第01讲 集合的概念与集合间的基本关系（教师版）-2023年新高一（初升高）暑期数学衔接（新人教版）

第01讲集合的概念与集合间的基本关系【学习目标】1.通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系.2.能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用.3.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.4.在具体情境中,了解空集的含义.【基础知识】一、集合的概念1.元素与集合：我们把研究对象称为元素,把一些元素组成的总体叫集合.集合通常用大写字母表示.集合的元素通常用小写字母表示.二、集合与元素的关系如果a是集合A的元素,记作,读作“a属于A”；如果a不是集合A的元素,记作,读作“a不属于A”.三、集合中元素的特点1.确定性：集合的元素必须是确定的.2.互异性：对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不相同的.3.无序性：集合中的元素可以任意排列.四、常用数集及其记法所有非负整数组成的集合称为非负整数集(或自然数集),记作N;所有正整数组成的集合称为正整数集,记作N+或N*；所有整数组成的集合称为整数集,记作Z；所有有理数组成的集合称为有理数集,记作Q；所有实数组成的集合称为实数集,记作R.五、集合的表示1.列举法:把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔),放在大括号内,依此表示集合的方法称为列举法,如,等.2.描述法:一般地,如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质,而不属于集合A的元素都不具有这个性质,则性质为集合A的一个特征性质,此时集合A可以表示为,这种表示集合的方法称为特征性质描述法,简称描述法.3.解决集合问题首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义),如表示方程x2－x=0的解集；表示函数y=x2-x的自变量组成的集合；表示函数y=x2－x的函数值组成的集合；表示抛物线y=x2－x上的点组成的集合.六、子集1.一般地如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,那么集合A为集合B的子集.,记作A⊆B(或B⊇A),读作“A包含于B”(或“B包含A”).2.规定：空集是任何集合的子集,即.3.子集的性质：(1)任何一个子集都是它本身的子集,即.(2)若,且,则.七、韦恩图韦恩(Venn)图：为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为韦恩图.A是B的子集,可用下图表示：BBA 八、真子集1.如果集合A是集合B的子集,并且集合B中至少有一个元素不属于A,那么集合A称为集合B的真子集,记作AB(或BA),读作：A真包含于B(或B真包含A).2.真子集的性质(1)空集是任何非空集合的子集.(2)若AB,BC,则AC.九、集合的相等与子集的关系1.如果A⊆B且B⊆A,则A=B.2.如果A=B,则A⊆B且B⊆A.十、有限集合的子集个数若集合A中有n个元素,则集合A的所有子集的个数为2n,真子集个数为2n－1,非空子集个数2n－1,非空真子集个数为2n－2.【基础知识】考点一：集合的判断例1．(2022学年湖南省怀化市第五中学高一上学期期中)下面给出的四类对象中,构成集合的是(

)A．某班视力较好的同学 B．长寿的人 C．的近似值 D．倒数等于它本身的数【答案】D【解析】对于A,视力较好不是一个明确的定义,故不能构成集合；对于B,长寿也不是一个明确的定义,故不能构成集合；对于C,的近似值没有明确近似到小数点后面几位,不是明确的定义,故不能构成集合；对于D,倒数等于自身的数很明确,只有1和-1,故可以构成集合；故选D.考点二：元素与集合的关系例2．(2022学年】浙江省金华市曙光学校高一上学期10月月考)给出下列关系：①∈R；②∈Q；③－3Z；④N,其中正确的个数为(

)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】是实数,①正确；是无理数,②错误；－3是整数,③错误；－是无理数,④正确.所以正确的个数为2.故选B.考点三：集合中元素互异性的应用例3．(2022学年湖北省十堰市车城高中高一上学期9月月考)由,,可组成含个元素的集合,则实数的取值可以是(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】由元素的互异性可得,解得且且.故选C.考点四：集合的表示例4．(多选)集合用描述法可表示为(

)A．是不大于9的非负奇数 B．且C． D．【答案】AB【解析】对A,是不大于9的非负奇数表示的集合是,故A正确；对B,且表示的集合是,故B正确；对C,表示的集合是,故C错误；对D,表示的集合是,故D错误.故选AB.考点五：集合关系的判断例5．(多选)(2022学年黑龙江省齐齐哈尔市第一中学高一上学期9月月考)下列各式中正确的是(

)A． B．C． D．【答案】BD【解析】由子集的定义易知B正确；对A,,错误；对C,表示有2个元素的数集,表示有一个元素的点集,错误；对D,空集是任何集合的子集,正确.故选BD.考点六：由集合包含关系求参数的值或范围例6．(2022学年湖南省永州市第二中学高一上学期10月月考)已知(1)若求实数a的取值范围(2)若,求实数的取值范围【解析】(1)∵,∴,即,∴实数a的取值范围为；(2)∵,,∴,解得,故实数的取值范围为.考点七：子集个问题例7．(2022学年湖南省长沙市师大附中梅溪湖中学高一上学期阶段性评估)集合,,则集合的真子集的个数为(

)A．8 B．6 C．7 D．15【答案】C【解析】,集合的真子集的个数为个.故选C.【真题演练】1．(2018年高考全国卷Ⅱ卷)已知集合,则中元素的个数为 ()A．9 B．8 C．5 D．4【答案】A【解析】,故选A．2.(2020-2021学年云南省北大附中云南实验学校高一3月月考)下列各对象可以组成集合的是(

