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文档简介
第一章集合与常用逻辑用语1.3
集合的基本运算第1课时
并集与交集自然语言所有
属
于
集
合
A
或
属
于
集
合
B一般地,由
的元素组成的集合,称为集合A与B的并集(unionset),记作_
(读作“A并B”).A符号语言基础知识
并集知识点1图形语言(1)A与B有公共元素,相互不包含(2)A与B没有公共元素A(B)1)A
B(4)B
AA=B说
明
:由上述五个图形可知,无论集合A,B是何种关系,AUB恒有意义,图中阴影部分表示并集.·思考1:并集概念中的“或”与生活用语中的“或”的含义是否相同?·提示:并集概念中的“或”与生活用语中的“或”的含义是不同的.生
活用语中的“或”是“或此”“或彼”只取其一,并不兼存;而并集中
的“或”则是“或此”“或彼”“或此彼”,可兼有.·“x∈A
或x
∈B”包含三种情形:·①x
∈A,
但x
∈B;·②x
∈B,
但x
∈A;·③x
∈A且x
∈B.自然语言所有属于集合A且属于集合B的元素一般地,由
组成的集合,称为A与B的交集(intersectionset),记作_
(读作“A交B”)符号语言知识点2交集图形语言(1)A与B相交(有公共元素,相互不包含)(2)A与B相离(没有公共元素,A∩B=B
,
则
A∩
B
=
AB(A∩B
A图
形
语
言(
4
)
B
A
,
则
A
∩
B
=
BA
(A∩B
B))A=B,A∩B=B=AA(B)A∩B·思考2:集合运算中的“且”与生活用语中的“且”相同吗?·提示:集合运算中的“且”与生活用语中的“且”的含义相同,均表示“同时”的含义,即“x∈A,且x
∈B”表示元素x
属于集合A,
同时属于
集合B.知识点3
并集与交集的性质·(1)
AnQ=0.(2)
AUQ=A.·思考3:(1)对于任意两个集合A,B,ANB与A有什么关系?
AUB
与A有什
么关系?·(2)设A,B是两个集合,若已知ANB=A,AUB=B
系?集合A与B呢?·提示:(1)(ANB)≤A,AS(AUB).·(2)ANB=A⇔AUB=B⇔ACB.,则它们之间有何关·1.已知集合A={—1,0,1,2},B={x|x²≤1},则AnB
=(
)·A.{-1,0,F
B.{0,1}·C.{—1,1}
D.{0,1,2}·[解析]∵B={x|x²≤1}={x|-1≤x≤1},·∴AnB={-1,0,1,2}n{x|-1≤x≤1}={-1,0,1},故选A.基础自测
·2.(江苏宿迁市高一期末测试)设集合
则MUN=(
)·A.{0,1,2}BD
{2}·C.{2,4}
D.{0,1,2,4}·[解析]
MUN={0,1,2}U{2,4}={0,1,2,4}.·3.已知集合M={x|-5<x<3},N={x|-4<x<5},则MnN=()·A.{x|-4<x<3}B.{x|一5<x<—4}·C.{x|3<x<5}D.{x|—5<x<5}·[解析]
MnN={x|-5<x<3}n{x|-4<x<5}={x|-4<x<3},
故选A.·4.已知集合A={—1,0,1,6},B={x|x>0,x∈R},则AnB·[解析]
AAb·⁶{-1,0,1,6}nfx|x>0,x∈R}={1,6}.·5.已知集合A={1,2,3},B={2,m,4},A∩B={2,3},
则m=
·[解析]
因为AnB={2,3},
所以3∈B.所以m=3.3题型
一并集运算(2)
集合
=({1x)|
,
{}
AU
AUB;·(2)画出数轴如图所示:B求,求5},x{2x,B2}{—3设集A1设例··[分析]
第(1)题由定义直接求解,第(2)题借助数轴求很方便.·[解析](1)AUB={1,2,3}U{2,3,4,5}={1,2,3,4,5}.题型探究·[归纳提升]并集运算应注意的问题·(1)对于描述法给出的集合,应先看集合的代表元素是什么,弄清是数集,
还是点集....,然后将集合化简,再按定义求解.·(2)求两个集合的并集时要注意利用集合元素的互异性这一属性,重复的
元素只能算一个.·(3)对于元素个数无限的集合进行并集运算时,可借助数轴,利用数轴分
