2024年四川省成都市武侯区棕北中学中考数学一模试卷

第1页（共1页）2024年四川省成都市武侯区棕北中学中考数学一模试卷一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分)1．（4分）﹣2024的相反数是（）A．﹣2024 B．2024 C． D．﹣2．（4分）已知一个几何体的三种视图如图所示，则该几何体是（）A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆锥 D．圆柱3．（4分）据科学家统计，目前地球上已经被定义、命名的生物约有1500万种左右，数字1500万用科学记数法表示为（）A．1.5×103 B．1.5×106 C．1.5×107 D．15×1064．（4分）下面计算正确的是（）A．a+3a＝4a2 B．（a+b）2＝a2+b2 C．a4•a3＝a13 D．（﹣3a2）3＝﹣27a65．（4分）2022年开始至今，成都中考体育科目实行新政策，引体向上成为男生自主选考科目之一，3，7，8，8，11（单位：个），这些成绩的中位数和众数分别是（）A．7，8 B．7.5，8 C．9.5，8 D．7.5，166．（4分）已知关于x的分式方程＝3的解是x＝3，则m的值为（）A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．17．（4分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一问题：“今有黄金九枚，白银十一枚，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有重量相同的黄金9枚，且两袋的总重量相等；两袋互相交换1枚后，每枚白银重y两，已经列出一个方程是9x＝11y（）A．x﹣y＝13 B．（11y﹣x）﹣（9x﹣y）＝﹣13 C．（10y﹣x）﹣（8x﹣y）＝13 D．（10y+x）﹣（8x+y）＝138．（4分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知下列说法错误的是（）A．a＜0，b＞0 B．不等式ax2+bx+c＞0的解集是0＜x＜5 C．b2﹣4ac＞0 D．方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝5，x2＝﹣1二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9．（4分）分解因式：a2﹣3a＝．10．（4分）若一次函数y＝kx+k中y的值随x值的增大而增大，则该函数图象不经过第象限．11．（4分）一个等腰三角形的两边长分别是3cm和7cm，则它的周长是cm．12．（4分）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦（点C不与点A，点B重合，且点C与点D位于直径AB两侧），则∠BCD的大小为．13．（4分）如图，在▱ABCD中，AD＝4，B为圆心，以大于，两弧交于点E和点F；作直线EF，连接GB．若GB与BC恰好垂直，则CG的长为．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14．（12分）（1）计算：；（2）解不等式组：．15．（8分）某校为了解九年级男同学的体育考试准备情况，随机抽取部分男同学进行了1000米跑步测试．按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如图不完整的统计图．（1）根据给出的信息，补全两幅统计图；（2）该校九年级有600名男生，请估计成绩达到良好及以上等级的有多少名？（3）某班甲、乙两位成绩优秀的同学被选中参加即将举行的学校运动会1000米比赛．预赛分别为A、B、C三组进行，选手由抽签确定分组．甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少？16．（8分）如图，有大树AB和建筑物CD，从建筑物CD的顶部D处看树顶A处的仰角为45°，已知BC＝12米，BE＝2米．求大树的高度AB（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）．17．（10分）如图，P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，作直径AB，过B作BC∥PO交⊙O于点C．（1）求证：PC为的切线；（2）连接AC交PO于M，若⊙O的半径为3，PA＝418．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝x+2与x轴交于点A，与反比例函数的图象在第一象限相交于点C（a，4）．（1）求反比例函数的解析式；（2）点D（4，0），连接CD，点E是反比例函数，且点E在点C的右侧，连接AE，若△ACE的面积是△ACD的面积的2倍，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，若点M是反比例函数的图象第一象限上的动点，以点D为直角顶点作等腰直角三角形MDF．