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文档简介
【课时训练】直线、平面平行的判定与性质一、选择题1.(2018保定中学1月月考)有下列命题:①若直线l平行于平面α内的无数条直线,则直线l∥α;②若直线a在平面α外,则a∥α;③若直线a∥b,b∥α,则a∥α;④若直线a∥b,b∥α,则a平行于平面α内的无数条直线.其中真命题的个数是()A.1 B.2C.3 D.4【答案】A【解析】命题①:l可以在平面α内,不正确;命题②:直线a与平面α可以是相交关系,不正确;命题③:a可以在平面α内,不正确;命题④正确.故选A.2.(2018滨州模拟)已知m,n,l1,l2表示直线,α,β表示平面.若m⊂α,n⊂α,l1⊂β,l2⊂β,l1∩l2=M,则α∥β的一个充分条件是()A.m∥β且l1∥α B.m∥β且n∥βC.m∥β且n∥l2 D.m∥l1且n∥l2【答案】D【解析】由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行,那么这两个平面平行”可得,由选项D可推知α∥β.故选D.3.(2018台州模拟)设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题中正确的是()A.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥βB.若m⊥n,m⊥α,n∥β,则α∥βC.若m⊥α,m⊥β,则α∥βD.若m∥n,m∥α,n∥β,则α∥β【答案】C【解析】垂直于同一直线的两平面平行,故选C.4.(2018合肥模拟)在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和BC上的点,若AE∶EB=CF∶FB=1∶2,则对角线AC和平面DEF的位置关系是()A.平行 B.相交C.在平面内 D.不能确定【答案】A【解析】如图,由eq\f(AE,EB)=eq\f(CF,FB),得AC∥EF.又因为EF⊂平面DEF,AC⊄平面DEF,所以AC∥平面DEF.5.(2018唐山模拟)若m,n表示不同的直线,α,β表示不同的平面,则下列结论中正确的是()A.若m∥α,m∥n,则n∥αB.若m⊂α,n⊂β,m∥β,n∥α,则α∥βC.若α⊥β,m∥α,n∥β,则m∥nD.若α∥β,m∥α,n∥m,n⊄β,则n∥β【答案】D【解析】在A中,若m∥α,m∥n,则n∥α或n⊂α,故A错误.在B中,若m⊂α,n⊂β,m∥β,n∥α,则α与β相交或平行,故B错误.在C中,若α⊥β,m∥α,n∥β,则m与n相交、平行或异面,故C错误.在D中,若α∥β,m∥α,n∥m,n⊄β,则由线面平行的判定定理,得n∥β,故D正确.6.(2018山东济南模拟)如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中,过A1B1的平面与平面ABC交于DE,则DE与ABA.异面 B.平行C.相交 D.以上均有可能【答案】B【解析】在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1∵AB⊂平面ABC,A1B1⊄平面ABC,∴A1B1∥平面ABC.∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE,∴DE∥A1B1.∴DE∥AB.二、填空题7.(2018河北石家庄质检)设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列四个命题:①若m⊂α,n∥α,则m∥n;②若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ;③若α∩β=n,m∥n,m∥α,则m∥β;④若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β.其中是真命题的是________(填上序号).【答案】②【解析】①,m∥n或m,n异面,故①错误;易知②正确;③,m∥β或m⊂β,故③错误;④,α∥β或α与β相交,故④错误.8.(2018衡水模拟)如图,在四面体ABCD中,M,N分别是△ACD,△BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行的是________.【答案】平面ABC,平面ABD【解析】如图,连接AM并延长交CD于点E,则E为CD的中点.由于N为△BCD的重心,连接BE,所以B,N,E三点共线,且eq\f(EM,MA)=eq\f(EN,NB)=eq\f(1,2).所以MN∥AB.于是MN∥平面ABD且MN∥平面ABC.9.(2018北京海淀区模拟)在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为6的正三角形,SA=SB=SC=15,平面DEFH分别与AB,BC,SC,SA交于点D,E,F,H,D,E分别是AB,BC的中点,如果直线SB∥平面DEFH,那么四边形DEFH的面积为________.【答案】eq\f(45,2)【解析】如图,取AC的中点G,连接SG,BG.易知SG⊥AC,BG⊥AC,故AC⊥平面SGB,所以AC⊥SB.因为SB∥平面DEFH,SB⊂平面SAB,平面SAB∩平面DEFH=HD,则SB∥HD.同理SB∥FE.又D,E分别为AB,BC的中点,则H,F也为AS,SC的中点,从而得HF綊eq\f(1,2)AC綊DE,所以四边形DEFH为平行四边形.又AC⊥SB,SB∥HD,DE∥AC,所以DE⊥HD.所以四边形DEFH为矩形,其面积S=HF·HD=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AC))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)SB))=eq\f(45,2).10.(2018江西六校联考)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱BC,CC1的中点,P是侧面BCC1B1内一点,若A1P∥平面AEF,则线段A1P【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4),\f(\r(5),2)))【解析】取B1C1的中点M,则A1M∥AE;取BB1的中点N,则MN∥EF,∴平面A1MN∥平面AEF.若A1P∥平面AEF,只需P∈MN,则P位于MN中点时,A1P最短;当点P位于M或N时,A1P最长.不难求得A1P的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4),\f(\r(5),2))).三、解答题11.(2018咸阳模拟)如图所示,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠ABC=eq\f(π,4),OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点,N为BC的中点.(1)求四棱锥O-ABCD的体积;(2)证明:直线MN∥平面OCD.(1)【解】∵OA⊥底面ABCD,∴OA是四棱锥O-ABCD的高.∵四棱锥O-ABCD的底面是边长为1的菱形,∠ABC=eq\f(π,4),∴底面面积S菱形ABCD=eq\f(\r(2),2).∵OA=2,∴体积VO-ABCD=eq\f(\r(2),3).(2)【证明】取OB的中点E,连接ME,NE.∵ME∥AB,AB∥CD,∴ME∥CD.又∵NE∥OC,∵ME∩EN=E,CD∩OC=C,∴平面MNE∥平面OCD.∵MN⊂平面MNE,∴MN∥平面OCD.12.(2018长春质检)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是BC,CC1,C1D1,A1(1)BF∥HD1;(2)EG∥平面BB1D1D;(3)平面BDF∥平面B1D1H.【证明】(1)如图所示,取BB1的中点M,连接MH,MC1,易证四边形HMC1D1是平行四边形,∴HD1∥MC1.又∵MC1∥BF,∴BF∥HD1.(2)取BD的中点O,连接EO,D1O,则OE綊eq\f(1,2)DC,又D1G綊eq\f(1,2)DC,∴OE綊D1G.∴四边形OEGD1是平行四边形.∴GE∥D1O.又GE⊄平面BB1D1D,D1O⊂平面BB1D1D,∴EG∥平面BB1D1D.(3)由(1),知BF∥HD1,又BD∥B1D1,B1D1,HD1⊂平面B1D1H,BF,BD⊂平面BDF,且B1D1∩HD1=D1,DB∩BF=B,∴平面BDF∥平面B1D1H.13.(2018广东七校联考)如图所示,在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,PA⊥AC,AB⊥BC,设D,E分别为PA,AC的中点.(1)求证:DE∥平面PBC.(2)在线段AB上是否存在点F,使得过三点D,E,F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行?若存在,指出点F的位置并证明;若不存在,请说明理由.【证明】(1)∵点E是AC的中点,点D是PA的中点,∴DE∥PC.又∵DE⊄平面PBC,PC⊂平面PBC,∴DE∥平面PBC.(2)当点F是线段AB中点时,过点D,E,F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行.证
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