)A．与非常接近的全体实数B．北大附中云南实验学校学年度第二学期全体高一学生C．高一年级视力比较好的同学D．高一年级很有才华的老师【答案】B【解析】对于ACD,集合中的元素具有确定性,但ACD中的元素不确定,故不能构成集合,ACD错误；B中的元素满足集合中元素的特点,可以构成集合,B正确.故选B.3.(2022学年河南省焦作市县级重点中学高一上学期期中)给出下列四个关系：π∈R,0∉Q,0.7∈N,0∈∅,其中正确的关系个数为(

)A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】∵R表示实数集,Q表示有理数集,N表示自然数集,∅表示空集,∴π∈R,0∈Q,0.7∉N,0∉∅,∴正确的个数为1.故选D.4.(2020-2021学年湖北省襄阳市第二十四中学高一上学期9月月考)下面五个式子中：①；②；③{a}{a,b}；④；⑤a{b,c,a}；正确的有(

)A．②④⑤ B．②③④⑤ C．②④ D．①⑤【答案】A【解析】中,是集合{a}中的一个元素,,所以错误；空集是任一集合的子集,所以正确；是的子集,所以错误；任何集合是其本身的子集,所以正确；a是的元素,所以正确.故选A.5.(2022学年江西省重点名校高一3月联考)设集合,且,则满足条件的集合的个数为(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】因为,由题意可知,集合为的子集,则满足条件的集合的个数为.故选B.6.(2020-2021学年甘肃省金昌市永昌县第一高级中学高一上学期第一次月考)集合,则的值为(

)A．0 B．1 C．－1 D．±1【答案】B【解析】因为,且,所以,即,所以,,又因为,所以,所以,故选B.7.(多选)(2022学年广东省茂名市第五中学高一上学期期中)下列集合中,可以表示为的是(

)A．方程的解集B．最小的两个质数C．大于1小于4的整数D．不等式组的整数解【答案】BCD【解析】对于A,方程的解集为,不符合；对于B,最小的两个质数构成的集合,符合；对于C,大于1小于4的整数构成的集合,符合；对于D,由,可得,即,故整数解集为,符合.故选BCD8.(2020-2021学年云南省德宏州高一上学期期末统一监测)若一个集合是另一个集合的子集,则称两个集合构成“鲸吞”；对于集合,,若这两个集合构成“鲸吞”,则的取值为____________．【答案】0【解析】当时,,显然,符合题意；当时,显然集合中元素是两个互为相反数的实数,而集合中的两个元素不互为相反数,所以集合、之间不存在子集关系,不符合题意,故答案为【过关检测】1．(2022学年甘肃省静宁县第一中学高一上学期第一次月考)若以集合的四个元素为边长构成一个四边形,则这个四边形可能是(

)A．矩形 B．平行四边形C．梯形 D．菱形【答案】C【解析】由题意,集合的四个元素为边长构成一个四边形,根据集合中元素的互异性,可得四个元素互不相等,以四个元素为边长构成一个四边形,结合选项,只能为梯形.故选C.2．(2022学年湖南省怀化市第五中学高一上学期期中)①,②,③,④,其中正确的个数为(

)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】正确；正确；不正确,左边是数集,右边是点集；不正确,左边是点集,右边是点集,但点不相同.故正确的有①②,共2个.故选B.3.(2022学年黑龙江省七台河市勃利县高级中学高一上学期9月月考)已知集合,且,则实数m的值为(

)A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或3【答案】A【解析】因为,且,所以或,解得或或,当时,即集合不满足集合元素的互异性,故,当时集合不满足集合元素的互异性,故,当时满足条件；故选A4.(2022学年安徽省宣城八校高一上学期期中联考)已知集合,,若,则实数的取值范围是(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】当时,即当时,,合乎题意；当时,即当时,由可得,解得,此时.综上所述,.故选A.5.(2022学年重庆市渝北中学校高一上学期阶段一质量检测)当一个非空数集满足：如果,则,且时,时,我们称就是一个数域,以下关于数域的说法：①是任何数域的元素；②若数域有非零元素,则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域；⑤任何一个有限数域的元素个数必为奇数,其中正确的选项是(

)A．①②④ B．②③④⑤ C．①④⑤ D．①②④⑤【答案】D【解析】对于①,当且时,由数域定义知：,是任何数域的元素,①正确；对于②,当且时,由数域定义知：,,,,…,,②正确；对于③,当,时,,③错误；对于④,若,则,且当时,,则有理数集是一个数域,④正确；对于⑤,,若且,则,则这个数不为则必成对出现,数域的元素个数必为奇数,⑤正确.故选D.6.(多选)(2022学年甘肃省张掖市高一上学期期末)下列关系式错误的是(

)A． B． C． D．【答案】AC【解析】A选项由于符号用于元素与集合间,是任何集合的子集,所以应为,A错误；B选项根据子集的定义可知正确；C选项由于符号用于集合与集合间,C错误；D选项是整数集,所以正确.故选AC.7.(多选)(2020-2021学年湖南省A佳大联考高一下学期3月考试)已知集合,,若,则实数a的值可能是(

)A．−1 B．1 C．−2 D．2【答案】ABC【解析】