专题16 基本不等式（学生版）-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义

专题16基本不等式【知识点梳理】知识点一：基本不等式1、对公式及的理解.(1)成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；(2)取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.2、由公式和可以引申出常用的常用结论①(同号)；②(异号)；③或知识点诠释：可以变形为：，可以变形为：.知识点二：基本不等式的证明方法一：几何面积法如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有.得到结论：如果，那么(当且仅当时取等号“=”)特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得：如果，，则，(当且仅当时取等号“=”).通常我们把上式写作：如果，，，(当且仅当时取等号“=”)方法二：代数法∵，当时，；当时，.所以，(当且仅当时取等号“=”).知识点诠释：特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得：如果，，则，(当且仅当时取等号“=”).通常我们把上式写作：如果，，，(当且仅当时取等号“=”).知识点三：基本不等式的几何意义如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、.易证，那么，即.这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.知识点诠释：1、在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数.因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2、如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.知识点四：用基本不等式求最大(小)值在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.①一正：函数的解析式中，各项均为正数；②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.知识点诠释：1、两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数.2、两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解.3、基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值.4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：①各项都是正数；②和(或积)为定值；③各项能取得相等的值.5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；③在定义域内，求出函数的最大或最小值；④写出正确答案.【题型归纳目录】题型一：对基本不等式的理解及简单应用题型二：利用基本不等式比较大小题型三：利用基本不等式证明不等式题型四：利用基本不等式求最值题型五：利用基本不等式求解恒成立问题题型六：基本不等式在实际问题中的应用【典例例题】题型一：对基本不等式的理解及简单应用例1．(2023·上海静安·高一校考期中)给出下列命题中，真命题的个数为(

)①已知，则成立；②已知且，则成立；③已知，则的最小值为2；④已知，，则成立．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个例2．(2023·四川绵阳·高一校考开学考试)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为(

)A． B．C． D．例3．(2023·高一课时练习)现有以下结论：①函数的最小值是；②若、且，则；③的最小值是；④函数的最小值为.其中，正确的有(

)个A． B． C． D．变式1．(多选题)(2023·全国·高三专题练习)下列推导过程，正确的为(

)A．因为、为正实数，所以B．因为，所以C．，所以D．因为、，，所以变式2．(多选题)(2023·湖北武汉·高一湖北省武昌实验中学校考阶段练习)下列推导过程，正确的为(

)A．因为a，b为正实数，所以≥2＝2B．因为x∈R，所以1C．因为a＜0，所以+a≥2＝4D．因为，所以题型二：利用基本不等式比较大小例4．(2023·湖南张家界·高一张家界市民族中学校考阶段练习)设，则下列不等式成立的是(

)A． B．C． D．例5．(2023·河南郑州·高一校考阶段练习)若，则下列不等式成立的是(

)A． B．C． D．例6．(2023·浙江宁波·高一镇海中学校考期中)已知，则(

)A． B．C． D．变式3．(2023·山东青岛·高一青岛二中校考期中)设正实数a、b满足，则下列结论正确的是(

)A． B． C． D．变式4．(2023·北京·高一北京四中校考阶段练习)对于实数有下列命题：①若，则②若，则；③若，则；④若，则.则其中真命题的个数是(

)A．1 B．2 C．3 D．4变式5．(2023·高一课时练习)已知a、b为正实数，，则(

)A． B．C． D．题型三：利用基本不等式证明不等式例7．(2023·全国·高一专题练习)已知，，且，求证：.例8．(2023·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第70中校考期末)已知是正实数.(1)若，证明：；(2)证明：.例9．(2023·安徽芜湖·高一校考阶段练习)已知，，，求证：.变式6．(2023·陕西榆林·高一统考期末)已知，.(1)若，求的最大值；(2)若，证明：.题型四：利用基本不等式求最值例10．(2023·广东惠州·高一统考期末)已知，，且，则ab的最大值为___________．例11．(2023·陕西汉中·高一校联考期末)若满足，则的最大值是______.例12．(2023·北京·高一校考阶段练习)已知x，y都为正数，且2x＋y＝1，则①2xy的最大值为