析法求解,但要注意端点的值能否取到.·【对点练习】①(1)已知集合A={0,2,4},B={0,1,2,3,5},则AUB=·[解析](1)AUB={0,2,4}U{0,1,2,3,5}={0,1,2,3,4,5}.>-2}·(2)画出数轴如图所示,故AUB={x|x>-2}.·(2)若集告A={x|x>—1},B={x|
一2<x<2},则AUB=
题型二交集运算
例
2(1)设集合M={-1,0,1},N={x|x²=x}则MnN=(
B·(2)若集合A={x|-2≤x≤3},B={x|x<—1
或x>4},
则集合AnB等于(
)·A.{x|x≤3或x>4}
B.{x|—1<x≤3}·{x|3≤x<4}
D.{x|-2≤x<—1}
·●A.{—1,0,1}B.{0,1}·C.{1}
D.{0}·(3)已知A={(x,y)|4x+y=6},B={(x,y)|3x+2y=7},则ANB={(1,2)}[分析](1)先求出集合N中的元素再求M、N
的交集.(2)借助数轴求A∩B.(3)
集合A和B的元素是有序实数对(x,y),A
、B的交集即为方程
的解集.·[解析](1)N={x|x²=x}={0,1},∴MnN={0,1},
故
选B.·(2)将集合A、B表示在数轴上,由数轴可得AnB={x|-2≤X<-1},
故
选
D.(3)A∩B={(x,y)|4x+y=6}∩{(x,y)|3x+2y=7}·[归纳提升]求集合AnB的方法与步骤·(1)步骤·①首先要搞清集合A、B的代表元素是什么.·②把所求交集的集合用集合符号表示出来,写成
“AnB\”的形式.·③把化简后的集合A、B的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素则
所求交集为0).·(2)方法·①若A、B的代表元素是方程的根,则应先解方程,求出方程的根后,再
求两集合的交集;若集合的代表元素是有序数对,则A∩B是指两个方程
组成的方程组的解集,解集是点集·②若A、B是无限数集,可以利用数轴来求解.但要注意,利用数轴表示
不等式时,含有端点的值用实心点表示,不含有端点的值用空心点表示
.·【对点练习】②(1)(2020·天津和平区高一期中测试)设集合A={1,2,3,4},
B={y|y=2x—1,x∈A},则AnB等于(
)·A.{1,3}
B.{2,4}·C.{2,4,5,7}
D.{1,2,3,4,5,7}·(2)(2020·广州荔湾区高一期末测试)设集合A={1,2,4},B={x|x²—4x+m=0},若ANB={1},则集合B=()·A.{—3,1}B.{0,1}·C.{1,5}
D.{1,3}D·[解析](1)∵A={1,2,3,4},B={yly=2x-1,x∈A},∴B={1,3,5,7},
·
∴A∩B={1,3},
故选A.·(2)∵A∩B={1},·
∴1∈B,·∴1是方程x²-4x+m=0
的根,·
∴1-4+m=0,∴m=3.·
∴B={x|x²-4x+3=0}={x|(x-1)(x-3)=0}={1,3}.·(2)设A={x|x²—2x=0},B={x|x²—2ax
半d²—a=0}.·①若An
B=B,
求a的取值范围;·②若AUB=B,求a
的取值.(1)设集合M={x|-2<x<5},N={x|2—t<x<2t+1,t∈R},
则实数t的取值范围为
题型三
集合的交集、并集性质的应用若·[分析]
(1)把MUN=M
转化为NEM,
利用数轴表示出两个集合,建立端点间的不等关系式求解.·(2)先化简集合A,B,
再由已知条件得AnB=B
和AUB=B,
转化为集合A、B的包含关系,分类讨论求a的值或取值范围.当N≠0
时,由数轴可得解
缩上可知,实数t的取值范围是{tt≤2}.[解析](1)由MUN=M得NEM,当N=0
时,2t+1≤2—t,即此时MUN=M成立.(2)由x²—2x=0,
得
x=0或x=2.∴A={0,2}.①∵A∩B=B,∴BSA,B=0,{0},{2},{0,2}.当B=0
时,△=4a²-4(a²—a)=4a<0,∴a<0;当B={0}时,.