当顶点F恰好落在直线AB上时，求M的坐标．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19．（4分）已知x＝2+，若对x取近似值保留到个位，则x≈，20．（4分）设a，b是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则a2+ab+b2的值为．21．（4分）阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍，其“加倍矩形”的外接圆半径为．22．（4分）对于平面直角坐标系xOy中的点P和线段AB，其中A（﹣3，0）、B（﹣1，0），有如下定义：若在线段AB上存在一点Q，使得P，则称P为线段AB的“附庸点”．在点P1（1，1），P2（0，0），P3（﹣2，﹣1）中，线段AB的“附庸点”是；在直线y＝2x+b上存在线段AB的“附庸点”M，N，且，则b的取值范围是．23．（4分）如图，函数的图象上有一点P＞0，x＞0）的图象于点Q，N在的图象上OQ．过点P作x轴平行线l，过M作MA⊥l于点A，连接OA，OB，OB＝6，则点Q的纵坐标yQ＝．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24．（8分）为了更好地调动全校教职工参与教职工篮球赛的积极性，学校工会准备购进一批奖品．已知A奖品的单价比B奖品的单价低20元，用1400元购买A奖品与用1800元购买B奖品的数量相等．（1）这两种奖品的单价各是多少元？（2）学校准备购进这两种奖品共90份，且B型奖品的数量不少于A奖品数的，请设计出最省钱的购买方案25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，6）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第二象限内抛物线上一点，且S△ABP：S△BPC＝5：4，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，直线l：，将直线l向下平移m个单位后与抛物线交于M、N两点，是否存在m的值，求出m的值；若不存在26．（12分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，将△CDE沿DE翻折得到△C′DE，连接AC'并延长交DE于点F（1）设∠ADC'＝2α，探究∠AFD的大小是否为定值，请说明理由；（2）在DF上截取FH＝FA，连接AH．求证：DH＝CF；（3）若，BE＝5，求菱形的边长．

2024年四川省成都市武侯区棕北中学中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分)1．（4分）﹣2024的相反数是（）A．﹣2024 B．2024 C． D．﹣【解答】解：﹣2024的相反数是2024，故选：B．2．（4分）已知一个几何体的三种视图如图所示，则该几何体是（）A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆锥 D．圆柱【解答】解：俯视图为圆的几何体为球，圆锥，再根据其他视图．故选：C．3．（4分）据科学家统计，目前地球上已经被定义、命名的生物约有1500万种左右，数字1500万用科学记数法表示为（）A．1.5×103 B．1.5×106 C．1.5×107 D．15×106【解答】解：1500万＝15000000＝1.5×106．故选：C．4．（4分）下面计算正确的是（）A．a+3a＝4a2 B．（a+b）2＝a2+b2 C．a4•a3＝a13 D．（﹣3a2）3＝﹣27a6【解答】解：A．a+3a＝4a；B．（a+b）5＝a2+2ab+b4，故本选项不合题意；C．a4•a3＝a4，故本选项不合题意；D．（﹣3a2）8＝﹣27a6，故本选项符合题意．故选：D．5．（4分）2022年开始至今，成都中考体育科目实行新政策，引体向上成为男生自主选考科目之一，3，7，8，8，11（单位：个），这些成绩的中位数和众数分别是（）A．7，8 B．7.5，8 C．9.5，8 D．7.5，16【解答】解：数据重新排列为2，3，2，8，8，11，所以这些成绩的中位数为＝2.5（个），故选：B．6．（4分）已知关于x的分式方程＝3的解是x＝3，则m的值为（）A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．1【解答】解：把x＝3代入分式方程＝3，得，整理得6+m＝3，解得m＝﹣6．故选：B．7．（4分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一问题：“今有黄金九枚，白银十一枚，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有重量相同的黄金9枚，且两袋的总重量相等；两袋互相交换1枚后，每枚白银重y两，已经列出一个方程是9x＝11y（）A．