2021陕西西安西工大附中高三数学理科高考模考试含答案

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2021陕西西安西工大附中高三数学理科高考模考试含答案

一.选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分。在每小题给出

的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.已知集合M={y»=ln(x2+e)},集合N=Ms=Ji二7},则()

4{x|0Sx<l}B.{x|0MxM2}C.{#xM2}D.{x|xM2松Ne}

2.欧拉公式e"=cosx+isinx。为虚数单位)是由瑞士著名的数学家欧拉发现的，它将指数函

数的定义域扩大到复数集,建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，

被誉为"数学中的天桥"。根据欧拉公式可知，e与’表示的复数在复平面中对应的点位于()

4第一象限B.第二象限C.第三象限D第四象限

3.一组数据的平均数为a,方差为b,将这组数据的每个数都乘以m(m>0)得到一组新数

据，则下列说法正确的是()

4这组新数据的平均数为aA这组新数据的平均数为a+m

C.这组新数据的方差为wbD这组新数据的方差为m,

4.《三十六计》是中华民族珍贵的文化遗产，是一部传习久远的兵法奇书.三十六计共分

胜战计、敌战计、攻战计、混战计、并战讦、败战计六套，每一套都包含六计，共三十六个

计策。如果从这36个计策中任取2个计策，则这2个计策来自同一套的概率是()

5.函数f(x)=(e*T-ei卜inx的部分图像是()

ABCD

6.已知等差数列{a.}的前项和为S“，若S”=3875,5,=144,a„_4=139,

则”的值为〈〉

460855C.50D.45

7.过抛物线必=2px(p>0)的焦点F的直线,交抛物线于4B两点，且与1=-5而，则直

理科数学第1页共4JS

1/4

E4礼物L守'纥

线/的斜率是(

叵

2

8.直线=h交双曲线C、4-2=](a>">0)于P,。两点，〃是双曲线C上一点,

ab2>

若直线MP与直线同。的斜率之积是:，则双曲线C的离心率是()

24

C.26

~~3~

9.已知四面体ABCD的每个顶点都在球0的表面上，AB=AC=5fBC=S,

2Q_L底面NBC,M为A43c的重心，且直线DM与底面45c所成角的正切值为工，

2

则球0的表面积是()

,629634「671八2509

A.—nB.——冗C.——nD.-----n

3999

10.正A43c的边长为3,M是正&所在平面内一•点，则必・(2远+荻)最小值是

()

1L已知实数x,y满足条件(比胃:;，则(x+l)y的最大值是(〉

49

41BLC.--D.3

38

12.定义在RJ■的函数/(%)满足/'(x)-2〃x)-8>0,且〃0)=-2,则不等式

/(x)>2e2x-4的解集为()

4(0,2)B.(0,+oo)C.(O,4)D.(4,+oo)

二.填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分)

13.二项式•丫展开式中的常数项是______：

理科数学第2贝共4页

2/4

14.直线/:皿+期-加-2"=0被圆必+J?=21裁得的弦长的最小值是

15.将函数/(X)的图像向左平移/个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标伸长到原

来的4倍(纵坐标保持不变)得到g(x)=sin的图像，则〃x)的解析式为.

16.在直角坐标系中，定义两点4(三,必)与之间的"直角距离"为

“48)=|玉-9|+|%-对.若43是椭圆二+必=1上任意两点，则"(48)的最大值是_

4

三.解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤。

17.在M.BC中，内角48,C所对的边分别为a,b、c,3。sin5=5(2sin3+3sinCcosB)。

(/)求cos。的值；(〃)若c=4且a+b=6,求A4BC面积。

18.已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，左视图为等

腰直角三角形,俯视图为直角梯形.

(1)证明：BN1.平面G4N;(〃)求二面角C-NB「Ci的余弦值.

19.某市政府为了节约生活用电，计划在本市试行居民生活用电定额管理，即确定一户居民

月用电量标准a,

用电量不超过々的部分按平价收费，超出。的部分按议价

收费.为此，政府调查了100户居民的月平均用电量(单

位：度)，以[160,180),[180,200),[200,220),

[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)分组的

频率分布直方图如图所示.