∴a=0;当B={2}时,无解;综上所述,得a
的取值范围是{a|a=1
或
a≤0}.②∵AUB=B,∴AEB.∵A={0,2},而B中方程至多有两个根,∴A=B,
由①知a=1.当B={0,2}
时,得
a=1.·[归纳提升]利用交、并集运算求参数的思路·(1)涉及A∩B=B
或AUB=A
的问题,可利用集合的运算性质,转化为相
关集合之间的关系求解,要注意空集的特殊性·(2)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.若集合中的元素能
——列举,则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系,要注意集合
中元素的互异性;与不等式有关的集合,则可利用数轴得到不同集合之
间的关系
.温故知新文字语言一般地,由所有属于集合A
属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的
,记作
(读作“
”)符号语言A∪B=________________图形语言
性质A∪B=B∪A,A∪A=A,A∪∅=A,A∪B=A⇔B⊆A,A⊆A∪B或并集A∪BA并B{x|x∈A,或x∈B}并集温故知新文字语言一般地,由所有属于集合A
属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的
,记作
(读作“
”)符号语言A∩B=________________图形语言
性质A∩B=B∩A,A∩A=A,A∩∅=∅,A∩B=A⇔A⊆B,(A∩B)⊆(A∪B),(A∩B)⊆A,(A∩B)⊆B交集且A∩BA交B{x|x∈A,且x∈B}交集温故知新(1)A∪A=A,A∪Ø=A;A∩A=A,A∩Ø=Ø.(2)若集合A是集合B的子集,则A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B.并集与交集的运算性质学习目标1.了解全集的含义及其符号表示.2.理解给定集合中一个子集的补集的含义,并会求给定子集的补集.(重点)3.会用Venn图、数轴进行集合的运算.(难点)创设情境同学们,我们知道了并集与交集的概念,知道了两个集合间可以进行相应运算。大家思考下,相对于某个集合U,其子集中的元素是U中的一部分,那么剩余的元素能否构成一个集合呢?答案是肯定的,因为只要元素确定且互异就能构成一个集合。这两个集合对于U构成了相对的关系,这就验证了“事物都是对立和统一的关系”,体现了数学之美.那么这节课,让我们来继续学习两个新的名词——全集和补集.一全集与补集思考1
方程(x-2)(x2-3)=0的解集在有理数范围内与在实数范围内有什么不同?思考2
通过这个问题,你能得到什么启示?提示
在数学中,很多问题都是在某一范围内进行研究.如本问题在有理数范围内求解与在实数范围内求解是不同的.同学们,从小学到初中,数的研究范围逐步地由自然数到正分数,再到有理数,引进无理数后,数的研究范围扩充到实数.在高中阶段,数的研究范围将进一步扩充.提示通过观察,A⊆U,B⊆U,A∩B=∅,A∪B=U.进一步发现,集合A与集合B有一种“互补”的关系,集合U是我们研究对象的全体。新知讲解1.全集定义一般地,如果一个集合含有所研究问题中涉及的
元素,那么就称这个集合为_____记法____所有U全集新知讲解2.补集定义文字语言对于一个集合A,由全集U中_集合A的所有元素组成的集合称为集合A_全集U的补集,简称为集合A的补集,记作_____符号语言∁UA=________________图形语言
不属于相对于∁UA{x|x∈U,且x∉A}新知讲解性质(1)∁UA⊆U;(2)∁UU=
,∁U∅=U;(3)∁U(∁UA)=
;(4)A∪(∁UA)=
;A∩(∁UA)=∅∅AU新知讲解注意点:(1)“全集”是一个相对的概念,并不是固定不变的,它是依据具体的问题加以选择的.(2)补集是集合之间的一种运算关系,求集合A的补集的前提是A是全集U的子集,随着所选全集的不同,得到的补集也不同,因此它们是相互依存、不可分割的两个概念.(3)∁UA包含三层含义:①A⊆U;②∁UA是一个集合,且∁UA⊆U;③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合.反思感悟两种求补集的方法(1)若所给的集合是用列举法表示,则用Venn图求解.(2)若所给的集合是有关不等式的集合,则常借助于数轴,把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后再根据补集的定义求解,注意端点值的取舍.(2)(多选)已知U为全集,若A∩B=A,则A.A⊆B B.B⊆AC.(∁UA)⊆(∁UB) D.(∁UB)⊆(∁UA)√√因为A∩B=A,所以A⊆B,故A正确,B错误;所以(∁UB)⊆(∁UA),故C错误,D正确.二交、并、补集的综合运算(2)已知集合U={x∈Z|-3<x<3},A={-2,1},B={-2,2},则(∁UA)∪B等于A.{-2,1,2} B.{-2,0,2}C.{-2,-1,0,2} D.{-2,-1,2}√因为U={x∈Z|-3<x<3}={-2,-1,0,1,2},A={-2,1},所以∁UA={-1,0,2},所以(∁UA)∪B={-2,-1,0,2}.反思感悟解决集合交、
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