山东省烟台市龙口市2022-2023学年高二下学期3月份月考数学试题

高二数学（时间：120分钟，分值：150分）2023.3一､选择题：本题共8.小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.假设，是两个事件，且，，则下列结论一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据条件概率的计算公式和事件的独立性依次讨论求解即可.【详解】解：对于A选项，由，可知，故A选项正确；对于B选项，成立的条件为，是两个独立事件，故错误；对于C选项，由，故当时才有，故错误；对于D选项，由题知，故，即，是两个独立事件时成立，故错误.故选：A2.正八边形的对角线的条数是（）A.20 B.28 C.48 D.56【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用多边形对角线的定义，结合组合的意义列式作答.【详解】正八边形的对角线是连接正八边形的任意两个不相邻顶点的线段，所以正八边形的对角线的条数是.故选：A3.展开式的中间一项的二项式系数为（）A.15 B.20 C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定的二项式，确定展开式的项数即可求出中间一项的二项式系数作答.【详解】的展开式共7项，中间一项是第4项，其二项式系数是.故选：B4.公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.甲同学是个数学迷，他在设置的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个1不相邻，那么甲同学可以设置的不同密码个数为（）A.240 B.360 C.480 D.720【答案】A【解析】【分析】直接利用插空法分两步完成计算得到答案.【详解】先把数字3，4，5，9四个数排列，共有种排列方法，四个数排列产生5个空，把两个1插到5个空里，共有种方法，根据乘法分步原理得共有种.故选：A5.小陈和小李是某公司的两名员工，在每个工作日小陈和小李加班的概率分别为和，且两人同时加班的概率为，则某个工作日，在小李加班的条件下，小陈也加班的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意结合条件概率公式运算求解.【详解】记“小李加班”为事件A，“小陈加班”为事件B，则，故在小李加班的条件下，小陈也加班的概率为.故选：C.6.设是一个离散型随机变量，其分布列为则等于（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据分布列的知识列方程来求得.【详解】依题意，，解得（大于，舍去）或.故选：C7.设，若，则（）A8 B.9 C.10 D.11【答案】D【解析】【分析】根据二项展开式分别求出的表达式，解方程即可求得结果.【详解】由题可知，，所以；同理可得；由可得，即，所以，即，解得.故选：D8.二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，二制数(）对应的十进制数记为，即其中，，则在中恰好有2个0的所有二进制数对应的十进制数的总和为（）A.1910 B.1990 C.12252 D.12523【答案】D【解析】分析】利用等比数列前n项和以及组合数问题可解【详解】根据题意得，因为在中恰好有2个0的有=28种可能，即所有符合条件的二进制数的个数为28．所以所有二进制数对应的十进制数的和中，出现=28次，，…，2，均出现=21次，所以满足中恰好有2个0的所有二进制数对应的十进制数的和为故选：D．二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.随机变量服从两点分布，若，则下列结论正确的有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根据两点分布的定义以及期望，方差的性质即可解出．【详解】因为随机变量服从两点分布，，所以，故，因此，，，所以正确的是ABD．故选：ABD．10.已知事件满足，则（）A.若，则B.若与互斥，则C.若，则与相互独立D.若与相互独立，则【答案】BC【解析】【分析】根据事件的关系以及运算，互斥事件的概率加法公式，独立事件的概率公式，条件概率的概率公式等即可求出．【详解】对A，因为，所以，错误；对B，因为与互斥，所以，正确；对C，因为，所以，而，所以，正确；对D，因为与相互独立，所以与相互独立，所以，，错误．故选：BC.11.现安排甲､乙､丙､丁､戊5名同学参加运动会志愿者服务活动，有翻译､导游､礼仪､司机四项工作可以安排，则以下说法正确的有（）A.若每人都安排一项工作，则不同的方法数为B.若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为C.每项工作至少有1人参加，甲､乙不会开车但能从事其他三项工作，丙､丁､戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是D.如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为【答案】ACD【解析】【分析】对于A，分步乘法计数原理即可判断.对于B、C，利用排列组合的应用，即可判断.对于D，利用分组分配知识即可判断.【详解】对于A，安排5人参加4项工作，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方式，则有种安排方法，故选项A正确.对于B，根据题意，分2步进行分析：先将5人分成4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有种安排方法，故选项B错误.对于C，根据题意，分2种情况需要讨论：①从丙､丁､戊中选出2人开车，②从丙､丁､戊中选出1人开车，则有种安排方法，故选项C正确.对于D，分2步进行分析：先将5人分成3组，有种分组方法，将分好的三组安排翻译､导游､礼仪三项工作，有种安排方法，则这5名同学全部被安排的不同方法数为，故选项D正确.故选：ACD.12.甲､乙两人进行局羽毛球比赛（无平局），每局甲获胜的概率均为.规定：比赛结束时获胜局数多的人贏得比赛.记甲贏得比赛的概率为，假设每局比赛互不影响，则（）A. B.C. D.单调递增【答案】ACD【解析】【分析】要使甲赢得比赛，则甲至少赢局，据此根据独立事件概率计算方法和二项式定理的性质可求，由此可判断ABC，判断和的大小即可判断的单调性，从而判断D．详解】由题意知：要使甲赢得比赛，则甲至少赢局，．∵，又，∴，∴，故C正确；∴，故A正确；，故B错误；∵，∴，又∵，∴，∴，即P(n)单调递增，故D正确．故选：ACD．【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用二项式定理的性质以及独立事件的乘法公式得出，从而由判断选项.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若，则______.