(/)根据频率分布直方图的数据，求直方图中工的值并估

计该市每户居民月平均用电量〃的值；

(〃)用频率估计概率，利用(1)的结果，假设该市每户居民月平均用电量X服从正态分布

(i)估计该市居民月平均用电量介于〃〜240度之间的概率；

(ii)利用(i)的结论，从核审所有居民中随机抽取3户，记月平均用电量介于"〜240

度之间的户数为y,求丫的分布列及数学期望E(F).

理科数学第3页共4页

3/4

-V2

20.已知椭圆C:彳+，=1,的左顶点为A,,过其右焦点F作直线交椭画C于D,E(异于左、

右顶点)两点,直线/Q,4E与直线/:x=4分别交于M,N,线段AW的中点为H，连接FH.

(/)求证：FHS.DE;匚if

(〃)求ADEH面积的最]t值。

21.已知函数/'(x)=Inx,g(x)=X2.

(/)若不等式/(x)Vox-1对xe(0,+oo)恒成立，求实数a的范围；

(〃)若正项数列｛4｝("《N)满足q=匕％”=亨%,数列｛4｝的前加项和为S”，

求证：2e&>2"+l.

选考题：共10分.请考生在第22、23中任选一题作答，如果多做，

则按所做的第一题计分.

22.选修4-4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以原点为极点，以1轴的非负半轴为极轴建立极坐标系；曲线G

的极坐标方程为夕=4cos。。

Y—fCCWzy

｛y-：+，sina(a为参数)'求曲线的直角坐标方程和曲线

。2的普通方程；

⑷若曲线G的参数方程为('为参数)'点40'1)，曲线G与曲线G的交

点分别为M,N，求的取值范围。

23.选修4-5:不等式选讲

已知函数/■(；!：)=[3x+a|+|3x-a|.

(1)若a=l,解不等式/(x)26;

(〃)若不等式/'(x)2|a+2|对xeR恒成立，求实数册取值范围.

