三年（2022–2024）高考数学真题分类汇编（全国）专题10 数列（原卷版）

专题10数列考点三年考情（2022-2024）命题趋势考点1：等差数列基本量运算2023年全国Ⅰ卷、2024年全国Ⅱ卷2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题2022年高考全国乙卷数学（文）真题2023年高考全国甲卷数学（文）真题2023年高考全国乙卷数学（理）真题2024年高考全国甲卷数学（文）真题2024年高考全国甲卷数学（理）真题2023年高考全国乙卷数学（文）真题高考对数列的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．等差数列、等比数列以选填题的形式为主，数列通项问题与求和问题以解答题的形式为主，偶尔出现在选择填空题当中，常结合函数、不等式综合考查.考点2：等比数列基本量运算2023年全国Ⅱ卷、2023年天津卷2023年高考全国甲卷数学（理）真题2022年高考全国乙卷数学（理）真题2023年高考全国甲卷数学（文）真题2023年高考全国乙卷数学（理）真题考点3：数列的实际应用2024年北京高考数学真题2023年北京高考数学真题2022年新高考全国II卷数学真题2022年高考全国乙卷数学（理）真题考点4：数列的最值问题2022年高考全国甲卷数学（理）真题2022年新高考北京数学高考真题考点5：数列的递推问题（蛛网图问题）2024年高考全国甲卷数学（文）真题2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题2022年新高考浙江数学高考真题2023年北京高考数学真题考点6：等差数列与等比数列的综合应用2022年新高考浙江数学高考真题2022年新高考全国II卷数学真题2024年北京高考数学真题考点7：数列新定义问题2022年新高考北京数学高考真题2024年上海夏季高考数学真题2023年北京卷、2024年北京卷考点8：数列通项与求和问题2024年高考全国甲卷数学（理）真题2024年天津高考数学真题2023年高考全国甲卷数学（理）真题2022年新高考天津数学高考真题考点9：数列不等式2023年天津高考数学真题2023年全国Ⅱ卷、2022年全国I卷考点1：等差数列基本量运算1．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．(1)若，求的通项公式；(2)若为等差数列，且，求．2．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）记为等差数列的前n项和．若，则公差．3．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记为等差数列的前项和．若，则（

）A．25 B．22 C．20 D．154．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（

）A．－1 B． C．0 D．5．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等差数列的前项和为，若，则（

）A． B． C．1 D．6．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（

）A． B． C． D．7．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）记为等差数列的前项和，已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．8．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记为等差数列的前n项和，若，，则.9．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件考点2：等比数列基本量运算10．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（

）．A．120 B．85 C． D．11．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（

）A． B． C．15 D．4012．（2023年天津高考数学真题）已知数列的前n项和为，若，则（

）A．16 B．32 C．54 D．16213．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等比数列的前3项和为168，，则（

）A．14 B．12 C．6 D．314．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为．15．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知为等比数列，，，则.考点3：数列的实际应用16．（2024年北京高考数学真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为，且斛量器的高为，则斗量器的高为，升量器的高为．17．（2023年北京高考数学真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则；数列所有项的和为．18．（2022年新高考全国II卷数学真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（

）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.919．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（

）A． B． C． D．考点4：数列的最值问题20．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）记为数列的前n项和．已知．(1)证明：是等差数列；(2)若成等比数列，求的最小值．21．（2022年新高考北京数学高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件考点5：数列的递推问题（蛛网图问题）22．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等比数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和.23．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.(1)若，求；(2)证明：数列是公比为的等比数列；(3)设为的面积，证明：对任意正整数，.24．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知数列满足，则（

）A． B． C．D．25．（2023年北京高考数学真题）已知数列满足，则（

）A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立C．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立D．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立考点6：等差数列与等比数列的综合应用26．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．(1)若，求；(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．27．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．(1)证明：；(2)求集合中元素个数．28．（2024年北京高考数学真题）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论：①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素；②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素；③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素；④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素.其中正确结论的序号是.考点7：数列新定义问题29．（2022年新高考北京数学高考真题）已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列．(1)判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；(2)若为连续可表数列，求证：k的最小值为4；(3)若为连续可表数列，且，求证：．30．（2024年上海夏季高考数学真题）无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是．31．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列．(1)写出所有的，，使数列是可分数列；(2)当时，证明：数列是可分数列；(3)从中一次任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：．32．（2023年北京高考数学真题）已知数列的项数均为m，且的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集M中最大的数.(1)若，求的值；(2)若，且，求；(3)证明：存在，满足使得．33．（2024年北京高考数学真题）已知集合．给定数列，和序列，其中，对数列进行如下变换：将的第项均加1，其余项不变，得到的数列记作；将的第项均加1，其余项不变，得到数列记作；……；以此类推，得到，简记为．(1)给定数列和序列，写出；(2)是否存在序列，使得为，若存在，写出一个符合条件的；若不存在，请说明理由；(3)若数列的各项均为正整数，且为偶数，求证：“存在序列，使得的各项都相等”的充要条件为“”．考点8：数列通项与求和问题34．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）记为数列的前项和，已知．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和．35．（2024年天津高考数学真题）已知数列是公比大于0的等比数列．其前项和为．若．(1)求数列前项和；(2)设，．（ⅰ）当时，求证：；（ⅱ）求．36．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设为数列的前n项和，已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和．37．（2022年新高考天津数学高考真题）设是等差数列，是等比数列，且．(1)求与的通项公式；(2)设的前n项和为，求证：；(3)求．