为P(A)=，P(B)=，P(C)=，P(D)=.4.(教材二次开发：练习改编)在1000mL水中有一个草履虫，现从中随机取出3mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是______.

【解析】由几何概型知.答案：

5.一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30m，宽20m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率.【解析】如图所示，区域Ω是长30m、宽20m的长方形.图中阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率.由于区域Ω的面积为30×20=600(m2)，阴影部分的面积为30×20-26×16=184(m2).所以.即海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率约为0.31.Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的课堂在老人的脚下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永远不要拒绝孩子送给你的礼物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一