理科数学第4页共4页

4/4

高2021届第十二次适应性训练理科数学参考答案

L已知集合河=卜,=、（，+0）｝,集合及=｛，卜=7^7｝,则"nM=<

4付04x41｝B.｛x|04x42｝C.｛印MxM2｝。｛布《2则Ne｝

解：y*l,f，2,；选C。

2.欧拉公式4=85%+沔皿水为虚数单位）是由瑞士著名的数学家欧拉发现的,它将指数函

数的定义域扩大到多数集,建立了三角函数和指数函数的关系，它在复交函数论里非常重要，

当

被誉为“数学中的天桥”。根据欧拉公式可知，e3表示的复数在复平面中对应的点位于（）

4第一象限A第二象限C.第三象限D第四象限

解：e31=cos-+zsin—=---/>选。

3322

3.一组数据的平均数为a,方差为6,将这组数据的每个数都乘以m（m>0）得到一组新数

据，则下列说法正确的是（）

A.这组新数据的平均数为aB.这组新数据的平均数为a+m

C.这组新数据的方差为加6D这组新数据的方差为m3解：由定义可知，选。

4.《三十六计》是中华民族珍贵的文化遗产，是一部传习久远的兵法奇书。三十六计共分

胜战计、敌战计、攻战计、混战计、并战计、败战计六套，每一套都包含六计，共三十六个

计策。如果从这36个计策中任取2个计策，则这2个计策来自同一套的概率是（）

“1D1n1即6C；1皿,

A.—B.—C.—D.—解：p=——=一，选4

7213542嗫7

5.函数f（x）=（e'T-ei卜inx的部分图像是（）

ABCD

解：/（0）=0,/（1）=0/（万）=0,%£（0,1）时，/（x）v0;xe。,%）时，/（x）>0o选/

6.己知等差数列｛%｝的前项和为S“，若S”=3875,$9=144,〃i=139,

则〃的值为（）4608.55C.50D.45

理科数学分考答案第1页共9页

1/9

解：Sg=144=9%=>%=16,Q[+4=%+。1=16+139=155,=22^=50，

q+4155

选C

7.过抛物线/=2px（p>0）的焦点厂的直线/交抛物线于N,8两点，且万二-5而，则直

线，的斜率是（）A.正3.三C.±3D.土叵

2222

解：当力在第一象限时，万=-5BF=>|万|=5|而|=—S--=-J£—

Illi1-8S61+COS8

=cos6=,ntan8=咚•，由对称性可知左=±^~,5&D。

8.直线/:y=fcc交双曲线。：4-1=1（&>0/>0）于尸,。两点，〃■是双曲线C上一点,

ab

若直线MP与直线”。的斜率之积是g,则双曲线C的离心率是（〉

A.2B.—C.260.4

3

解：■S^(小,"),P(%,%),2(-%,-%卜%-务=1号-%=1,

-2-2

k.k五竺上竺叫.巨，=e-2选力

X2_mz/一3'选”

9.已知四面体ABCD的每个顶点都在球。的表面上，AB=AC=5,BC=3,

4O_L底面4BC,以为AASC的重心，且直线OM与底面4BC所成角的正切值为:，

则球。的表面积是（）A.7tB.71C.~~71D.------71

3999

o

解：延长4W如。于N,"=/C=5,Z?C=8n3=3,sinC=：,4M=2/iJ&4BC

a行4B25]

外接圆的半径，=甚而=了，由直线。”与底面48c所成角的正切值为5，得

40=3㈤^=1，所以&2=（/。）+尸2="+簧=翳=s=4乃&2选8

理科数学参考答案第2页共9页

2/9

10.正M8C的边长为3,M是正&4BC所在平面内一点，则而・（2亚+荻）最小值是

）G

解:而・（2筱+荻）=3而•（!•赤+；流；）八己加二|前+3流，贝11丽二g而,

、七拉,“加八自士上C——(A^+A/V)AMO-NANA

连接y4N,取中点O,M4•MN=A-------1_V--------L=_J—

444

附2=9+1-2*3又巧=10-3=7,...忘・(2砺+荻)之号,选0。(或者建系)

k+2小2.、

11.己知实数满足条件I-嘉6加（4以的最大值是（

49

A.1B.—C.-2).3

38

/、£1

解(一)：设Z=(x+l)、n»=——,由邀意当-14x42时，y=~x+lt相切时

x+12—

I1O1

由>^=---,»=_彳工+1得/_%+2(，_1)=0,4=0='=7，此时％=.—€[_1,2],

x+12-82

3「3一

选C.解(二)：当一24x4-1时，^=-x+3=>(x+l)7e--,0；当14x42时,

2|_o

O1,「9-

?=rx_3=>(x+l)je[-3,0]；当_14工42时，^=--x+l=>(x+l)^e0,g,

22Lo_

当-2《x41时，j=-^-x-l=>(x4-l)ye^-3,ij>所以最大值为.。

解(三)：(x+i>=*+i)(2y)4•色勺生二也当且仅当"1=2%即x=；时等号成立

12.定义在R上的函数/(X)满足/'(X)-2/(%)-8>0,且/(0)=-2,

则不等式/(%)>2£2*—4的解集为()4(0,2)6.(0,So)C.(O,4)D.(4.+<»)

解：/(%)>2+-4o[(")+4>2,设g(x)=/(：+4,则g(0)=2.

