2018年高考理科数学江苏卷(含答案与解析)

数学试卷第=*226页）在此在此卷上答题无效江苏省2018年普通高等学校招生全国统一考试毕业学校_____________姓名毕业学校_____________姓名________________考生号_____________________________________________本试卷共160分.考试时长120分钟.参考公式：锥形的体积公式,其中是椎体的底面积,是椎体的高。填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分.1.已知集合,,那么.2.若复数满足,其中是虚数单位,则的实部为.3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为.4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的的值为.5.函数的定义域为.6.某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为.7.已知函数的图象关于直线对称,则的值是.8.在平面直角坐标系中,若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为,则其离心率的值是.9.函数满足,且在区间上,,则的值为.10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为.11.若函数在内有且只有一个零点,则在上的最大值与最小值的和为.12.在平面直角坐标系中,为直线上在第一象限内的点,点,以为直径的圆与直线交于另一点.若,则点的横坐标为.13.在中,角,,所对应的边分别为,,,,的平分线交于点,且,则的最小值为.14.已知集合,.将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列,记为数列的前项和,则使得成立的的最小值为.二、解答题：本大题共6小题,共计90分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)在平行六面体中,,.求证：(Ⅰ)平面；(Ⅱ)平面平面.16.(本小题满分14分)已知,为锐角,,.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求的值.在此卷上答在此卷上答题无效毕业学校_____________姓名________________考生号_____________________________________________某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆的一段圆弧(为此圆弧的中点)和线段构成,已知圆的半径为40米,点到的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚内的地块形状为矩形,大棚内的地块形状为,要求点,均在线段上,,均在圆弧上.设与所成的角为.(Ⅰ)用分别表示矩形和的面积,并确定的取值范围；(Ⅱ)若大棚内种植甲种蔬菜,大棚内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为.求当为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系中,椭圆过点,焦点,,圆的直径为.(Ⅰ)求椭圆及圆的方程；(Ⅱ)设直线与圆相切于第一象限内的点.①若直线与椭圆有且只有一个公共点,求点的坐标；②直线与椭圆交于,两点.若的面积为,求直线的方程.19.(本小题满分16分)记,分别为函数,的导函数.若存在,满足且,则称为函数与的一个“点”.(Ⅰ)证明：函数与不存在“点”；(Ⅱ)若函数与存在“点”,求实数的值；(Ⅲ)已知函数,.对任意,判断是否存在,使函数与在区间内存在“点”,并说明理由.20.(本小题满分16分)设是首项为,公差为的等差数列,是首项,公比为的等比数列.(Ⅰ)设,,若对均成立,求的取值范围；(Ⅱ)若,,,证明：存在,使得对均成立,并求的取值范围(用,,表示).在此卷在此卷上答题无效本试卷均为非选择题(第21题~第23题).本卷满分40分,考试时间为30分钟.毕业学校_____________姓名________________考生号_____________________________________________21.【选做题】本题包括A,B,C,D毕业学校_____________姓名________________考生号_____________________________________________A.[选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图,圆的半径为2,为圆的直径,为延长线上一点,过点作圆的切线,切点为,若,求的长.B.[选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵(I)求的逆矩阵；(Ⅱ)若点在矩阵对应的变换作用下得到点,求点的坐标。C.[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中,直线的方程为,曲线的方程为,求直线被曲线截得的弦长.D.[选修4-5：不等式选讲](本小题满分10分)若为实数,且,求的最小值.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)如图,在正三棱柱中,,点分别为的中点.(I)求异面直线与所成角的余弦值；(Ⅱ)求直线,与平面所成角的正弦值.23.(本小题满分10分)设,对1,2,…,的一个排列,如果当时,有,则称是排列的一个逆序,排列的所有逆序的总个数称为其逆序数.例如：对1,2,3的一个排列231,只有两个逆序,则排列231的逆序数为2.记为的所有排列中逆序数为的全部排列的个数。(I)求的值；(Ⅱ)求的表达式(用表示)。

江苏省2018年普通高等学校招生全国统一考试数学答案解析一、填空题1.【答案】【解析】观察两个集合即可求解。【考点】集合的交集运算2.【答案】2【解析】，故.【考点】复数的运算3.【答案】90【解析】【考点】茎叶图，数据的平均数4.【答案】8【解析】代入程序前符合，第一次代入后，符合，继续代入；第二次代入后，符合，继续代入，第三次代入后，不符合，输出结果，故最后输出的值为.【考点】伪代码5.【答案】【解析】，解之得，即.【考点】函数的定义域，对数函数6.【答案】【解析】假设名女生为，男生为，恰好选中名女生的情况有：选和，和，和三种。总情况有和，和，和，和，和，和，和，和，和，和这种，两者相比即为答案【考点】古典概型7.【答案】：【解析】函数的对称轴为，故把代入得因为，所以.【考点】正弦函数的图像和性质8.【答案】2【解析】由题意画图可知，渐近线与坐标轴的夹角为。故，故.【考点】双曲线的几何性质9.【答案】【解析】因为，函数的周期为，所以∴.【考点】分段函数，函数的性质，函数值的求解10.【答案】【解析】平面将多面体分成了两个以为底面边长，高为的正四棱锥，所以其体积为.【考点】空间几何体的结构，体积的计算11.【答案】【解析】令在上单调递减，在上单调递增∵有唯一零点∴求导可知在上，∴【考点】函数零点，导数在函数性质中的应用12.【答案】3【解析】∵为直径∴∴即到直线的距离。∵，又∴设或（舍去）.【考点】直线方程，圆的方程以及直线与圆的位置关系13.【答案】9【解析】由面积得：化简得当且仅当，即时取等号。【考点】三点共线，基本不等式的应用14.【答案】27【解析】与相比，元素间隔大。所以从中加了几个中元素考虑。个：个：个：个：个：个：发现时发生变号，以下用二分法查找：，所以所求应在之间.，所以所求应在之间.，所以所求应在之间.∵，而，所以答案为.【考点】等差数列，等比数列二、解答题15.【答案】（Ⅰ）∵平行六面体∴面面∵面∴面又面面且面∴又面面∴面