x﹣y＝13 B．（11y﹣x）﹣（9x﹣y）＝﹣13 C．（10y﹣x）﹣（8x﹣y）＝13 D．（10y+x）﹣（8x+y）＝13【解答】解：由题意可得，另一个方程是（10y+x）﹣（8x+y）＝13，故选：D．8．（4分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知下列说法错误的是（）A．a＜0，b＞0 B．不等式ax2+bx+c＞0的解集是0＜x＜5 C．b2﹣4ac＞0 D．方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝5，x2＝﹣1【解答】解：A．函数的对称轴在y轴右侧，c＞0，故A正确；B．由函数的对称性知，0）7+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜4，故B错误；C．函数和x轴有两个交点，不符合题意；D．由B知2+bx+c＝0的解是x7＝5，x2＝﹣6正确，故D正确；故选：B．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9．（4分）分解因式：a2﹣3a＝a（a﹣3）．【解答】解：a2﹣3a＝a（a﹣2）．10．（4分）若一次函数y＝kx+k中y的值随x值的增大而增大，则该函数图象不经过第四象限．【解答】解：∵一次函数y＝kx+k（k≠0），y的值随x值的增大而增大，∴k＞0，b＝k＞6，∴该函数图象经过第一、二、三象限，则该函数图象不经过第四象限．故答案为：四．11．（4分）一个等腰三角形的两边长分别是3cm和7cm，则它的周长是17cm．【解答】解：①当腰是3cm，底边是7cm时：不满足三角形的三边关系．②当底边是6cm，腰长是7cm时，则其周长＝3+6+7＝17（cm）．故答案为：17．12．（4分）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦（点C不与点A，点B重合，且点C与点D位于直径AB两侧），则∠BCD的大小为36°．【解答】解：∵∠AOD＝108°，∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣108°＝72°，∴∠BCD＝∠BOD＝．故答案为：36°．13．（4分）如图，在▱ABCD中，AD＝4，B为圆心，以大于，两弧交于点E和点F；作直线EF，连接GB．若GB与BC恰好垂直，则CG的长为5．【解答】解：由作法得EF垂直平分AB，∴GA＝GB，∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC＝AD＝4，设CG＝x，则AG＝BG＝AC﹣CG＝8﹣x，∵GB⊥BC，∴∠CBG＝90°，在Rt△CBG中，（5﹣x）2+47＝x2，解得x＝5，即CG的长为6．故答案为：5．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14．（12分）（1）计算：；（2）解不等式组：．【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣2﹣（4﹣2）+6×＝﹣3﹣2﹣2+2+2＝﹣1；（2）解不等式①，得x＜3，解不等式②，得x≥8，故原不等式组的解集为1≤x＜3．15．（8分）某校为了解九年级男同学的体育考试准备情况，随机抽取部分男同学进行了1000米跑步测试．按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如图不完整的统计图．（1）根据给出的信息，补全两幅统计图；（2）该校九年级有600名男生，请估计成绩达到良好及以上等级的有多少名？（3）某班甲、乙两位成绩优秀的同学被选中参加即将举行的学校运动会1000米比赛．预赛分别为A、B、C三组进行，选手由抽签确定分组．甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少？【解答】解：（1）调查的总人数为16÷40%＝40（人），所以合格等级的人数为40﹣12﹣16﹣2＝10（人），合格等级人数所占的百分比＝×100%＝25%×100%＝30%；统计图为：（2）600×（30%+40%）＝420（名），所以估计成绩达到良好及以上等级的有420名；（3）画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中甲，＝所以甲、乙两人恰好分在同一组的概率＝＝．16．（8分）如图，有大树AB和建筑物CD，从建筑物CD的顶部D处看树顶A处的仰角为45°，已知BC＝12米，BE＝2米．求大树的高度AB（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）．