广东省广州市荔湾区广雅实验学校2022-2023学年数学九年级第一学期期末学业水平测试试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年年收入300美元，预计2018年年收入将达到1500美元，设2016年到2018年该地区居民年人均收入平均增长率为x，可列方程为（）A．300（1+x）2＝1500 B．300（1+2x）＝1500C．300（1+x2）＝1500 D．300+2x＝15002．等腰直角△ABC内有一点P，满足∠PAB=∠PBC=∠PCA，若∠BAC=90°，AP=1.则CP的长等于（）A． B．2 C．2 D．33．如图，、、分别切于、、点，若圆的半径为6，，则的周长为（）A．10 B．12 C．16 D．204．如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，连结DE．且DE＝，则弦BC的长为（）A． B．2 C．3 D．5．如图，正方形中，为的中点，的垂直平分线分别交，及的延长线于点，，，连接，，，连接并延长交于点，则下列结论中：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．正确的结论的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．66．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc=0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．如图⊙O的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为（）A． B．4 C． D．88．在平面直角坐标系中，点E（﹣4，2），点F（﹣1，﹣1），以点O为位似中心，按比例1：2把△EFO缩小，则点E的对应点E的坐标为（

）A．（2，﹣1）或（﹣2，1） B．（8，﹣4）或（﹣8，4） C．（2，﹣1） D．（8，﹣4）9．如图是二次函数图像的一部分，直线是对称轴，有以下判断：①；②＞0；③方程的两根是2和-4；④若是抛物线上两点，则＞；其中正确的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．410．如图，以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内上的一点，若，则的度数是A．B．C．D．11．如图，、、是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则的值为（）A． B．1 C． D．12．已知，则（）A．1 B．2 C．4 D．8二、填空题（每题4分，共24分）13．点A，B都在反比例函数图象上，则_____．（填写<，>，=号）14．如图，将沿方向平移得到，与重叠部分（即图中阴影部分）的面积是面积的，若，则平移的距离是__________．，15．如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的直径是_____________cm．16．如图，四边形是的内接四边形，若，则的大小为________．17．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，则树高AB=▲．18．一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶．设行驶的时间为x（时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x之间的函数关系．已知两车相遇时快车比慢车多行驶60千米．若快车从甲地到达乙地所需时间为t时，则此时慢车与甲地相距_____千米．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，抛物线经过，两点，且与轴交于点，抛物线与直线交于，两点．（1）求抛物线的解析式；（2）坐标轴上是否存在一点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．（3）点在轴上且位于点的左侧，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标．20．（8分）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？21．（8分）如图,菱形的顶点在菱形的边上,与相交于点,,若,,求菱形的边长.22．（10分）已知：如图，在四边形ABCD中，点G在边BC的延长线上，CE平分∠BCD，CF平分∠GCD，EF∥BC交CD于点O．（1）求证：OE=OF；（2）若点O为CD的中点，求证：四边形DECF是矩形．23．（10分）已知：如图，在半圆中，直径的长为6，点是半圆上一点，过圆心作的垂线交线段的延长线于点，交弦于点．（1）求证：；（2）记，，求关于的函数表达式；（3）若，求图中阴影部分的面积．24．（10分）解不等式组，将解集在数轴上表示出来，并求出此不等式组的所有整数解.25．（12分）某高级酒店为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，并规定：顾客消费100以上（不包括100元），就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准九折、八折、七折、五折区域顾客就可以获得此项待遇（转盘等分成16份）.（1）甲顾客消费80元，是否可获得转动转盘的机会？（2）乙顾客消费150元，获得打折待遇的概率是多少？（3）他获得九折，八折，七折，五折待遇的概率分别是多少？26．某报社为了解市民对“社会主义核心价值观”的知晓程度，采取随机抽样的方式进行问卷调查，调查结果分为“A.非常了解”、“B.了解”、“C.基本了解”三个等级，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．(1)这次调查的市民人数为________人，m＝________，n＝________；(2)补全条形统计图；(3)若该市约有市民100000人，请你根据抽样调查的结果，估计该市大约有多少人对“社会主义核心价值观”达到“A.非常了解”的程度．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A【详解】解：设2016年到2018年该地区居民年人均收入平均增长率为x，那么根据题意得2018年年收入为：300（1+x）2，列出方程为：300（1+x）2=1．故选A．2、B【分析】先利用定理求得，再证得，利用对应边成比例，即可求得答案.【详解】如图，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴，，设，则，如图，∴，∴,∴，∴，∵，∴，∴，故选：B【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练运用相似三角形的判定和性质是本题的关键．3、C【分析】根据切线的性质，得到直角三角形OAP，根据勾股定理求得PA的长；根据切线长定理，得AD=CD，CE=BE，PA=PB，从而求解．【详解】∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C点，

