适用于新教材2025版高中数学课时素养检测二十四平面新人教A版必修第二册

PAGE二十四平面(25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．如图所示，下列符号表示错误的是()A．l∈αB．P∉lC．l⊂αD．P∈α【解析】选A.视察图知：P∉l，P∈α，l⊂α，则l∈α是错误的．2．下面四个说法(其中A，B表示点，a表示直线，α表示平面)：①因为A⊂α，B⊂α，所以AB⊂α；②因为A∈α，B∉α，所以AB∉α；③因为A∉a，a⊂α，所以A∉α；④因为A∈a，a⊂α，所以A∈α.其中表述方式和推理都正确的命题的序号是()A．①④B．②③C．④D．③【解析】选C.①错，应写为A∈α，B∈α；②错，应写为AB⊄α；③错，推理错误，有可能A∈α；④推理与表述都正确．3．下列说法中正确的是()A．三点确定一个平面B．四边形肯定是平面图形C．梯形肯定是平面图形D．两个不同平面α和β有不在同一条直线上的三个公共点【解析】选C.不共线的三点确定一个平面，故A不正确；四边形有时指空间四边形，故B不正确；梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故C正确；两个平面假如相交，肯定有一条交线，全部这两个平面的公共点都在这条交线上，故D不正确．4．平面α∩平面β＝l，点A∈α，点B∈β，且B∉l，点C∈α，又AC∩l＝R，过A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ是()A．直线CRB．直线BRC．直线ABD．直线BC【解析】选B.如下图所示：由题意可知，AC⊂γ，AC∩l＝R，则R∈γ，又平面α∩平面β＝l，则l⊂α，l⊂β，因为AC∩l＝R，所以R∈β，因为B∈β，B∈γ，因此，β∩γ＝直线BR.二、填空题(每小题5分，共10分)5．设平面α与平面β相交于直线l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M________l(用符号表示).【解析】因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.答案：∈6．如图所示的正方体中，P，Q，M，N分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图形是________(把正确图形的序号都填上).【解析】图形①中，连接MN，PQ(图略)，则由正方体的性质得MN∥PQ，依据两条平行直线可以确定一个平面知①正确．分析可知③中四点共面，②④中四点均不共面．答案：①③三、解答题(每小题10分，共20分)7．如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，求证：点P在直线DE上．【证明】因为P∈AB，AB⊂平面ABC，所以P∈平面ABC.又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直线DE.8．如图，△ABC与△A1B1C1不全等，且A1B1∥AB，B1C1∥BC，C1A1∥CA.求证：AA1，BB1，CC1交于一点．【证明】如图所示，因为A1B1∥AB，所以A1B1与AB确定一平面，记为平面α.同理，将B1C1与BC所确定的平面记为平面β，C1A1与CA所确定的平面记为平面γ.易知β∩γ＝C1C.又△ABC与△A1B1C1不全等，所以AA1与BB1相交，设交点为P，P∈AA1，P∈BB1.而AA1⊂γ，BB1⊂β，所以P∈γ，P∈β，所以P在平面β与平面γ的交线上．又β∩γ＝C1C，所以P∈C1C，所以AA1，BB1，CC1交于一点．(35分钟70分)一、选择题(每小题5分，共30分，多选题全部选对得5分，选对但不全对的得2分，有选错的得0分)1．给出以下四个命题：①不共面的四点中，其中随意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3【解析】选B.①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面冲突，故其中随意三点不共线，所以①正确；②如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面；③明显不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．2．在空间，已知直线l及不在l上两个不重合的点A，B，过直线l做平面α，使得点A，B到平面α的距离相等，则这样的平面α的个数不行能是()A．1个B．2个C．3个D．多数个【解析】选C.(1)如图，当直线AB与l异面时，则只有一种状况；(2)当直线AB与l平行时，则有多数种状况，平面α可以围着l转动；(3)如图，当l过线段AB的中垂面时，有两种状况．3．假如点A在直线l上，而直线l又在平面α内，那么可以记作()A．A⊂l，l⊂αB．A⊂l，l∈αC．A∈l，l∈αD．A∈l，l⊂α【解析】选D.