暑期初高中数学衔接讲义-三元一次方程组

知识梳理三元一次方程组的含义：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.其一般形式为：a1x+b1y+c1三元一次方程组的求解思想：求解三元一次方程组的核心思想是“消元”，通过一系列的运算，逐步减少未知数的数量，最终求解出每个未知数的值.常见的消元方法有代入消元法和加减消元法.三元一次方程组的求解原理：消元法解三元一次方程组的原理是基于等式的基本性质.等式的基本性质包括：等式两边同时加上或减去同一个数或式子，等式仍然成立；等式两边同时乘以或除以同一个不为零的数，等式仍然成立.在解三元一次方程组时，我们的目标是逐步消元，也就是对各个方程进行适当的运算（如相加、相减、乘以适当的数等），使得方程组中某个未知数在其中的一个或几个方程中不再出现，从而将三元一次方程组转化为二元一次方程组，然后再进一步转化为一元一次方程.三元一次方程组的求解步骤：观察方程组中各个方程的系数，选择一个系数较简单的未知数作为消元的对象.通过方程之间的运算，消去选定的未知数.可以将一个方程乘以一个适当的数，然后与另一个方程相加或相减，以消除该未知数.重复步骤2，直到只剩下两个未知数的二元一次方程组.使用二元一次方程组的求解方法，如代入法或加减法，求解这个二元一次方程组，得到两个未知数的值.将求得的两个未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出第三个未知数的值.得到三元一次方程组的解，即三个未知数的值.例题讲解例1.求解下列方程组：x+y+2z=17x−y=32x+y−z=7思路分析：应用消元法求解三元一次方程组，选择合适的消元方法.解：（1）将三元一次方程组中各式从上至下依次编号为EQ\o\ac(○,1),EQ\o\ac(○,2),EQ\o\ac(○,3)，观察可知EQ\o\ac(○,2)式中不含有未知量z，因此选用代入消元法和加减消元法都较为合适.（方法一：代入消元法）由EQ\o\ac(○,2)式变形可得y=x−3，编号为EQ\o\ac(○,4)，将EQ\o\ac(○,4)分别代入EQ\o\ac(○,1)、EQ\o\ac(○,3)，有：x+z=103x−z=10，解该一元二次方程组，有x=5z=5，将该解代回原方程组中的任意一式，得y=2.（方法二：加减消元法）EQ\o\ac(○,3)×2+EQ\o\ac(○,1)，有：5x+3y=31，编号为EQ\o\ac(○,4)，将EQ\o\ac(○,4)与EQ\o\ac(○,2)联立方程组，有：5x+3y=31x−y=3，解该一元二次方程组，有x=5y=2，将该解代回原方程组中的任意一式，得z=5.综上所述，该三元一次方程组的解为x=5y=2（2）解：将三元一次方程组中各式从上至下依次编号为EQ\o\ac(○,1),EQ\o\ac(○,2),EQ\o\ac(○,3)，观察可知各式中未知量z的系数简单，未知量z最适合作为消元的对象，因此选用加减消元法较为合适.EQ\o\ac(○,1)+EQ\o\ac(○,3)，有：5x+6y=17，编号为EQ\o\ac(○,4)，EQ\o\ac(○,3)×2+EQ\o\ac(○,2)，有：5x+9y=23，编号为EQ\o\ac(○,5)，将EQ\o\ac(○,4)与EQ\o\ac(○,5)联立方程组，有：5x+6y=175x+9y=23，解该一元二次方程组，有x=1y=2，将该解代回原方程组中的任意一式，得z=3.综上所述，该三元一次方程组的解为x=1y=2例2.为确保信息安全，对信息进行传输时会进行加密，发送方由明文转为密文(加密)，接收方由密文转为明文(解密).已知一种加密规则：明文a，b，c，对应的密文为a＋2，－解：（思路分析）分析题意可知，题干给出关于a，b，c的三元一次方程组，对其进行求解，进而求出三个未知数.由题意，有：a+2=9−a+2b+4=13b+3c+9=23，解得：即：求解后得到的明文为7,8,2.自我检测求解下列方程组：4x+2y+z=62x−z=42x+4y−z=0已知甲、乙、丙三个数的和为26，甲数比乙数大1，甲数的两倍与丙数的和比乙数大18，求这三个数．已知方程组x+y=4y+z=6x+z=8,求某工厂有三个车间，共生产了1000件产品。其中，第一车间生产的产品数量是第二车间的2倍，第三车间生产的产品数量比第一车间少100件。请问每个车间各生产了多少