∴AD=CD，CE=BE，PA=PB，OA⊥AP．

在直角三角形OAP中，根据勾股定理，得AP==8，

∴△PDE的周长为2AP=1．

故选C．【点睛】此题综合运用了切线长定理和勾股定理．4、C【分析】由垂径定理可得AD＝BD，AE＝CE，由三角形中位线定理可求解．【详解】解：∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴AD＝BD，AE＝CE，∴BC＝2DE＝2×＝3故选：C．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，三角形的中位线定理，垂径定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．5、B【分析】①作辅助线，构建三角形全等，证明△ADE≌△GKF，则FG=AE，可得FG=2AO；②设正方形ABCD的边长为2x，则AD=AB=2x，DE=EC=x，证明△ADE∽△HOA，得，于是可求BH及HE的值，可作出判断；③分别表示出OD、OC，根据勾股定理逆定理可以判断；④证明∠HEA=∠AED=∠ODE，OE≠DE，则∠DOE≠∠HEA，OD与HE不平行；

⑤由②可得，根据AR∥CD，得，则；⑥证明△HAE∽△ODE，可得，等量代换可得OE2=AH•DE；⑦分别计算HC、OG、BH的长，可得结论．【详解】解：①如图，过G作GK⊥AD于K，

∴∠GKF=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADE=90°，AD=AB=GK，

∴∠ADE=∠GKF，

∵AE⊥FH，

∴∠AOF=∠OAF+∠AFO=90°，

∵∠OAF+∠AED=90°，

∴∠AFO=∠AED，

∴△ADE≌△GKF，

∴FG=AE，

∵FH是AE的中垂线，

∴AE=2AO，

∴FG=2AO，

故①正确；②设正方形ABCD的边长为2x，则AD=AB=2x，DE=EC=x，，易得△ADE∽△HOA，，，Rt△AHO中，由勾股定理得：AH=，∴BH=AH-AB=，∵HE=AH=，∴HE=5BH；