（Ⅱ）由可知：∵∴∵平行六面体∴又由得∴四边形为平行四边形∵∴平行四边形为菱形∴又∴面∵面∴面面【考点】空间直线与平面平行、垂直的正面16.【答案】（Ⅰ）方法一：∵∴又∴∴方法二：

（Ⅱ）方法一：为锐角∵均为锐角，∴∴∴∴方法二：∵为锐角∴∴∴∵为锐角∴又∵∴∴∴【考点】同角三角函数的基本关系以及三角恒等变换17.【答案】（Ⅰ）过作垂直于交圆弧于，设交于.当点落在劣弧上时，，与题意矛盾。所以点只能落在劣弧上.所以，即

（Ⅱ）设甲种蔬菜年产值为，则乙种蔬菜年产值为，设总年产值为则设令，解得或，根据舍去，记单调递增极大值单调递减单调递增极大值单调递减答：当时，年总产值最大.【考点】三角函数、导数在实际问题中的应用18.【答案】（Ⅰ）

（Ⅱ）①②【解析】（Ⅰ）由题意解得，即椭圆标准方程为

（Ⅱ）设，则显然斜率存在，设，，则，将代入，得∴与椭圆方程联立得①与椭圆相切，则，即将代入，解得(舍去)或由于在第一象限，则，即②设与轴交点为在中令，得，即假设的纵坐标大于的纵坐标而，即将代入化简得解此方程，得，(由已知条件，舍)或，由于在第一象限，则，回代入，得【考点】直线方程，圆的方程，椭圆的标准方程，几何性质以及直线与椭圆、圆的位置关系19.【答案】（Ⅰ），若存在，则有根据2得到代入1不符合，因此不存在

（Ⅱ），根据题意有且有根据2得到代入1得到

（Ⅲ），根据题意有根据2有转化为∵∴转化为存在零点，又，∴恒存在零点大于0小于1∴对任意均存在，使得存在“点”.【考点】函数的新定义，导数与函数的综合应用20.【答案】（Ⅰ）由题意得对任意均成立故当，时可得即所以

（Ⅱ）因为，对均能成立把，代入可得化简后可得因为，所以，而所以存在，使得对均成立当时，当时，设，则设，因为，所以单调递增，又因为所以设，且设，那么因为，所以在上恒成立，即单调递增。所以的最大值为，所以∴对均满足，所以单调递减∴【考点】等差数列，等比数列以及数列与不等式的综合应用21.【选做题】A.【答案】2【解析】先连圆心与切点得直角三角形，求出，即得为中点，再根据直角三角形斜边上中线长等于斜边一半的性质得结果.详解：证明：连结．因为与圆相切，所以.又因为,,所以又因为，从而为斜边的中点，所以.【考点】圆与三角形等基础知识B.【答案】（1）（2）点的坐标为【解析】（1）因为，，所以可逆，从而．（2）设，则，所以，因此，点的坐标为．【考点】矩阵的运算、线性变换等基础知识C.【答案】直线被曲线截得的弦长为【解析】因为曲线C的极坐标方程为，所以曲线的圆心为，直径为4的圆．因为直线l的极坐标方程为，则直线过，倾斜角为，所以为直线与圆的一个交点．设另一个交点为，则．连结，因为为直径，从而，所以．因此，直线被曲线截得的弦长为．【考点】曲线的极坐标方程D.【答案】4【解析】证明：由柯西不等式，得．因为，所以，当且仅当时，不等式取等号，此时，所以的最小值为4．【考点】柯西不等式等基础知识22.【答案】（1）（2）【解析】如图，在正三棱柱中，设的中点分别为，则，，，以为基底，建立空间直角坐标系．因为，所以．（1）因为为的中点，所以，从而，故．因此，异面直线与所成角的余弦值为．（2）因为为的中点，所以，因此，．设为平面的一个法向量，则即不妨取，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．【考点】空间向量、异面直线所成角和线面角23.【答案】（1）25（2）时，【解析】（1）记为排列的逆序数，对1,2,3的所有排列，有，