2023-2024学年山东省烟台市高二下学期7月期末学业水平诊断数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年山东省烟台市高二下学期7月期末学业水平诊断数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.从6名大学毕业生中任选3名去某中学支教，不同选派方法的总数为(

)A.12 B.18 C.20 D.1202.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，A.36 B.45 C.72 D.903.已知曲线f(x)=ax2+lnx在点(1,f(1))处的切线与x轴相交于点(A.−2 B.−1 C.1 D.24.已知等比数列{an}的前n项和Sn=λ−A.−1 B.1 C.−2 D.25.中心极限定理在概率论中应用广泛.根据该定理,若随机变量ξ~B(n,p),当n充分大时,ξ可以由服从正态分布的随机变量η近似替代,且η的均值、方差分别与随机变量ξ的均值、方差近似相等.某射手对目标进行400次射击,且每次射击命中目标的概率为45,则估计射击命中次数小于336的概率为（

）附:若η~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤η≤μ+σ)=0.6827,P(μ-2σ≤η≤μ+2σ)=0.9545,P(μ-3σ≤η≤μ+3σ)=0.9973.A.0.9987 B.0.9773 C.0.8414 D.0.56.已知函数f(x)=13x3+ax2+xA.(−∞,−1] B.[−1,1] C.[1,+∞) D.[−1,+∞)7.某产品只有一等品、二等品，现随机装箱销售，每箱15件.假定任意一箱含二等品件数为0，1，2的概率分别为0.7，0.2，0.1.一顾客欲购一箱该产品，开箱随机查看其中1件，若该件产品为一等品，则买下这箱产品，否则退回，则该顾客买下这箱产品的概率为(

)A.1315 B.3335 C.73758.已知a>−1，b∈R，且ea−b+1>ba+1A.a−b>−1 B.a−b<−1 C.a+b>−1 D.a+b<−1二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某弹簧振子在振动过程中的位移y(单位：mm)与时间t(单位：s)之间的函数关系为y=12sin(π3A.t=3s时，弹簧振子的位移为12mm

B.t=3s时，弹簧振子的瞬时速度为0mm/s

C.t=3s时，弹簧振子的瞬时加速度为43π2mm/s10.已知某两个变量x，y具有线性相关关系，由样本数据(xi,yi)(i=1,2,⋯,10)确定的样本经验回归方程为y=−2x+3.7，且x=5.若剔除一个明显偏离直线的异常点(14,−9)后，利用剩余A.变量x，y的样本相关系数为正数

B.经验回归直线恒过(4,−6)

C.x每增加1个单位，y平均减少1.6个单位

D.样本数据(2,−3)对应的残差的绝对值为0.211.设数列{an}满足下列条件：ai∈{0,1}(i=1，2，⋯，n)，且当i≥2时，aiai−1=0.记项数为A.t2=3 B.t3=6

C.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.(1−2x)5展开式中含x3项的系数为

13.若曲线f(x)=xln1x与g(x)=ax2总存在关于原点对称的点，则a14.南京大学2023年的本科生录取通知书用科赫曲线的数学规律鼓励新生成为独一无二的自己，还附赠“科赫雪花”徽章，意在有限的生命中，创造无限可能.科赫曲线的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程.下图展示的分别是1阶、2阶、3阶、4阶科赫曲线，设1阶科赫曲线的周长为L，则n阶科赫曲线的周长为

;若n阶科赫曲线围成的平面图形的面积为Sn，且满足Sn<T(n∈N∗)，则T的最小值为四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