故②正确；③，，∴，∴OC与OD不垂直，故③错误；

④∵FH是AE的中垂线，

∴AH=EH，

∴∠HAE=∠HEA，

∵AB∥CD，

∴∠HAE=∠AED，

Rt△ADE中，∵O是AE的中点，

∴OD=AE=OE，

∴∠ODE=∠AED，

∴∠HEA=∠AED=∠ODE，

当∠DOE=∠HEA时，OD∥HE，

但AE＞AD，即AE＞CD，

∴OE＞DE，即∠DOE≠∠HEA，

∴OD与HE不平行，

故④不正确；

⑤由②知BH=，，延长CM、BA交于R，

∵RA∥CE，

∴∠ARO=∠ECO，

∵AO=EO，∠ROA=∠COE，

∴△ARO≌△ECO，

∴AR=CE，

∵AR∥CD，，故⑤正确；

⑥由①知：∠HAE=∠AEH=∠OED=∠ODE，

∴△HAE∽△ODE，∵AE=2OE，OD=OE，

∴OE•2OE=AH•DE，

∴2OE2=AH•DE，

故⑥正确；

⑦由②知：HC=，∵AE=2AO=OH=，tan∠EAD=，，，∵FG=AE，，∴OG+BH=，∴OG+BH≠HC，

故⑦不正确；

综上所述，本题正确的有；①②⑤⑥，共4个，

故选：B．【点睛】本题是相似三角形的判定与性质以及勾股定理、线段垂直平分线的性质、正方形的性质的综合应用，正确作辅助线是关键，解答时证明三角形相似是难点．6、C【详解】根据图像可得：a<0，b<0，c=0，即abc=0，则①正确；当x=1时，y<0，即a+b+c<0，则②错误；根据对称轴可得：－=－，则b=3a，根据a<0，b<0可得：a>b；则③正确；根据函数与x轴有两个交点可得：－4ac>0，则④正确.故选C.【点睛】本题考查二次函数的性质.能通过图象分析a，b，c的正负，以及通过一些特殊点的位置得出a，b，c之间的关系是解题关键.7、C【详解】∵直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE=CD，∵∠A=22.5°，∴∠BOC=45°，∴OE=CE，设OE=CE=x，∵OC=4，∴x2+x2=16，解得：x=2，即：CE=2，∴CD=4，故选C．8、A【分析】利用位似比为1：2，可求得点E的对应点E′的坐标为（2，-1）或（-2，1），注意分两种情况计算．【详解】∵E（-4，2），位似比为1：2，∴点E的对应点E′的坐标为（2，-1）或（-2，1）．故选A．【点睛】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比．注意位似的两种位置关系．9、C【分析】根据函数图象依次计算判断即可得到答案.【详解】∵对称轴是直线x=-1，∴，∴，故①正确；∵图象与x轴有两个交点，∴＞0，故②正确；∵图象的对称轴是直线x=-1，与x轴一个交点坐标是（2,0），∴与x轴另一个交点是（-4,0），∴方程的两根是2和-4，故③正确；∵图象开口向下，∴在对称轴左侧y随着x的增大而增大，∴是抛物线上两点，则<，故④错误，∴正确的有①、②、③，故选：C.【点睛】此题考查二次函数的性质，根据函数图象判断式子的正负，正确理解函数图象，掌握各式子与各字母系数的关系是解题的关键.10、D【分析】根据圆周角定理求出，根据互余求出∠COD的度数，再根据等腰三角形性质即可求出答案．【详解】解：连接OD，，，，，.故选D．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形性质等知识.熟练应用圆周角定理是解题的关键．11、C【分析】连接BC，AB=，BC=，AC=，得到△ABC是直角三角形，从而求解.【详解】解：连接BC，由勾股定理可得：AB=，BC=，AC=，∵∴△ABC是直角三角形，∴故选：C．【点睛】本题考查直角三角形，勾股定理；熟练掌握在方格中利用勾股定理求边长，同时判断三角形形状是解题的关键．12、C【分析】根据比例的性质得出再代入要求的式子，然后进行解答即可．【详解】解：∵，∴a=4b，c=4d，∴，故选C．【点睛】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例线段的性质是解题的关键，是一道基础题．二、填空题（每题4分，共24分）13、＜．【分析】根据反比例函数的增减性即可得出结论．【详解】解：中，-3＜0∴在每一象限内，y随x的增大而增大∵-2＜-1＜0∴＜故答案为：＜．【点睛】本题考查了比较反比例函数值的大小，掌握反比例函数的增减性与比例系数的关系是解题的关键．14、【分析】与相交于点，因为平移，由此求出,从而求得【详解】解：由沿方向平移得到,【点睛】本题考查了平移的性质，以及相似三角形的性质.15、10【分析】本题先根据垂径定理构造出直角三角形，然后在直角三角形中已知弦长和弓形高，根据勾股定理求出半径，从而得解．【详解】如图，设圆心为O，弦为AB，切点为C．如图所示．则AB＝8cm，CD＝2cm．连接OC，交AB于D点．连接OA．∵尺的对边平行，光盘与外边缘相切，∴OC⊥AB．∴AD＝4cm．设半径为Rcm，则R2＝42＋（R−2）2，解得R＝5，∴该光盘的直径是10cm．故答案为：10.【点睛】此题考查了切线的性质及垂径定理，建立数学模型是关键．16、100°【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠D的度数，根据圆周角定理计算即可．【详解】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠B+∠D=180°，