②的最小值为③的最大值为

④的最小值为所有正确的序号是______．变式7．(2023·广东汕头·高一金山中学校考期中)已知正实数满足，则的最小值为__________.变式8．(2023·全国·高一专题练习)已知，，若，则的最小值为______.变式9．(2023·湖南邵阳·高一统考开学考试)若，，且，则的最小值为________．变式10．(2023·高一校考课时练习)正实数满足，则的最小值为_______.变式11．(2023·高一课时练习)若，且，则的最小值为______.变式12．(2023·全国·高一专题练习)若，且，则的最小值为______.变式13．(2023·云南保山·高一校联考阶段练习)若，则的最小值为__________.变式14．(2023·浙江杭州·高一杭师大附中校考期末)已知，且，则的最小值为_________.变式15．(2023·陕西咸阳·高一校考阶段练习)已知，且，则的最小值为__________．变式16．(2023·云南昆明·高一统考期末)，，且，则ab的最小值为________．变式17．(2023·四川眉山·高一校考期末)已知，则的最小值是________；变式18．(2023·上海宝山·高一上海市吴淞中学校考阶段练习)若，则的最小值为_________.变式19．(2023·天津·高一统考期末)若，则的最小值为______．变式20．(2023·云南昆明·高一统考期末)已知，，若，则的最小值为______．变式21．(2023·全国·高一专题练习)函数的最小值为_________．变式22．(2023·安徽滁州·高一校考期中)已知，的最小值为____________.变式23．(2023·全国·高一专题练习)函数的最小值为______．变式24．(2023·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考开学考试)已知实数且，则的最小值为______.变式25．(2023·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习)已知a、，且，则ab的最大值是____________.变式26．(2023·江苏常州·高一华罗庚中学校考阶段练习)已知，且，，则的最小值为______.题型五：利用基本不等式求解恒成立问题例13．(2023·广东深圳·高一校考阶段练习)为加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为4米，底面积为32平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室后背靠墙，无需建造费用，某公司给出的报价为：应急室正面和侧面报价均为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，设应急室的左右两侧的长度均为米，公司整体报价为元.(1)试求关于的函数解析式；(2)公司应如何设计应急室正面和两侧的长度，可以使学校的建造费用最低，并求出此最低费用.例14．(2023·四川成都·高一中和中学校考开学考试)为了加强“平安校园”建设，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元.设屋子的左右两面墙的长度均为米.(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价；(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围.例15．(2023·全国·高一专题练习)为迎接四川省第十六届少数民族传统运动会，州民族体育场进行了改造翻新，在改造州民族体育场时需更新所有座椅，并要求座椅的使用年限为15年，已知每千套座椅建造成本是8万元，设每年的管理费用为万元与总座椅数千套，两者满足关系式：．15年的总维修费用为80万元，记为15年的总费用．(总费用=建造成本费用+使用管理费用+总维修费用)．请问当设置多少套座椅时，15年的总费用最小，并求出最小值．变式27．(2023·山西太原·高一校联考阶段练习)某游泳馆拟建一座占地面积为200平方米的矩形泳池，其平面图形如图所示，池深1米，四周的池壁造价为400元/米，泳池中间设置一条隔离墙，其造价为100元/米，泳池底面造价为60元/平方米(池壁厚忽略不计)，设泳池的长为x米，写出泳池的总造价，问泳池的长为多少米时，可使总造价最低，并求出泳池的最低造价．题型六：基本不等式在实际问题中的应用例16．(2023·辽宁沈阳·高一统考期末)已知实数a，b满足，若对于，恒成立，则实数m的取值范围是______．例17．(2023·安徽·高一淮北一中校联考开学考试)已知正数x，y满足，若不等式对任意正数x，y恒成立，则实数m的取值范围为__________．例18．(2023·广东广州·高一校考期末)已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_____________．变式28．(2023·北京·高一校考阶段练习)对任意正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．变式29．(2023·全国·高一假期作业)已知，若恒成立，则实数m的取值范围是____________．变式30．(2023·上海宝山·高一校考期中)已知，若不等式对一切实数、恒成立，则实数的取值范围是__________．变式31．(2023·江苏徐州·高一徐州市第七中学校考阶段练习)若对任意，，不等式恒成立，则的取值范围是__________.变式32．(2023·湖南邵阳·高一湖南省邵东市第一中学校考阶段练习)对任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________.变式33．(2023·辽宁沈阳·高一沈阳市第十一中学校考期中)已知，，若不等式恒成立，则实数m的最大值为______．【过关测试】一、单选题1．(2023·高一课时练习)若，则的最值情况是(

)A．有最大值 B．有最小值6 C．有最大值 D．有最小值22．(2023·高一课时练习)函数的最小值为(

)A．2 B． C．3 D．43．(2023·高一课时练习)已知，那么c的最大值为(

)A．1 B． C． D．4．(2023·广东深圳·高一深圳外国语学校校考期中)的最小值等于(

)A．3 B． C．2 D．无最小值5．(2023·高一课时练习)已知，则当取最大值时，的值为(

)A． B． C． D．6．(2023·高一课时练习)若对任意，恒成立，则实数的取值范围是(

)A． B． C． D．7．(2023·高一课时练习)已知，则的最小值为(

)A．4 B． C． D．8．(2023·高一课时练习)下列使用均值不等式求最小值的过程，正确的是(

)A．若，则B．若，则由知，的最小值为1C．若，则D．若，则二、多选题9．(2023·江苏扬州·高一校考阶段练习)以下四个命题，其中是真命题的有(

)A．若，则B．若，则C．若，则函数的最小值为D．若，，，则的最小值为410．(2023·高一平湖市当湖高级中学校联考期中)设，且，则(

)A． B．C．的最小值为0 D．的最小值为11．(2023·湖南邵阳·高一武冈市第二中学校考阶段练习)已知正数满足，则下列选项正确的是(

)A．的最小值是2 B．的最大值是1C．的最小值是4 D．的最大值是212．(2023·福建泉州·高一石狮市第一中学校考期中)下列说法正确的是(

)A．若，则B．若正数a、b满足，则的最小值为4C．若，，则的范围为D．若，则函数的最大值为三、填空题13．(2