2023-2024学年山东省青岛市胶州市高一下学期期末学业水平检测数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年山东省青岛市胶州市高一下学期期末学业水平检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足2z+1=1−i，则z的虚部为A.−1 B.1 C.−i D.i2.在空间直角坐标系O−xyz中，点A(1,1,2)关于y轴对称点的坐标为A.(1,1,−2) B.(−1,1,2) C.(−1,1,−2) D.(1,−1,2)3.已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，能使“m⊥n”成立的一组条件是A.α//β，m⊥α，n⊥β B.α//β，m⊂α，n⊥β

C.α⊥β，m⊥α，n//β D.α⊥β，m⊂α，n//β4.若{a,bA.a+b，a+b+c，c B.a+b，a−b，c

C.b+5.如图，圆锥的母线长为3，底面半径为1，一只蚂蚁从点P处沿着该圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则蚂蚁爬行的最短路线长为

A.3 B.3 C.236.正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，高是3，则它的侧面积为A.6 B.123 C.24 7.若△ABC为斜三角形，sinA=cosB，则tanA+A.−2 B.−1 C.0 D.18.已知AB⊂平面α，AC⊥平面α，BD⊥AB，BD与平面α所成的角为30°，BD=AC=1，AB=2，则点C与点D之间的距离为A.7 B.13 C.5或7 二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，A.AC与EF为异面直线

B.EF//平面BDD1B1

C.过点A，E，F的平面截正方体的截面为三角形

10.已知向量a在向量b上的投影向量为32,32，向量bA.(0,2) B.(2,0) C.(1,3)11.已知四面体VABC的所有棱长都等于6，点P在侧面VBC内运动(包含边界)，且AP与平面VBC所成角的正切值为22，点Q是棱VB的中点，则A.该四面体的高为26

B.该四面体的体积为62

C.点P的运动轨迹长度为23三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为60°.已知礼物重量为2 kg，每根绳子的拉力大小相同．则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为__________N.(重力加速度g取10 m/s2)

13.已知直三棱柱ABC−A1B1C1的所有顶点都在表面积为20π的球的表面上，14.在四面体ABCD中，面ABC与面BCD所成的二面角为30°，顶点A在面BCD上的射影是H，△ABC的重心是G，若AD⊥BC，AB=AC=BC=4，则GH=__________．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)如图，圆台OO1上下底面半径分别为1，2，AA1，(1)证明：四边形AA(2)若在圆台OO1内部挖去一个以O为顶点，圆O16.(本小题12分)如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=2，AC=1，∠BAC=∠A1AB=60°，平面A1ABB1⊥(1)证明：平面PB1N//(2)求平面PAB与平面A1CM17.(本小题12分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为3，且sin2A+sin2(1)求B；(2)若B的角平分线交AC于点D，BD=32，点E在线段AC上，EC=2EA，求18.(本小题12分)如图1，直角梯形ABED中，AB=AD=1，DE=2，AD⊥DE，BC⊥DE，以BC为轴将梯形ABED旋转180°后得到几何体W，如图2，其中GF，HE分别为上下底面直径，点P，Q分别在圆弧GF，HE上，直线PF //平面BHQ．(1)证明：平面BHQ⊥平面PGH；(2)若直线GQ与平面PGH所成角的正切值等于2，求P到平面BHQ(3)若平面BHQ与平面BEQ夹角的余弦值13，求HQ．19.(本小题12分)如图所示，用一个不平行于圆柱底面的平面，截该圆柱所得的截面为椭圆面．得到的几何体称之为“斜截圆柱”．AB是底面圆O的直径，AB=2，椭圆面过点B且垂直于平面ABC，且与底面所成二面角为45°，椭圆上的点Ei(i=1，2，3，…，n)在底面上的投影分别为Fi，且F(1)当∠AOF1=(2)当n=6时，若下图中，点F1，F2，F3，…，F6将半圆平均分成(3)证明：AF1⌢参考答案1.A

2.C

3.B

4.B

5.D

6.C

7.A

8.C

9.ABD

10.AD

11.ACD

12.5

13.214.3915.解：(1)因为圆台是由平行于底面的平面截圆锥所得，故母线A1A，B1B延长后交于一点，所以A1，A，B1，B四点共面

又面圆O//圆O1面，平面AA1B1B分别交圆O，圆O1面于AB，A1B1，所以AB/​/A1B1

又A16.解：(1)证明：连接PN，因为M，N分别是AC，A1C1的中点，

所以MN//AA1且MN=AA1，又AA1/​/BB1且AA1=BB1，

所以MN//BB1且MN=BB1，所以四边形MNB1B是平行四边形，

所以B1N//BM，

因为BM⊂平面BA1M，B1N⊄平面BA1M，所以B1N//平面BA1M，

因为P是BC1与B1C的交点，所以P是BC1的中点，又N是A1C1的中点，

所以PN//A1B，因为A1B⊂平面BA1M，PN⊄平面BA1M，所以PN//平面BA1M，

又PN∩B1N=N，PN，B1N⊂平面PB1N，所以平面BA1M//平面PB1N，

(2)因为AB=AA1=2，∠A1AB=60∘，所以△A1AB是等边三角形，

取AB中点为O，连接A1O，则A1O⊥AB，

又因为平面A1ABB1⊥底面ABC且交线为AB，所以A1O⊥平面ABC，

17.解：(1)(1)因为sin2A+sin2C=sin2B−sinAsinC，

由正弦定理可得a2+c2=b2−ac，即a2+c2−b22ac=−12，

所以cosB=−12，

又因为B∈(0,π)，

所以B=2π3；

(2)由(1)可知，B=2π18.解：(1)证明：设平面BHQ交上底面于BW，W在圆弧GP上，

因为上下底面平行，所以HQ//BW，

又因为直线PF//平面BHQ，PF⊂平面PGF，平面PGF∩平面BHQ=BW，

所以HQ//BW//PF，

因为PF⊥PG，PF⊥GH，GH∩PG=G，GH、PG⊂平面PGH，

所以PF⊥平面PGH，

因此HQ⊥平面PGH，HQ⊂平面BHQ，所以平面BHQ⊥平面PGH；

(2)由(1)知：HQ⊥平面PGH，因此tan∠HGQ=HQHG=2，

所以HQ=2，所以CQ⊥HE，

PF//平面BHQ，所以P到平面BHQ的距离等于F到平面BHQ的距离，

又因为FC//BH，所以F到平面BHQ的距离等于C到平面BHQ的距离，

设C到平面BHQ的距离为d，

所以VC−BHQ=13×SΔBHQ×d=VB−HCQ=13×SΔHCQ×|CB|，

解得d=33；

(3)过点Q，做直线QK⊥底面，因为HQ⊥QE，所以，以点Q为坐标原点，

分别以QE，QH，QK为x、y、z轴，建立空间直角坐标系Q−xyz;

设B(a2,b2,1)，H(0,b,0)，Q(0,0,0)，E(a,0,0)，

设平面BHQ的法向量n=(x,y,z)，

因为n⋅QB19.解：(1)如图取BC中点O1，过O1作与该斜截圆柱底面平行的平面，交AC于点D，与E1F1交于点H，与椭圆面交线为GK，椭圆所在平面垂直于平面ABC，且与底面所成二面角为45∘，

所以AB=AC=2AD=2，过H作HI⊥GK交GK于点I，

又由E1H⊥圆O1，

所以∠E1IH为椭圆面与圆O1所在平面的夹角，也即椭