【答案】或【解析】【分析】根据组合数的性质得到方程，解得即可；【详解】因为所以或,解得或，经检验成立故答案为：或14.的展开式中含项的系数为__________.【答案】【解析】【分析】由展开式的通项和展开式的通项确定含项的系数.【详解】展开式的通项为.令，则，展开式的通项为，令，则的展开式中含项的系数为.故答案为：15.如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种___________．（以数字作答）【答案】72【解析】【分析】本题考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理，按照颜色的种数进行分为3种颜色和四种颜色依次讨论即可.【详解】按照使用颜色的种类分类，第一类：使用了4种颜色，2,4同色，或3,5同色，则共有(种)，第二类：使用了三种颜色，2,4同色且3,5同色，则共有(种)所以共有48+24=72(种)故答案为：7216.甲､乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每一局比赛都没有平局，且每一局比赛甲赢的概率都是，随机变量表示最终比赛的局数，若，则的最大值为__________.【答案】##【解析】【分析】依题可知，随机变量的取值可能为，再求出对应的概率，即可得到的表达式，然后根据二次函数的性质即可解出．【详解】依题可知，随机变量的取值可能为，，，所以，而，所以当时，的最大值为．故答案为：．四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.求解下列问题：（1）若正整数满足：，求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题设可得且，求解集即可得结果；（2）利用，且，即可得值.【小问1详解】由，即，可得且，所以，又为正整数，故.【小问2详解】由，而，所以18.将4个编号为1、2、3、4的不同小球全部放入4个编号为1、2、3、4的4个不同盒子中.求：（1）每个盒至少一个球，有多少种不同的放法？（2）恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？（3）每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？（4）把已知中4个不同的小球换成四个完全相同的小球（无编号），其余条件不变，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？【答案】（1）24（2）144（3）8（4）12【解析】【分析】利用分步乘法计数原理逐一分析即可求解.【小问1详解】根据题意知，每个盒子里有且只有一个小球，所求放法种数为（种）；【小问2详解】先将4个小球分为3组，各组的球数分别为2、1、1，然后分配给4个盒子中的3个盒子，由分步乘法计数原理可知，所求的放法种数为（种）；【小问3详解】考查编号为1的盒子中放入编号为1的小球，则其它3个球均未放入相应编号的盒子，那么编号为2、3、4的盒子中放入的小球编号可以依次为3、4、2或4、2、3，因此，所求放法种数为（种）；【小问4详解】按两步进行，空盒编号有4种情况，然后将4个完全相同的小球放入其它3个盒子，没有空盒，则只需在4个完全相同的小球所形成的3个空（不包括两端）中插入2块板，由分步乘法计数原理可知，所求的放法种数为（种）.19.已知的展开式的所有项的二项式系数和为512.（1）若，求；（2）求展开式中系数最大的项.【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）由题意，利用二项式系数的性质求得，再利用赋值法求得要求式子的值.（2）设第项系数最大，则，求得的值，可得展开式中系数最大的项.【小问1详解】∵的展开式的所有项的二项式系数和为，∴.∵，∴令，可得，∴再令，可得，即，∴【小问2详解】设第项系数最大，则，求得，∴，故展开式中系数最大的项为.20.《夺冠》这部影片讲述的是中国女排从1981年首夺世界冠军到2016年里约奥运会生死攸关的中巴大战，诠释了几代女排人历经浮沉却始终不屈不挠、不断拼搏的传奇经历.现代排球赛为5局3胜制，每局25分，决胜局15分.前4局比赛中，一队只有赢得至少25分，并领先对方2分时，才胜1局.在第5局比赛中先获得15分并领先对方2分的一方获胜.在一个回合中，赢的球队获得1分，输的球队不得分，且下一回合的发球权属于获胜方.经过统计，甲、乙两支球队在每一个回合中输赢的情况如下：当甲队拥有发球权时，甲队获胜的概率为；当乙队拥有发球权时，甲队获胜的概率为.（1）假设在第1局比赛开始之初，甲队拥有发球权，求甲队在前3个回合中恰好获得2分的概率；（2）当两支球队比拼到第5局时，两支球队至少要进行15个回合，设甲队在第i个回合拥有发球权的概率为.假设在第5局由乙队先开球，求在第15个回合中甲队开球的概率，并判断在此回合中甲、乙两队开球的概率的大小.【答案】（1）（2），甲队开球的概率大于乙队开球的概率【解析】【分析】（1）在前3个回合中甲队恰好获得2分对应的胜负情况为：胜胜负；胜负胜；负胜胜共3种情况，求三种情况的概率之和即可.（2）由与的关系式求得的通项公式，进而得，比较与即可.【小问1详解】在前3个回合中甲队恰好获得2分对应的胜负情况为：胜胜负；胜负胜；负胜胜共3种情况，对应的概率分别记为：、、，；；，所以甲队在前3个回合中恰好获得2分的概率.【小问2详解】由全概率公式可得，，即.易知，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，故.又因为，所以.而在每一个回合中，甲、乙两队开球的概率之和为1，从而可得在此回合中甲队开球的概率大于乙队开球的概率.21.本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租时间不超过两小时免费，超过两个小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人独立来该租车点车租骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过四小时．（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列．【答案】（1）（2）分布列见解析【解析】【分析】(1)先求出甲，乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为,再计算租车费用相同的概率；(2)可能取得值为0，2，4，6，8，分别计算对应的概率，再写出分布列.【小问1详解】由题意得，甲，乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为．记甲、乙两人所付得租车费用相同为事件，则．所以，甲、乙两人所付得租车费用相同的概率为．【小问2详解】设甲、乙两个所付的费用之和为，可能取得值为0，2，4，6，8，，，分布列02468P22.