2024-2025学年高中数学 第二章 函数 3 函数的单调性教案 北师大版必修第一册

2024-2025学年高中数学第二章函数3函数的单调性教案北师大版必修第一册主备人备课成员教学内容分析本节课的主要教学内容是北师大版必修第一册高中数学第二章“函数”中的第三节“函数的单调性”。内容涵盖了函数单调性的定义、性质、图像特征以及在实际问题中的应用。重点使学生理解函数单调性的概念，掌握判断函数单调性的方法，并能够运用到实际问题中。

教学内容与学生已有知识的联系在于，学生在之前的学习中掌握了函数的基本概念、图像和性质，特别是函数的表示方法和基本特征。在此基础上，本节课将帮助学生通过具体的函数实例，进一步探究函数值随自变量变化而单调递增或递减的规律，从而加深对函数性质的理解。这既是对学生已有知识的巩固，也是对函数概念的一个深化和拓展。核心素养目标本节课的核心素养目标主要包括逻辑推理、数学抽象和数学建模。通过学习函数的单调性，使学生能够：

1.逻辑推理：运用逻辑思维，分析并证明函数单调性的判定方法，培养学生严谨的逻辑推理能力；

2.数学抽象：从具体的函数实例中抽象出函数单调性的概念，提升学生的数学抽象素养，使其能从本质上认识函数的性质；

3.数学建模：学会运用函数单调性解决实际问题，建立数学模型，培养学生将数学知识应用于实际情境的能力，提高数学建模素养。通过这些核心素养的培养，使学生更好地理解和运用函数的单调性，为后续学习打下坚实基础。重点难点及解决办法重点：函数单调性的定义及其判定方法。

难点：如何将函数单调性的理论应用到具体问题中。

解决办法及突破策略：

1.对于重点，通过引入具体函数图像和实例，引导学生观察、分析、总结出函数单调性的定义和判定方法。设计课堂讨论和小组合作环节，让学生在互动交流中加深理解，巩固知识。

2.针对难点，设计具有梯度的问题，从简单到复杂，逐步引导学生运用所学知识解决实际问题。同时，结合实际情境，让学生尝试建立数学模型，将函数单调性应用于问题求解，培养学生将理论知识转化为实际应用的能力。

3.在教学过程中，注重启发式教学，适时给予提示和引导，帮助学生突破思维障碍，提高解决问题的能力。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学方法与策略为了实现本节课的核心素养目标，充分调动学生的学习积极性，提高课堂效率，我将采用以下教学方法与策略：

1.讲授法：在引入函数单调性概念、定义和判定方法等基础知识时，以讲授法为主，配合PPT展示，使学生快速理解并掌握基本概念。

2.讨论法：针对函数单调性的判定方法，组织学生进行小组讨论，鼓励他们分享自己的观点和思考，提高学生的逻辑推理能力和合作能力。

3.案例研究：挑选一些具有代表性的函数单调性案例，引导学生通过观察、分析、讨论，掌握函数单调性的应用技巧。

4.项目导向学习：将学生分成若干小组，每组负责研究一个实际问题，要求运用函数单调性知识建立数学模型并解决问题。项目完成后，组织成果展示和评价，提高学生的数学建模能力。

具体教学活动设计如下：

（1）课堂导入：通过PPT展示一些生活中具有单调性特征的实例，如气温变化、股票走势等，引导学生思考这些实例中的变化规律。

（2）新课导入：采用讲授法，结合PPT，介绍函数单调性的定义、判定方法及其在实际中的应用。

（3）课堂讨论：将学生分成小组，针对给定的问题，讨论函数单调性的判定方法，并分享各组的讨论成果。

（4）案例分析：给出几个函数单调性的案例，让学生观察、分析、讨论，并总结规律。

（5）项目导向学习：布置课后作业，要求学生以小组为单位，选择一个实际问题，运用函数单调性知识建立数学模型并解决问题。

教学媒体和资源使用：

1.PPT：展示基本概念、案例、问题等，帮助学生直观地理解和掌握知识。

2.视频资料：播放一些与函数单调性相关的视频，如生活中的单调性实例、函数单调性的动态图像等，增强学生的感性认识。

3.在线工具：利用在线数学工具，如几何画板、Desmos等，让学生自主探究函数单调性的判定方法。

4.纸质资料：提供一些关于函数单调性的学术文章、习题等，供学生课后阅读和练习。教学流程（一）课前准备（预计用时：5分钟）

学生预习：

发放预习材料，引导学生提前了解函数单调性的学习内容，标记出有疑问或不懂的地方。设计预习问题，如“如何判断一个函数的单调性？”激发学生思考，为课堂学习函数单调性内容做好准备。

