函数的单调性与最值课件（1） 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.2函数的基本性质3.2.1函数单调性与最大（小）值）(1)复习导入

那么，我们要怎样来刻画函数的这些性质呢？其实，我国著名数学家华罗庚曾经说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”.因此，我们不妨先画出函数图象，通过观察和分析图象，来得到它们的一些直观性质.

函数f(x)的图象在某段区间内是下降的,在某些区间内是上升的以及对称性.

函数图象的“上升”“下降”反映了函数的一个基本性质，怎样用数学语言描述？——单调性观察下列各个函数的图象，你能说说它们分别反映了相应函数的哪些性质（变化中的不变性或规律性）？画出下列函数的图象，观察其变化规律：

1.从左至右图象上升还是下降____? 2.在区间________上，随着x的增大，f(x)的值随着______．f(x)=x(-∞,+∞)增大上升在初中，我们利用函数图象研究过函数值随自变量的增大而增大(或减小)的性质，这一性质叫做函数的单调性.下面进一步用符号语言刻画这种性质1.在区间_______上,f(x)的值随着x的增大而_____．2.在区间_______上,f(x)的值随着x的增大而_____．

f(x)=x2(-∞,0](0,+∞)增大减小☞画出下列函数的图象，观察其变化规律：

用符号语言描述，就是：

一、函数单调性定义

1．增（减）函数

（自变量x与函数值f(x)变化趋势相同单调递增，相反则单调递减）

函数单调性的定义：

如果y=f(x)在区间I上是单调递增或单调递减时,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间I叫做y=f(x)的单调区间.注意：函数的单调性为局部性质例1.下图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上,它是增函数还是减函数？解:函数y=f(x)的单调区间有其中y=f(x)在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数， 在区间[-2,1),[3,5]上是增函数.[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5].区间端点问题注意：（多个单调区间用“和”或者“逗号”隔开）例2.证明：函数在上是增函数.证明：在区间上任取两个值且

，且所以函数在区间上是增函数.取值化简作差判号定论三、判断函数单调性的方法步骤

①取值：任取x1，x2∈D，且x1<x2；②作差f(x1)－f(x2)；③变形（因式分解通分和配方等）乘积或商式；④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；⑤下结论：（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

求函数的单调区间例3求下列函数的单调区间，并指出该函数的单调性

(2)当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，

所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，函数f(x)在区间(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3

根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1，0)，[0，1)，[1，＋∞)．f(x)在区间(－∞，－1]，[0，1)上单调递增，

在区间(－1，0)，[1，＋∞)上单调递减．反思领悟

求函数单调区间的方法(1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函

数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解．(2)利用函数的图象，如本列（3）【利用单调性解不等式】例4已知函数y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，

求实数a的取值范围．（练习册73页）

练习若f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则不等式f(x)<f(－2x＋8)的解集

是________

总结：先在定义域内再满足单调性【已知函数单调性求参数范围】

ABC

总结：分段函数单调：各段单调且分界点处的函数值大小关系复合单调性