点A在直线l上记作A∈l，l在平面α内，记作l⊂α.4．(多选题)用一个平面截正方体所得的截面图形可能是()A．六边形B．五边形C．菱形D．直角三角形【解析】选ABC.正方体的截面图形可能是六边形、五边形、菱形．5．(多选题)下面四个条件中，能确定一个平面的是()A．一条直线B．一条直线和一个点C．两条相交的直线D．两条平行的直线【解析】选CD.对于选项A：一条直线不能确定一个平面，故选项A不正确；对于选项B：一条直线和直线外的一个点可以确定一个平面，一条直线和直线上的一个点不能确定一个平面，故选项B不正确；对于选项C：两条相交的直线可以确定一个平面，故选项C正确；对于选项D：两条平行的直线可以确定一个平面，故选项D正确．6．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是()①P∈a，P∈α⇒a⊂α；②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α；④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b.A．①②B．②③C．①④D．③④【解析】选D.当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，所以①错；a∩β＝P时，②错；如图，因为a∥b，P∈b，所以P∉a，所以由直线a与点P确定唯一平面α.又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，所以β与α重合，所以b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．二、填空题(每小题5分，共10分)7．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________．【解析】因为AC∥BD，所以AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD.因为l∩α＝O，所以O∈α.又因为O∈AB⊂β，所以O∈直线CD，所以O，C，D三点共线．答案：共线8．下列说法：①空间三条直线两两平行，则三条直线在同一个平面内；②空间三条直线两两相交，则三条直线在同一个平面内；③空间四点E，F，G，H在同一平面内，则直线EF与GH可能平行，也可能相交．其中正确的序号是________．【解析】三棱柱的三条侧棱两两平行，但三条侧棱所在直线不在同一平面内，故①错；若三条直线交于同一点，则三条直线可能不在同一平面内，故②错；同一平面内的两条直线不平行，就相交，故③正确．答案：③三、解答题(每小题10分，共30分)9.如图，在四面体A­BCD中作截面PQR，若PQ，CB的延长线交于点M，RQ，DB的延长线交于点N，RP，DC的延长线交于点K.求证：M，N，K三点共线．【证明】因为M∈PQ，直线PQ⊂平面PQR，M∈BC，直线BC⊂平面BCD，所以M是平面PQR与平面BCD的一个公共点，所以M在平面PQR与平面BCD的交线上．同理可证，N，K也在平面PQR与平面BCD的交线上．所以M，N，K三点共线．10.如图所示，在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是AA1，D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.(1)画出直线l的位置；(2)设l∩A1B1＝P，求线段PB1的长．【解析】(1)延长DM交D1A1的延长线于E，连接NE，则NE即为直线l的位置．(2)因为M为AA1的中点，AA1∥DD1，所以AD＝A1E＝A1D1＝a.因为A1P∥D1N，且D1N＝eq\f(1,2)a，所以A1P＝eq\f(1,2)D1N＝eq\f(1,4)a，于是PB1＝A1B1－A1P＝a－eq\f(1,4)a＝eq\f(3,4)a.11．已知：a，b，c，d是两两相交且不共点的四条直线．求证：a，b，c，d共面．【证明】(1)有三线共点的状况，如图．设b，c，d三线相交于点K，与a分别交于N，P，M且K∉a.因为K∉a，所以K和a确定一个平面，设为α.因为N∈a，a⊂α，所以N∈α所以NK⊂α，即b⊂α.同理，c⊂α，d⊂α，所以a，b，c，d共面．(2)无三线共点状况，如图．设a∩d＝M，b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b＝Q，a∩c＝R，b∩c＝S.因为a∩d＝M，所以a，d可确定一个平面α.因为N∈d，Q∈a，所以N∈α，Q∈α.所以NQ⊂α，即b⊂α.同理，c⊂α，所以a，b，c，d共面．由(1)(2)可知，a，b，c，d共面．【补偿训练】已知：如图，空间四边形ABCD中，E、H分别为BC、AB的中点，F在CD上，G在AD上，且有DF∶FC＝DG∶GA＝1∶2.求证：直线EF、BD、HG交于一点．【解题指南】先证EF、HG肯定相交于一点，再证这一点在直线BD上．【证明】连接EH、AC、FG.因为E、H分别为BC、AB的中点，所以EH＝eq