专题8.8立体几何中角与距离的向量求法2

专题8.8立体几何中角与距离的向量求法【核心素养】以几何体为载体，考查空间线面的平行、垂直关系，考查空间角的函数值的计算，确定几何体中线段长度、各种距离的大小，凸显直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养．知识点知识点一异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，则a′与b′所夹的锐角或直角叫做a与b所成的角．②范围：两异面直线所成角θ的取值范围是．③向量求法：设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为φ，则有.知识点知识点二直线与平面所成角直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝eq\f(|e·n|,|e||n|).范围.知识点知识点三二面角(1)如图1，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．(2)如图2、3，分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小(或)．（3）二面角的范围是[0，π].知识点知识点四利用向量求空间距离点面距的求法：如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离d＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·n|,|n|).常考题型剖析常考题型剖析题型一：求异面直线所成的角【典例分析】例11．【多选题】（2023·福建龙岩·统考二模）如图，已知平面，，，为的中点，，则（

）A． B．C．平面 D．直线与所成角的余弦值为例12.（2023秋·上海黄浦·高三上海市敬业中学校考开学考试）如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，，，E、F分别为棱PD、PA的中点．(1)求证：平面PBC；(2)求异面直线PB与AE所成的角．【规律方法】1.向量法求两异面直线所成角的步骤(1)选好基底或建立空间直角坐标系；(2)求出两直线的方向向量v1，v2；(3)代入公式|cos〈v1，v2〉|＝eq\f(|v1·v2|,|v1||v2|)求解．2.提醒：两异面直线所成角θ的范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当两异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是这两条异面直线所成的角；当两异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是两异面直线所成的角．【变式训练】变式11.【多选题】（2023春·云南曲靖·高三校联考阶段练习）如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（

）A．当在平面上运动时，三棱锥的体积为定值B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是C．若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是D．使直线与平面所成的角为的点的轨迹长度为变式12.（2023·海南·统考模拟预测）如图，四棱锥内接于圆柱，为的中点，和为圆柱的两条母线，，四边形为正方形，平面与平面的交线平面，当四棱锥的体积最大时，异面直线与所成角的余弦值为．题型二：求直线与平面所成角例21.（2022·全国·高考真题（理））在四棱锥中，底面．(1)证明：；(2)求PD与平面所成的角的正弦值．例22.（2021·浙江高考真题）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【总结提升】利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．【变式训练】变式21.（2023秋·江西南昌·高三南昌县莲塘第一中学校考阶段练习）如图所示，四棱锥的底面为正方形，顶点P在底面上的射影为正方形的中心为侧棱的中点．(1)求证：平面；(2)若，四棱锥的体积为，求与平面所成角．变式22.（2022·浙江·高考真题）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值．题型三：求二面角【典例分析】例31.（2023·全国·统考高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．(1)证明：；(2)点F满足，求二面角的正弦值．例32.（2021·全国·高考真题（理））已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．（1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?【规律方法】利用向量法计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小．但要注意结合实际图形判断所求角的大小．(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．【变式训练】变式31.（2021·天津高考真题）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．（I）求证：平面；（II）求直线与平面所成角的正弦值．（III）求二面角的正弦值．变式32.（2021·全国·高考真题（理））如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．题型四：利用向量求空间距离例41.（2023·全国·高三专题练习）已知正方体的棱长为1，点E、O分别是、的中点，P在正方体内部且满足，则下列说法错误的是（

）A．点A到直线BE的距离是 B．点O到平面的距离为C．平面与平面间的距离为 D．点P到直线AB的距离为例42.（2023·全国·高三专题练习）直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点．(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面的距离．例43.（2022·全国·高考真题）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．(1)求A到平面的距离；(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．【总结提升】1.点到平面的距离，利用向量法求解比较简单，它的理论基础仍出于几何法.2.利用法向量求解空间线面角、面面角、距离等问题，关键在于“四破”：①破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；②破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；③破“求法向量关”，求出平面的法向量；④破“应用公式关”．【变式训练】变式41.（2023·全国·高三专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．直线到平面的距离为（

）．A． B． C． D．变式42.（2023秋·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第一中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为2的正三角形，平面平面，.(1)求证：平行四边形为矩形；(2)若为侧棱的中点，且点到平面的距离为，求平面与平面所成角的余弦值.变式43.（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，、、分别是、、的中点．求：(1)直线与平面的距离；(2)平面与平面的距离．一、单选题1．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）如图，在正方体中，P为棱AD上的动点．给出以下四个命题：①；②异面直线与所成角的取值范围为；③有且仅有一个点P，使得平面；④三棱锥的体积是定值．其中真命题的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题2．（2023·河北秦皇岛·校联考模拟预测）如图，棱长为2的正方体中，，，，，则下列结论中正确的是（

）A．存在y，使得B．当时，存在z使得∥平面AEFC．当时，异面直线与EF所成角的余弦值为D．当时，点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的2倍3．（2023秋·福建莆田·高三莆田一中校考阶段练习）在棱长为4的正方体中，点分别是棱的中点，则（

）A．B．平面C．平面平面D．点到平面的距离为4．（2023秋·河南焦作·高三统考开学考试）如图所示，在棱长为2的正方体中，P是线段上的动点，则下列说法正确的是（

）A．平面平面ABCDB．存在点P，使C．存在点P，使直线与所成角的余弦值为D．存在点P，使点A，C到平面的距离之和为35．（2023·全国·高三专题练习）如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（含端点），则下列说法正确的是（

）A．存在点，使得B．存在点，使得异面直线与所成的角为C．三棱锥体积的最大值是D．当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大三、填空题6．（2023秋·浙江绍兴·高三浙江省上虞中学校考开学考试）卢浮宫金字塔位于巴黎卢浮宫的主院，是由美籍华人建筑师贝聿铭设计的，已成为巴黎的城市地标.卢浮宫金字塔为正四棱锥造型，该正四棱锥的底面边长为，高为，若该四棱锥的五个顶点都在同一个球面上，则球心到该四棱锥侧面的距离为.四、解答题7.（2022·北京·统考高考真题）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．(1)求证：平面；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．8．（2023·全国·统考高考真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．(1)证明：；(2)点在棱上，当二面角为时，求．9.（2023·全国·统考高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.(1)证明：平面；(2)证明：平面平面BEF；(3)求二面角的正弦值.10.（2022·全国·高考真题）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．(1)证明：平面；