理科数学参考答案第3页共9页

3/9

即g（〉g（。），g'（，）=3尚H空=以±产＞。

V）-\r；＜

・・・g（x）在R上单调递增，g（x）＞g（0）=＞x＞0,选3。

，I2..t'»

13.二项式（4工-义］展开式中的常数项是解：C；（4x）［-/1=S169

14.直线/：尔+孙一加一2〃=0被圆X2+/=21截得的弦长的最小值是

,、._____与的短

解：直线，过定点”（1,2）,当ONU时，弦长最短，最小值为2,21-5三8

15.将函数f（x）的图像向左平移右个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标伸长到原

—纱）-

来的4倍•〈纵坐标保持不变）的图像，则/（X）的解析式为

解：将8（切=5m修+?）图像上所有点的横坐标缩短为原来的;（纵坐标保持不变），得

到h（x）=sin（2x+?），再将〃（x）的图像向右平移y个单位长度得到

/（x）=（闻=sin（2x喑）

16.在直角坐标系中，定义两点/（芍,乂）与之间的■直角距离”为

"（48）=区-三|+也-切.若48是椭圆9+y=1上任意两点，则d（4B）的最大值是_

解（—）：设N（2cosa,sina）,5（2cos/,sin/?）,由柯西不等式可知

d(4,B)=2|cosa-cosfl\+|sina-s\nfi\<J(4+,[|cosa-cos4『十|sina-sin

=V5•丁2-28s(a-6)M2>/5

解O设/&』）,巩三㈤，则＜+＞=4+义=1.

bki二

理科数学叁考答案第4页共9页

4/9

1=笠'+，3+*仍4电%'）=（芋4*M8）+；（石%-彳2%）%（牛+如）=

恃+乂韭1,则丐J（i2）z=2-2（芋+词“

由柯西不等式可知

（4+1）8；）-+（/-%）2川西-9|+帆-力|）2=（|占-引+瓦一叫）匕20=

LJ.

人一司+|弘一刃426.・.d（4B）=|x1T2卜|乂一必|的最大值是2氐

17.在MBC中，内角4B,C所对的边分别为。力,c,3asinB=“2sin3+3sinCeos5）.

（1）求cosC的值；（〃）若c=4且a+b=6,求&4BC面积。

解：（1）由3asin5=b（2sin3+3sinCcosB）及正弦定理得

t-

3sin4sin8=sinB（2sinB+3sinCcosB）,•1Bw（0,%）,/.sin3w0,

则3sinN=2SinB+3sinCcos3=3sin（jB+C）=2sin5+3sinCcosB

2

=>3sinBcosC=2sinB=>cosC=­o

3

22

（〃）由。=4且a+b=6及余弦定理得。2=a+b-2obcosC

=16=（Q+8）2-a5sinC=-x6x—=>/5

223

18.己知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，左视图为等

腰直角三角形,俯视图为直角梯形.

（7）证明：BN±平面G4N；（〃）求二面角c-网-G的余弦值.

解：（/）证明•・•该几何体的正视图为矩形，左视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，・・•

BA,BCfBB｝两两垂直.以BA,BBX,BCf分别为xtytz轴建立空间直角坐标系，

，-

B（0,0,0）,N（4,4,0）,340,8,0），G（0,8,4）,C（0,0,4）

理科数学参行答案第s页共9页

5/9

则丽=(4.4,0),而=(4.-4,0)“•，丽•丽=16-16=O,BNJ_4N

跖=(0。4),丽•昭=4x0+4x0+0x4=0,j.HN_LBG

B

又用ND81cLiBN±平面4GN-

(//)••-8N•L平面耳GN，二丽=(4,4,0)是平面B|GN

的一个法向量。设7=(x,y,z)为平面的法向量，则

|««0?=0f(x,y,z)-(4,4.-4)=0fx+y-z=0

17•布=0,t(xj,z).(4,-4,0)=0，'[x-y=0'

qj.

不妨取X=1,贝3=1,z=2,则n=(1,1,2)是平面与CN的一个法向量

而3=4+4_1V3

则cos<BN,n>=

一|丽|.|犷W6+1U+1+4一耳―T"

所以，所求二面角C-N4-G的余弦值为弓.