教师备课：

深入研究教材，明确教学目标和重难点。准备教学用具和多媒体资源，确保教学过程的顺利进行。设计课堂互动环节，提高学生学习函数单调性的积极性。

（二）课堂导入（预计用时：3分钟）

激发兴趣：

回顾旧知：

简要回顾上节课学习的函数基本概念和性质，帮助学生建立知识之间的联系。提出问题，检查学生对旧知的掌握情况，为学习新课打下基础。

（三）新课呈现（预计用时：25分钟）

知识讲解：

清晰、准确地讲解函数单调性的定义、判定方法等知识点，结合实例帮助学生理解。突出重点，强调难点，通过对比、归纳等方法帮助学生加深记忆。

互动探究：

设计小组讨论环节，让学生围绕函数单调性的判定方法展开讨论，培养学生的合作精神和沟通能力。鼓励学生提出自己的观点和疑问，引导学生深入思考，拓展思维。

技能训练：

总结归纳：

在新课呈现结束后，对函数单调性的知识点进行梳理和总结。强调重点和难点，帮助学生形成完整的知识体系。

（四）巩固练习（预计用时：5分钟）

随堂练习：

设计随堂练习题，让学生在课堂上完成，检查学生对函数单调性知识的掌握情况。鼓励学生相互讨论、互相帮助，共同解决问题。

错题订正：

针对学生在随堂练习中出现的错误，进行及时订正和讲解。引导学生分析错误原因，避免类似错误再次发生。

（五）拓展延伸（预计用时：3分钟）

知识拓展：

介绍与函数单调性相关的拓展知识，如函数单调性的应用领域等，拓宽学生的知识视野。引导学生关注学科前沿动态，培养学生的创新意识和探索精神。

情感升华：

结合函数单调性内容，引导学生思考学科与生活的联系，培养学生的社会责任感。鼓励学生分享学习心得和体会，增进师生之间的情感交流。

（六）课堂小结（预计用时：2分钟）

简要回顾本节课学习的函数单调性内容，强调重点和难点。肯定学生的表现，鼓励他们继续努力。

布置作业：

根据本节课学习的函数单调性内容，布置适量的课后作业，巩固学习效果。提醒学生注意作业要求和时间安排，确保作业质量。知识点梳理1.函数单调性的定义：

-单调递增：对于函数f(x)，若在定义域I内，当x1<x2时，都有f(x1)≤f(x2)，则称f(x)在I上是单调递增的。

-单调递减：对于函数f(x)，若在定义域I内，当x1<x2时，都有f(x1)≥f(x2)，则称f(x)在I上是单调递减的。

2.函数单调性的判定方法：

-图像法：观察函数的图像，判断其单调性。

-导数法：利用函数的导数判断其单调性。若导数大于0，则函数单调递增；若导数小于0，则函数单调递减。

-增减性定义法：根据单调递增和单调递减的定义，通过比较函数值来判断。

3.函数单调性的性质：

-单调函数的图像与x轴的交点至多一个。

-单调递增函数的任意两个零点之间，函数值非负；单调递减函数的任意两个零点之间，函数值非正。

-单调函数的导数符号不变。

4.函数单调性的应用：

-求函数的极值。

-判断函数的凹凸性。

-解不等式。

-解决实际问题，如最优化问题、经济增长分析等。

5.常见函数的单调性：

-正比例函数：y=kx（k>0）单调递增；y=kx（k<0）单调递减。

-一次函数：y=kx+b（k>0）单调递增；y=kx+b（k<0）单调递减。

-二次函数：y=ax^2+bx+c（a>0）开口向上，顶点处单调递减；y=ax^2+bx+c（a<0）开口向下，顶点处单调递增。

-指数函数：y=a^x（a>1）单调递增；y=a^x（0<a<1）单调递减。

-对数函数：y=log_a(x)（a>1）单调递增；y=log_a(x)（0<a<1）单调递减。

6.函数单调性的证明方法：

-定义法：根据单调递增或单调递减的定义进行证明。

-导数法：利用导数的符号判断函数单调性。

-递推法：通过已知的单调性，推导出函数在其他区间的单调性。