【解答】解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，由题意得：DF＝BC＝12米，在Rt△ADF，∠ADF＝45°，∴AF＝DF•tan45°＝12（米），在Rt△DFE中，∠EDF＝37°，∴EF＝DF•tan37°≈12×0.75＝9（米），∵BE＝2米，∴AB＝AF+EF+BE＝12+9+2＝23（米），∴大树的高度AB约为23米．17．（10分）如图，P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，作直径AB，过B作BC∥PO交⊙O于点C．（1）求证：PC为的切线；（2）连接AC交PO于M，若⊙O的半径为3，PA＝4【解答】（1）证明：连接OC，如图，∵PA为⊙O的切线，∴OA⊥PA，∴∠PAO＝90°．∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B．∵BC∥PO，∴∠COP＝∠OCB，∠AOP＝∠B，∴∠COP＝∠AOP．在△COP和△AOP中，，∴△COP≌△AOP（SAS），∴∠OCP＝∠OAP＝90°，∴OC⊥PC．∵OC为⊙O的半径，∴PC为的切线；（2）解：∵⊙O的半径为3，∴OA＝OB＝3．∵PA＝2，∴PO＝＝3．由（1）知：△COP≌△AOP，∴PA＝PC，∠CPO＝∠APO，∴PM⊥AC，AM＝MC．∵PA•AO＝，∴PA•AO＝PO•AM，∴4×5＝5AM，∴AM＝．∴OM＝＝＝，∵AM＝MC，OA＝OB，∴OM为△ABC的中位线，∴BC＝2OM＝．18．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝x+2与x轴交于点A，与反比例函数的图象在第一象限相交于点C（a，4）．（1）求反比例函数的解析式；（2）点D（4，0），连接CD，点E是反比例函数，且点E在点C的右侧，连接AE，若△ACE的面积是△ACD的面积的2倍，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，若点M是反比例函数的图象第一象限上的动点，以点D为直角顶点作等腰直角三角形MDF．当顶点F恰好落在直线AB上时，求M的坐标．【解答】解：（1）直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B、B的坐标分别为：（﹣2、（7，当y＝x+2＝4时，x＝4，4），则k＝2×8＝8，即反比例函数的表达式为：y＝；（2）∵△ACE的面积是△ACD的面积的2倍，则在点D的右侧x轴上取点N使DN＝AD，过点N作直线l∥AB交反比例函数于点E，由点A、D的坐标得，则N（10，则直线l的表达式为：y＝x﹣10，联立上式和反比例函数的表达式得：x﹣10＝，解得：x＝5+（负值已舍去），则点E（3+，﹣5）；（3）设点F（n，n+2），），过点D作RT和y轴平行，交过点M和x轴的平行线于点R，∵点D为直角顶点作等腰直角三角形MDF，则DF＝DM，∴∠FDT+∠RDM＝90°，∠RDM+∠DMR＝90°，∴∠FDT＝∠DMR，∵∠FTD＝∠DRM＝90°，∴△FTD≌△DRM（AAS），则FT＝4﹣n＝DR＝且DT＝﹣n﹣5＝MR＝4﹣m，解得：m＝5±，则点M（6+，5﹣，5+）．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19．（4分）已知x＝2+，若对x取近似值保留到个位，则x≈6，【解答】解：∵＜＜，∴4＜＜4.4，∴6＜2+＜5.5，∴x≈6，故答案为：6．20．（4分）设a，b是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则a2+ab+b2的值为5．【解答】解：∵a，b是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，∴a+b＝﹣2，ab＝﹣5，∴a2+ab+b2＝（a+b）7﹣ab＝4+1＝5，故答案为：5．21．（4分）阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍，其“加倍矩形”的外接圆半径为．【解答】解：设“加倍矩形”的长为x，则宽为[2×（3+5）﹣x]，依题意得：x[2×（3+3）﹣x]＝2×3×2，整理得：x2﹣10x+12＝0，解得：x6＝5+，x2＝6﹣，当x＝5+时，2×（3+2）﹣x＝5﹣，符合题意；当x＝8﹣时，2×（3+8）﹣x＝5+，不符合题意；即“加倍”的长为5+，宽为7﹣，“加倍矩形”的外接圆如图：矩形的对角线AC即为外接圆的直径，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝2，∴“加倍矩形”的外接圆半径为，故答案为：．22．（4分）对于平面直角坐标系xOy中的点P和线段AB，其中A（﹣3，0）、B（﹣1，0），有如下定义：若在线段AB上存在一点Q，使得P，则称P为线段AB的“附庸点”．