19.某市政府为了节约生活用电，计划在本市试行居民生活用电定额管理J

即确定一户居民月用电量标准。，用电量不超过a的部分按平价收费，

超出。的部分按议价收费.为此，政府调查了100户居民的月平均用电

盘(单位：度)，以[160,180),[180,200)；[200,220),[220,240),

[240,260),[260,280),[280,300)分组的频率分布直方图如图所示.

(/)根据频率分布直方图的数据，

求直方图中x的值并估计该市每户居民月平均用电量n的值；

(〃)用频率估计概率，利用(1)的结果，假设该市每户居民月平均用电量X服从正态分布

N.,/)

(i)估计该市居民月平均用电量介于〃〜240

度之间的掇率；

(ii)利用(i)的结论，从该申所有居民中随机

抽取3户，记月平均用电量介号"〜240度之间的

户数为y,求y的分布列及数学期望E(r).

解；(1)由(0.002+0.00954-0.011+0.0125+X+0.005+0.0025)x20=1(^x=0.0075

//=170x0.04+190x0.19+210x0.22+230x0.25+250x0.15+270x0.1+290x0.05=225.6

(2)(i)P(225.6<X<240)=i[r-2P(Z>240)]=1

(ii)♦.•y~8(3，m，・・.P(y=A)=c；(；JC*,*=o；L2,3・lt

理科数学参考答案第6页共9页"/

6/9

所以y的分布列为

Y0123

6448121

P

125125125125

1Q

.-.£（r）=3x-l=^.

20.已知椭圆C:工+二=1的左顶点为A,过其右焦点F作直线交椭圆C于D,E（异于左

右顶点）两点，直线4D,/E与直线/:x=4分别交于Af,N,线段处的中点为连接EW.

（7）求证：FH1.DE;（〃）求ADEK面积的最大值。

解：（/）由己知得尸（1,0）,设。（三,耳）,£（%,%）直线OE的方程为毛=即+1,与椭圆方

程联立得（3加2+4）+6my-9=0,必+%=，%％=-3m2+4

设直线4D的方程为＞=一匕一（x+2），与直线/:x=4联立得Af［4,色同理可得

玉+2IXr+2）

生］，则%=^^=3（4+4）=3,即*+：（必+?）加

（匕+2）2I网+3myi+3）”必必+3闭（必+%）+9

_3m—0

日（4,一3桃）,％=一^-=当加=0时，显然DE_LVH;

4—1

［：；.$•，-

当加，0时，k^k=—=DE1FH,综上，可得

DFHm

（或者取直线OE的方向向量3=（加,1）,丽=（3,-3m）,，丽=3m-3m=0,「.OE_LM）

（"）1%-%|="（M+%）\"%=^t：）2+5^-

|DE|=3+I|M-%”：（1+）H到直线。确距离"=的巴

3m+4yjm+1

S^H=；|/xdJ与堂f，设—4^1=9=产-1,

"）=局*=岛（/川，/（'）=隔＞。,

理科数学参考答案第7页共9页

7/9

,•./(，)在[I,皿)上单调递增，/OL„=/(1)=1.S(=I.即m=0W取得最小血

/、

Q,[

.♦"EH面积的最小值是会或者即'(r)=an」T说明在口；+6。)上单调递增

21.已知函数/'(x)=lnx,g(x)=x2.1D

(1)若不等式/(X)VR-1对xe(0,+oo)恒成立，求实数淑范围；

(〃)若正项数列｛%｝满足0,=34“=争&，数列｛4｝的前”项和为S“

求证：2人>2"+1.

解：(1)/(%)4办T对Xw(0,+00)恒成立oa2处把对Xw(0,X0)恒成立，

设F(x)=W把(x>0),则尸(切=-整,xe(0,l)时，尸(x)>0,尸(x)单调递增；

xe。*0)时,尸(x)<0,尸(x)单调递减。F(x)g=F⑴=1,.-.aN1»

.•・实数通取值范围是口,+8).

（〃）取a=l,由（/）可知InxWx-l对xs（0,+oo）恒成立，贝!lln（l+/）4x

••a（）-x2a-2g（4）/0_2an_2a^=>