《2.3二次函数与一元二次方程、不等式》应试拓展

高中数学精编资源2/2《二次函数与一元二次方程、不等式》应试拓展拓展1含参数的一元二次不等式的解法求解含参数的一元二次不等式要分类讨论,如当二次项系数含参数时,以二次项系数与0的大小关系确定分类标准.二次项系数含参数常用“两分法”【例1】解关于x的不等式ax2−(a+1)x+1<0,a∈R.分析:最高次项系数含参数用“两分法”;一元二次不等式能因式分解时,常根据对应一元二次方程根的大小分类.解:二次项系数含参数分以下情况讨论:(1)当a=0时,原不等式变为−x+1<0,解得x>1.(2)当a≠0时,原不等式变为(ax−1)(x−1)<0.(*)①当a<0时,(*)变为,解不等式,得或.②当时,变为.(**)∵当时,,解得;当时,,此时无解,当时,,解得.综上,当时,不等式的解集是或;当时,不等式的解集是当时,不等式的解集是;当时,不等式的解集是;当时,不等式的解某是.【关键方法】二次项含参数的一元不等式求解采用两级分类:第一级:二次项系数的正、负、零的分类讨论;第二级:二次项系数不为0的前提下,借助∆与0的大小讨论或相应一元二次方程两根的大小讨论.解本题时分类应做到使所给参数a的集合的并集为R,交集为空集,只有这样才能达到“既不重复又不遗漏”,即分类完备.另外,还要注意在讨论a<0时,解一元二次不等式ax2−(a+1)x+1<0应首先做到将二次项系数变为正数再求解.借助对应一元二次方程根的大小或判别式合理分类求解一元二次不等式时,若能求出对应方程的两根,则直接写出不等式的解集,但两根中含有参数时,需对两根的大小进行讨论.【例2】解关于的不等式.分析:先求出方程x2−(a+a2)x+a3=0的根,然后写出不等式的解集,但由于方程的根含有字母a,故需比较两根的大小,从而需要分类讨论.解:原不等式可化为.(1)当(即或)时,不等式的解集为或;(2)当(即)时,不等式的解集为或;(3)当(即或1)时,不等式的解集为且.拓展2与一元二次不等式有关的恒成立问题方法一:两分法与一元二次不等式有关的恒成立问题,以二次项系数为分类标准,采用“两分法”进行研究,借助对应二次函数的图象和性质,寻求思路的切入点.方法二:分离常数法与一元二次不等式有关的恒成立问题,常分离出常数a,转化为一元二次不等式的最值问题来求解.【例3】若在上恒成立,则实数的取值范围为[__].解析:恒成立,研究二次项系数为0的情况与二次项系数大于0的情况,即或解得.答案:【例4】已知对任意恒成立,求实数a的取值范围[__].解:对任意恒成立在上值成立.令,则,所以.所以实数a的取值范围为.拓展3高次(或分式)不等式的解法解高次(或分式)不等式,通常要根据不等式的性质进行同解变形,即不等号的左侧为高次整式,右侧为0,再对左侧进行因式分解.解高次不等式主要使用“等价转化成不等式组”或“序轴标根法”分类求解.“序轴标根法”.(也称“穿针引线法”)的一般步骤:1.将不等式中含x的最高次项的系数化为正数;2.将不等式分解为若干个最简因式乘积的形式;3.自数轴正方向起,用曲线从右至左、自上而下依次由各解穿过数轴(注意重根情况,偶次方根穿而不过,奇次方根既穿又过);4.记数轴上方为正,下方为负,根据不等号写出解集.这种方法的本质是“列表讨论法”和“区间分类讨论”的简化及浓缩提炼.分式不等式可以转化为高次不等式(注意分母不为0).对分式不等式,要根据∙同解变形转化.对,可先移项、通分,化为的形式.【例5】解不等式.分析:分式不等式的求解方法:一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子、分母因式分解,并使每一个因式中最高次项的系数为正,有时需讨论根的大小关系,最后用“序轴标根法”求解.解:移项并整理,将原不等式化为.由恒成立,知原不等式等价于,即,把方程的三个根顺次标在序轴上,然后从右上方开始画线顺次经过三个根,其解集如图中的影部分所示,所以原不等式的解集为或.【例6】若,解关于的不等式.解:同解于.先确定根,需研究3个根