7.函数单调性的综合应用：

-结合导数研究函数的极值、最值问题。

-结合不等式求解函数的取值范围。

-解决实际问题中的最优化问题。课后作业1.设函数f(x)=2x+3，求证f(x)在其定义域内是单调递增的。

2.给定函数g(x)=x^2-4x+3，求g(x)的单调递增区间和单调递减区间。

3.已知函数h(x)=(1/2)^x，判断h(x)的单调性，并说明理由。

4.设函数k(x)=|x|，求k(x)的单调递增区间和单调递减区间。

5.证明函数m(x)=x^3-3x在x>0的区间内是单调递增的。

补充和说明：

1.证明f(x)=2x+3单调递增：

设x1<x2，则f(x1)-f(x2)=(2x1+3)-(2x2+3)=2(x1-x2)<0。

因为x1-x2<0，所以f(x1)<f(x2)，故f(x)单调递增。

2.g(x)=x^2-4x+3的单调性：

g(x)的导数g'(x)=2x-4，令g'(x)>0，得x>2；令g'(x)<0，得x<2。

所以g(x)在(-∞,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增。

3.h(x)=(1/2)^x的单调性：

由于底数1/2<1，根据指数函数的单调性，h(x)在定义域内单调递减。

4.k(x)=|x|的单调性：

当x≥0时，k(x)=x，单调递增；当x<0时，k(x)=-x，单调递减。

所以k(x)在(-∞,0)上单调递减，在[0,+∞)上单调递增。

5.证明m(x)=x^3-3x在x>0的区间内单调递增：

m'(x)=3x^2-3，当x>0时，m'(x)>0，故m(x)在x>0的区间内单调递增。教学反思与改进在这次函数单调性的教学中，我采用了讲授、讨论和案例研究等多种教学方法，旨在让学生充分理解和掌握这一重要概念。通过回顾教学过程，我认为在以下几个方面做得较好：

首先，在课前准备阶段，我通过预习材料和预习问题，激发了学生的学习兴趣，并帮助他们为新课做好了准备。同时，我深入研究了教材，明确了教学目标，准备了教学用具和多媒体资源，确保了教学的顺利进行。

其次，在课堂导入环节，我通过展示与函数单调性相关的实例，吸引了学生的注意力，并提出了问题，引发了他们的好奇心和求知欲。此外，我简要回顾了上节课的内容，帮助学生建立知识之间的联系，为学习新课打下了基础。

在新课呈现阶段，我清晰准确地讲解了函数单调性的定义、判定方法等知识点，结合实例帮助学生理解。我突出了重点，强调了难点，并通过对比、归纳等方法帮助学生加深记忆。同时，我设计了小组讨论环节，让学生围绕问题展开讨论，培养了他们的合作精神和沟通能力。我还通过例题讲解和练习，让学生掌握了函数单调性的技能操作方法，并通过实践活动或实验，让学生在实践中体验知识的应用，提高实践能力。最后，我进行了总结归纳，对知识点进行了梳理，帮助学生形成了完整的知识体系。

在巩固练习环节，我设计了随堂练习题，让学生在课堂上完成，检查他们对知识的掌握情况。我还鼓励学生相互讨论、互相帮助，共同解决问题。针对学生出现的错误，我进行了及时订正和讲解，引导学生分析错误原因，避免类似错误再次发生。

在拓展延伸环节，我介绍了与函数单调性相关的拓展知识，拓宽了学生的知识视野。我还引导学生关注学科前沿动态，培养了他们的创新意识和探索精神。结合函数单调性内容，我引导学生思考学科与生活的联系，培养了他们的社会责任感，并鼓励学生分享学习心得和体会，增进了师生之间的情感交流。

在课堂小结环节，我简要回顾了本节课的学习内容，强调了重点和难点，肯定了学生的表现，并鼓励他们继续努力。我还根据本节课的学习内容，布置了适量的课后作业，巩固了学习效果。

然而，我也认识到在教学过程中还存在一些不足，需要改进。例如，在讲解函数单调性的判定方法时，我