【选修】7.1.2全概率公式(第二版)

7.1.2

全概率公式【选择性必修第三册】2学习目标1.结合古典概型,会利用全概率公式计算概率.重点：利用全概率公式计算概率.难点：正确理解全概率公式.核心素养：数学建模、逻辑抽象、数学运算.2.了解贝叶斯公式.3复习回顾1.条件概率(P(A)>0)(0≤P(B|A)≤1)(4)当且仅当事件A与B相互独立时,则

P(B|A)=P(B).3.概率的性质(P(A)>0)(1)P(Ω|A)=1;(2)如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A);P(AB)=P(A)

P(B|A).2.概率的乘法公式(P(A)>0)(3)设和B是两个对立事件,则P(|A)=1-P(B|A).

由抽签的公平性可知,第2次摸到红球的概率也应是.但此结果并不显然,因第2次摸球的结果受第1次摸球结果的影响.4从有a个红球和b个蓝球的袋子中,每次随机摸出1个球,摸出的球不再放回.显然,第1次摸到红球的概率为.那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？用Ri表示事件“第i次摸到红球”,Bi表示事件“第i次摸到蓝球”,i=1,2.如图7.1-2所示,事件R2可按第1次可能的摸球结果(红或蓝)表示为两个互斥事件的并,即P(R2)=P(R1R2∪B1R2)R2=R1R2∪B1R2.利用概率的加法公式和乘法公式,得R1R2B1R2B2B2R1R2R1B2B1R2B1B2P(R1)P(B1)P(R2|R1)P(B2|R1)P(R2|B1)P(B2|B1)图7.1-2=P(R1R2)+P(B1R2)5=P(R1)P(R2|R1)+P(B1)P(R2|B1)

上述过程采用的方法是：按照某种标准,将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并,再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率.6(1)注意公式满足的条件是：①A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,②A1∪A2∪…∪An=Ω,③目标事件B是由Ω中若干个基本事件构成的.一、全概率公式

一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,……,n,则对任意的事件B

Ω,有上面的公式为全概率公式.它是概率论中最基本的公式之一.(2)先有Ai后有B,Ai的发生对B的发生均有一定作用,只有Ai发生了,才有B发生的可能性,Ai是B发生的全部“原因”.因此,我们可视为公式的直观作用是“由因求果”.7分析:第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响,可根据第1天可能去的餐厅,将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并,利用全概率公式求解.例4

某学校有A,B两家餐厅,王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.6;如果第1天去B餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率.解：设A1=“第1天去A餐厅用餐”,B1=

“第1天去B餐厅用餐”,A2=“第2天去A餐厅用餐”,则Ω=A1∪B1,且A1与B1互斥.根据题意得P(A1)=P(B1)=0.5,P(A2|A1)=0.6,P(A2|B1)=0.8.由全概率公式,得P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=0.5×0.6+0.5×0.8=0.7.因此,王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7.81.

现有12道四选一的单选题,学生张君对其中9道题有思路,3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率为0.9,没有思路的题只好猜一个答案,猜对的概率为0.25.张君从这12道题中随机选择1题,求他做对该题的概率.P(B|A)=0.9,由全概率公式,得=0.7375.

即王同学做对该题的概率为0.7375.解:设事件A=“对所选的题有思路”,=“对所选的题完全没有思路”,事件B=“做对所选题目”,则Ω=A∪,且A与互斥.根据题意得P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)9例5

有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为6%,第2、3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.解：设B=“任取一零件为次品”,Ai=“零件为第i台车床加工”(i=1,2,3),则Ω=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3互斥.根据题意得(1)任取一个零件,计算它是次品的概率;(2)如果取到的零件是次品,计算它是第i(i=1,2,3)台车床加工的概率.分析:取到的零件可能来自第1台车床,也可能来自第2、3台车床,有3种可能.设B=“任取一零件为次品”,Ai=“零件为第i台车床加工”(i=1,2,3),如图7.1-3所示,可将事件B表示为3个两两互斥事件的并,利用全概率公式可以计算出事件B的概率.图7.1-3A1A2A3A3BA1BA2BB注释：P(A1B)=P(A1)P(B|A1)=P(B)P(A1|B).P(A1|B)=10P(B|A1)=0.06,P(B|A2)=P(B|A3)=0.05.P(A2|B)=

(1)由全概率公式,得类似地,可得P(A3|B)=

图7.1-3A1A2A3A3BA1BA2BBP(A1)=

0.25,P(A2)=0.30,P(A3)=0.45,P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.25×0.06+0.30×0.05+0.45×0.05(2)“如果取到的零件是次品,计算它是第i(i=1,2,3)台车床加工的概率”就是计算在B发生的条件下,事件Ai发生的概率.=0.0525.“由果索因”11P(Ai)是试验之前就已知的概率,它是第i台车床加工的零件所占的比例,称为先验概率.当已知抽到的零件是次品(B发生),P(Ai|B)是这件次品来自第i台车床加工的可能性大小,通常称为后验概率.若对加工的次品要求操作员承担相应的责任,则就分别是第1,2,3台车床操作员应承担责任的份额.二、先验概率与后验概率三、贝叶斯公式P(Ai|B)=设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,……,n,则对任意的事件B

Ω,P(B)>0,有i=1,2,……,n.

例5中P(Ai),P(Ai|B)的实际意义是什么？“由果索因”12(1)分别求接收的信号为0和1的概率;分析:设A=“发送的信号为0”,B=“接收的信号为0”,例6

在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误接收为1或0.已知发送信号0时,接收为0和1的概率分别为0.9和0.1;发送信号1时,接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的.(2)已知接收的信号为0,求发送的信号为1的概率.发送0(A)发送1()接收0(B)接收1()P(B|A)=0.9图7.1-4为便于求解,我们可将题目中所包含的各种信息用图7.1-4直观表示.则=“发送的信号为1”,=“接收的信号为1”.13=0.5×0.9+0.5×0.05=0.475.(2)由贝叶斯公式,得解:设A=“发送的信号为0”,B=“接收的信号为0”,则=“发送的信号为1”,=“接收的信号为1”.由题意得

P(A)=P()=

0.5,P(B|A)=0.9,P(|A)=0.1,P(B|)=0.05,P(|)=

0.95.P()=1-P(B)=1-0.475=0.525.

先用全概率公式求P(B)(由因求果),再用贝叶斯公式求P(|B)(由果索因).(1)P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)(2)已知取到的是合格品,求它取自第一批产品的概率.(1)求这件产品是合格品的概率;14解:设事件B=“任取一件产品是合格品”,Ai=“产品取自第i批”(i=1,2),则Ω=A1∪A2,且A1,A2互斥.根据题意得2.两批同种规格的产品,第一批占40%,次品率为5%;第二批占60%,次品率为4%.将两批产品混合,从混合产品中任取一件.P(B|A1)=0.95,P(B|A2)=0.96.(1)由全概率公式,得P(A1)=

0.4,P(A2)=0.6,P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.4×0.95+0.6×0.96=0.956.(2)由贝叶斯公式,得≈0.3697.

先用全概率公式求P(B)(由因求果),再用贝叶斯公式求P(|B)(由果索因).15一、全概率公式

一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的