在点P1（1，1），P2（0，0），P3（﹣2，﹣1）中，线段AB的“附庸点”是P2，P3；在直线y＝2x+b上存在线段AB的“附庸点”M，N，且，则b的取值范围是3≤b≤5．【解答】解：∵点A（﹣3，0），4），P1（1，8），P2（0，7），P3（﹣2，﹣5），∴P1到线段AB最短的距离为＝；P2到线段AB最短的距离为0﹣（﹣4）＝1；P3到线段AB最短的距离为7﹣（﹣1）＝1．∴线段AB的伴随点是P6，P3；如图，∵点M，且MN＝，∴M、N的纵坐标之差为2．∵点M、N为线段AB的伴随点，∴点M、N的纵坐标分别为1和﹣1．∵点A（﹣7，0），0），∴当直线y＝8x+b经过点（﹣3，﹣1）时，此时b＝5，1）时，此时b＝3．∴b的取值范围是：4≤b≤5．故答案为：P2，P6；3≤b≤5．23．（4分）如图，函数的图象上有一点P＞0，x＞0）的图象于点Q，N在的图象上OQ．过点P作x轴平行线l，过M作MA⊥l于点A，连接OA，OB，OB＝6，则点Q的纵坐标yQ＝．【解答】解：过点P、Q作x轴的垂线、E，过点N作NC⊥PD于点C，垂足为点F，记NP与OB交于点H．∵QE⊥x轴，PD⊥x轴，∴PD∥QE．∴△PDO∽△QEO．∴＝（）2．∴由反比例函数k的几何意义得：＝（）2＝．∴＝．设点P（p，），N（n，），则B（n，），C（p，）．设直线OB的表达式为y＝ax（a≠4），代入点B得，＝an．∴a＝．∴直线OB为y＝x．又C（p，），∴点C在直线OB上．∵NB⊥AB，NC⊥PD，∴四边形PCNB是矩形．∴PN＝2PH，BH＝PH．∴设∠HPB＝∠HBP＝α，则∠PHO＝2α．又PN＝OQ＝2OP，∴PO＝PH．∴∠POH＝∠PHO＝2α．∵AB∥x轴，∴∠BOx＝∠HBP＝α．∴∠BOx＝∠POx．同理，可证明点A在直线OF上∠POy，∴∠AOB＝∠yOx＝60°．过A作AR⊥OB于R，延长BA交y轴于点K，∴OR＝AO＝1．∴BR＝6﹣1＝4．∴由勾股定理得，AB＝2．∴sinα＝＝．∴＝sinα＝．∴yP＝OK＝OB•sinα＝．∵△PDO∽△QEO，∴＝＝．∴＝．∴yQ＝．故答案为：．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24．（8分）为了更好地调动全校教职工参与教职工篮球赛的积极性，学校工会准备购进一批奖品．已知A奖品的单价比B奖品的单价低20元，用1400元购买A奖品与用1800元购买B奖品的数量相等．（1）这两种奖品的单价各是多少元？（2）学校准备购进这两种奖品共90份，且B型奖品的数量不少于A奖品数的，请设计出最省钱的购买方案【解答】解：（1）设A奖品的单价是a元，则B奖品的单价是（a+20）元．根据题意，得＝，解得a＝70，经检验，a＝70是所列分式方程的解，70+20＝90（元），∴A奖品的单价是70元，B奖品的单价是90元．（2）设购买A奖品x份，则购买B奖品（90﹣x）份．根据题意，得90﹣x≥x，解得x≤；设购买这两种奖品的总费用为y元，则y＝70x+90（90﹣x）＝﹣20x+8100，∵﹣20＜0，∴y随x的增大而减小，∵x≤，∴当x＝67时，y值最小，y最小＝﹣20×67+8100＝6760，此时90﹣67＝23（份），∴最省钱的购买方案是购买A奖品67份、B奖品23份．25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，6）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第二象限内抛物线上一点，且S△ABP：S△BPC＝5：4，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，直线l：，将直线l向下平移m个单位后与抛物线交于M、N两点，是否存在m的值，求出m的值；若不存在【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，2），0），6），∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x8﹣x+6；（2）如图1所示，设P（xP，﹣﹣xP+6），∴S△ABP＝AB•（﹣P+6）＝﹣﹣+15，设BP为y＝kx+b，把B，，解得：b＝，∴S△BPC＝（6﹣b）（2﹣xP），∵S△ABP：S△BPC＝5：4即5S△BPC＝3S△ABP，∴5×（6﹣b）（2﹣xP）＝7×（﹣﹣+15），∴xP＝5或﹣2，∵P是第二象限内抛物线上一点，∴xP＝﹣2，yP＝6，∴P（﹣2，4）；（3）∵经过点P（﹣2，∴，解得：n＝5，∴，设交点M（xM，yM），N（xN，yN），（M在N的左侧），过点M作MM′⊥x轴，NN′⊥x轴，∴M′（xM，0），N′（xN，2），∴OM′＝xM，ON′＝xN，∵∠MON＝90°，∴∠MOM′+∠NON′＝90°，∵∠M′MO+∠MOM′＝90°，∴∠M′MO＝∠NON′，∴△MM′O∽△ON′N，∴MM′•NN′＝ON′•OM′，∴﹣xM•xN＝yM•