某高中在高二年级举办创新作文比赛活动，满分100分，得分80及以上者获奖.为了解学生获奖情况与选修阅读课程之间的关系，在参赛选手中随机选取了50名学生作为样本，各分数段学生人数及其选修阅读课程情况统计如下：成绩[0,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]学生人数6102473选修阅读课程人数03944(1)根据以上统计数据完成下面的2×2列联表，依据α=0.005的独立性检验，能否认为学生获奖与选修阅读课程有关联;获奖没有获奖合计选修阅读课程不选阅读课程合计(2)在上述样本的获奖学生中随机抽取3名学生，设3人中选修阅读课程人数为X，求X的分布列及数学期望．参考公式：χ2=n(ad−bcα0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82816.(本小题12分)已知函数f(x)=(x(1)当a=−2时，求过点(1,0)且与f(x)图象相切的直线的方程;(2)讨论函数f(x)的单调性．17.(本小题12分)已知数列{an}是等差数列，且a2=−1，数列{(1)求数列{bn(2)将数列{an}，{bn}(3)设数列{1cn}的前n项和为T18.(本小题12分)一个不透明的袋子中装有大小形状完全相同的6个小球，其中3个黑球、3个白球.现从袋中随机逐个抽取小球，若每次取出的是黑球，则放回袋子中，否则不放回，直至3个白球全部取出．(1)求在第2次取出的小球为黑球的条件下，第1次取出的小球为白球的概率;(2)记抽取3次取出白球的数量为X，求随机变量X的分布列;(3)记恰好在第n次取出第二个白球的概率为Pn，求Pn19.(本小题12分)已知函数f(x)=a(x+1)ln(1)求a的取值范围;(2)设函数f(x)的极值点之和为m，零点之和为n，求证：m+n>5．

参考答案1.C

2.C

3.A

4.D

5.B

6.D

7.C

8.A

9.ABD

10.BCD

11.AC

12.−80

13.(−∞,114.(415.解：(1)根据条件得

零假设为H0:创新作文比赛获奖与选修阅读课程无关联，根据列联表中数据计算得到，χ2=50×(8×28−2×12)220×30×10×40=253≈8.333>7.879．

根据小概率值α=0.005的独立性检验，推断H0不成立，即认为创新作文比赛获奖与选修阅读课程有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005．

(2)由题意可知X的可能取值为1，2，3，则P(X=1)=C81C16.解：(1)当a=−2时，f(x)=(x2−2x+1)ex，所以f′(x)=(x2−1)ex．

设切点为(x0,y0)，则y0=(x02−2x0+1)ex0，k=(x02−1)ex0，

所以，切线方程为y−(x02−2x0+1)ex0=(x02−1)ex0(x−x0).将(1,0)代入得(x0−1)2x0=0，解得x0=0或x0=1．

故过(1,0)的切线方程为y=0或x+y−1=0．

(2)f′(x)=(2x+a)ex+(x2+ax+1)ex=(x+a+1)(x+1)ex．

17.解：(1)由题意可知，b2−b1=a2，即b2−1=−1，故b2=0．

由b3−b2=a3，可得a3=1

所以数列{an}的公差d=2，所以an=−1+2(n−2)=2n−5．

由bn−bn−1=an，bn−1−bn−2=an−1，⋯，b2−b1=a2，

叠加可得bn−b1=a2+a3+⋯+an=(n−1)(−1+2n−5)2，

整理可得bn=18.解：(1)记事件A=“第2次取出的小球为黑球”;事件B=“第1次取出的小球为白球”，

则P(A)=36×36+36×35=1120，P(AB)=36×35=310，所以P(B|A)=P(AB)P(A)=611:

(2)由题意，X的可能取值为0，1，2，3，

则P(X=0)=36×36×36=19.解：(1)函数f(x)定义域为(0,+∞)，f′(x)=alnx+a(x+1)⋅1x+1=a(lnx+x+1x)+1，

显然a≠0，令f′(x)=0，可得lnx+x+1x=−1a，

令t(x)=lnx+x+1x，由f(x)有两个不同极值点得t(x)=−1a有两个不同的正根，

因为t′(x)=1x−1x2=x−1x2．

当x∈(0,1)时，t′(x)<0，t(x)单减，x∈(1,+∞)时，t′(x)>0，t(x)单增．

所以t(x)的极小值即最小值t(1)=2，

又当x→0时，t(x)→+∞，且x→+∞时，t(x)→+∞，

所以−1a>2，

即−12<a<0．

(2)设x1，x2为函数f(x)的极值点，由(1)，

不妨设x1<1<x2，

下证x1+x2>2．

要证：x2>2−x1>1，

只要证t(x2)>t(2−x1).

令g