∴∠D=180°-130°=50°，

由圆周角定理得，∠AOC=2∠D=100°，

故答案是：100°．【点睛】考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补、同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．17、5.5【解析】试题分析：在△DEF和△DBC中，，∴△DEF∽△DBC，∴=，即=，解得BC=4，∵AC=1.5m，∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m考点：相似三角形18、【分析】求出相遇前y与x的关系式，确定出甲乙两地的距离，进而求出两车的速度，即可求解．【详解】设AB所在直线的解析式为：y＝kx+b，把（1.5，70）与（2，0）代入得：，解得：，∴AB所在直线的解析式为：y＝-140x+280，令x＝0，得到y＝280，即甲乙两地相距280千米，设两车相遇时，乙行驶了x千米，则甲行驶了（x+60）千米，根据题意得：x+x+60＝280，解得：x＝110，即两车相遇时，乙行驶了110千米，甲行驶了170千米，∴甲车的速度为85千米/时，乙车速度为55千米/时，根据题意得：280﹣55×（280÷85）＝（千米）．则快车到达乙地时，慢车与甲地相距千米．故答案为：【点睛】本题主要考查根据函数图象的信息解决行程问题，根据函数的图象，求出AB所在直线的解析式是解题的关键.三、解答题（共78分）19、（1）；（2）存在，或，理由见解析；（3）或．【分析】（1）将A、C的坐标代入求出a、c即可得到解析式；（2）先求出E点坐标，然后作AE的垂直平分线，与x轴交于Q，与y轴交于Q'，根据垂直平分线的性质可知Q、与A、E，Q'与A、E组成的三角形是以AE为底边的等腰三角形，设Q点坐标(0,x)，Q'坐标(0,y)，根据距离公式建立方程求解即可；（3）根据A、E坐标，求出AE长度，然后推出∠BAE=∠ABC=45°，设，由相似得到或，建立方程求解即可．【详解】（1）将，代入得：，解得∴抛物线解析式为（2）存在，理由如下：联立和，，解得或∴E点坐标为(4,-5)，如图，作AE的垂直平分线，与x轴交于Q，与y轴交于Q'，此时Q点与Q'点的坐标即为所求，设Q点坐标(0,x)，Q'坐标(0,y)，由QA=QE，Q'A=Q'E得：，解得，故Q点坐标为或（3）∵，∴，当时，解得或3∴B点坐标为(3,0)，∴∴，，，由直线可得AE与y轴的交点为(0,-1)，而A点坐标为(-1,0)∴∠BAE=45°设则，∵和相似∴或，即或解得或，∴或．【点睛】本题考查二次函数的综合问题，是中考常见的压轴题型，熟练掌握待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质，以及相似三角形的性质是解题的关键．20、第二周的销售价格为2元．【分析】由纪念品的进价和售价以及销量分别表示出两周的总利润，根据“这批旅游纪念品共获利1250元”等式求出即可．【详解】解：设降低x元，由题意得出：，整理得：，解得：x1=x2=1．∴10－1=2．答：第二周的销售价格为2元．21、9【分析】连接，首先证明是等边三角形，再证明，推出，由此构建方程即可解决问题．【详解】解：连接．在菱形和菱形中，，，是等边三角形，设，则，，，，，，，，，，，或1（舍弃），，【点睛】本题考查相似多边形的性质，等边三角形的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．22、证明见解析【解析】（1）由于CE平分∠BCD，那么∠DCE=∠BCE，而EF∥BC，于是∠OEC=∠BCE，等量代换∠OEC=∠DCE，那么OE=OC，同理OC=OF，等量代换有OE=OF；

（2）由于O是CD中点，故OD=OC，而OE=OF，那么易证四边形DECF是平行四边形，又CE、CF是∠BCD、∠DCG的角平分线，∠BCD+∠DCG=180°那么易得∠ECF=90°，从而可证四边形DECF是矩形．【详解】解：（1）∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，∴∠BCE=∠DCE，∠DCF=∠GCF．∵EF∥BC，∴∠BCE=∠FEC，∠EFC=∠GCF，∴∠DCE=∠FEC，∠EFC=∠DCF，∴OE=OC，OF=OC，∴OE=OF；（2）∵点O为CD的中点，∴OD=OC．又∵OE=OF，∴四边形DECF是平行四边形．∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，∴∠DCE=∠BCD，∠DCF=∠DCG，∴∠DCE+∠DCF=（∠BCD+∠DCG）=90°，即∠ECF=90°，∴四边形DECF是矩形．【点睛】本题主要考查平行线的性质及矩形的判定，证得OE=OF，得出四边形DECF是平行四边形是解题的关键，注意角平分线的应用．23、（1）见解析；（2）；（3）【分析】（1）根据直径所对的圆周角等于90°，可得∠CAB+∠ABC=90°，根据DO⊥AB，得出∠D+∠DAO=90°，进而可得出结果；（2）先证明，得出，从而可得出结果；（3）设OD与圆弧的交点为F，则根据S阴影=S△AOD-S△AOC-S扇形COF求解．【详解】（1）证明：∵是直径，∴，∴．∵，∴．∴．（2）解：∵，∴．∴．而，∴，∴即，∴．（3）解：设OD与圆弧的交点为F，设，则，∵，∴．在中，，∴．∴∠AOC=60°，∴DO=AO=3．又AO=CO，∴△ACO为等边三角形，S阴影=S△AOD-S扇形COF-S△AOC=．【点睛】本题主要考查圆周角定理的推论、圆中不规则图形面积的求法、等腰三角形的性质、等边三角形的性质与判定等知识，掌握基本性质与判定方法是解题的关键．注意求不规则图形的面积时，结合割补法求解．24、见解析【分析】分别求出每一个不等式的解集，将不等式解集表示在数轴上，由两不等式解集的公共部分可得不等式组的解集，即可求得解集内所有整数解．【详解】解：解不等式，得解不等式，得则不等式组的解集为在数轴上表示如下：此不等式组的整数解为，0，1.【点睛】本