北师大版初中八年级数学上册第一章勾股定理3勾股定理的应用课件

3勾股定理的应用第一章勾股定理基础过关全练知识点1确定立体图形上的最短距离1.(2024河南驻马店月考)如图,一圆柱体的底面周长为24cm,

高AB为9cm,BC是底面直径,一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体

的表面爬行到点C的最短路程是

(

)A.10cmB.12cmC.15cmD.17cmC解析圆柱侧面展开图如图所示,连接AC,则AB=CD=9cm,BC=

×24=12(cm),

∴AC2=122+92=225=152,∴AC=15cm,故选C.2.如图所示,正方体的棱长为1,一只蜘蛛从正方体的一个顶

点A爬行到另一个顶点B,则蜘蛛爬行的最短距离的平方是

(

)A.2

B.3

C.4

D.5D解析将正方体的前面、上面展开放在同一平面上,连接

AB,如图所示,爬行的最短距离为线段AB的长.由勾股定理得

AB2=(1+1)2+12=5,故选D.

3.(2024广东佛山禅城期中)如图,要为一段高BC为5米,长AC

为13米的楼梯铺上红地毯,至少需要红地毯(

)米.

A.17

B.13

C.12

D.5

A解析根据勾股定理可得AB2=AC2-BC2=144,∴AB=12米,∴至少需要红地毯12+5=17米,故选A.4.(新独家原创)母亲节时,小颖送给妈妈的礼物用一个长方

体盒子装着,为了外表看着更美观,她让服务员将一根金线从

点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B,已知长方体的底面

相邻边的长为40cm和20cm,高为50cm.若忽略接头,则最少

需要金线

cm.

130解析将长方体侧面展开,连接AB',

根据两点之间线段最短,可知线段AB'的长即为缠绕一圈所

需最少金线的长度.利用勾股定理得AB'2=502+(40+20+40+20)2=16900=1302,所以AB'=130cm.故答案为130.5.(最短路径模型)如图,一只蚂蚁从棱长为6cm的正方体纸

盒的顶点A处沿纸盒表面爬到点B处.已知BC=2cm,求蚂蚁爬

行的最短距离是多少.

解析将正方体纸盒上方的面展开,连接AB,如图,

∵AD=CD=6cm,BC=2cm,∴BD=CD+BC=6+2=8(cm).在Rt△ABD中,AB2=AD2+BD2=62+82=100,∴AB=10cm.故蚂蚁爬行的最短距离是10cm.方法归纳

求立体图形上两点间的最短距离,先把立体图形

展开成平面图形,再确定两点的位置并连线,最后构造直角三

角形,利用勾股定理解决问题.知识点2勾股定理在实际问题中的应用6.(情境题·数学文化)在我国古代数学名著《算法统宗》里

有一道“荡秋千”的问题:“平地秋千未起,踏板一尺离地.

送行二步与人齐,五尺人高曾记.仕女佳人争蹴,终朝笑语欢

嬉.良工高士素好奇,算出索长有几?”译文:“有一架秋千,当

它静止时,踏板离地1尺,将它往前推送10尺(水平距离)时,秋

千的踏板就和身高为5尺的人一样高,秋千的绳索始终是拉

直的,试问绳索有多长?”设绳索长为x尺,则所列方程为(

)A.x2=102+(x-5-1)2B.x2=(x-5)2+102C.x2=102+(x+1-5)2D.x2=(x+1)2+102解析如图,根据题意可列方程为x2=102+(x+1-5)2,故选C.

C7.(情境题·科学研究)(2022陕西西安铁一中学期中)如图所示,

有一个由传感器控制的灯A,要装在门上方离地高4.5m的墙

上,任何东西只要移至距该灯5m及5m以内时,灯就会自动发

光.一个身高1.5m的学生走到离墙多远的地方时,灯刚好自

动发光?

(

)A.4mB.3mC.5mD.7mA解析当学生走到点D的位置,头顶C与点A的距离是5m时,

灯刚好自动发光.如图,作CE⊥AB于E,由题意可知BE=CD=1.5m,AE=AB-BE=4.5-1.5=3m,AC=5m.在Rt△ACE中,CE2=AC2-AE2=52-32=16,∴CE=4m.故这名学生走到离墙4m远的地方时,灯刚好自动发光,故选A.8.(新考向·项目式学习试题)(2023山东济南期末)某初中数学

小组欲测量吊车起重臂顶端与地面的距离,下面是他们设计

的项目课题,请你根据下面的表格计算:吊车起重臂顶端A到

地面的距离AF的长.项目名称测量吊车起重臂顶端与地面的距离对象简介吊车作业是通过液压杆CD的伸缩使起重臂AB绕点B转动,从而使得起重臂进行升降作业(起重臂AB的长度也可以伸缩)操作示意图

操作数据起重臂AB=10米,点B到地面的距离BE=1.8米,钢丝绳所在直线AF垂直于地面于点F,点B到AF的距离BG=8米(提示:四边形BEFG是长方形,BE=FG)解析在Rt△ABG中,AG2=AB2-BG2=102-82=36.∴AG=6.∵FG=BE=1.8,∴AF=AG+GF=6+1.8=7.8(米).答:点A到地面的距离AF的长为7.8米.9.如图,∠AOB=90°,OA=180cm,OB=60cm,一机器人在B处看

见一个小球从点A出发,沿着AO匀速滚向点O,机器人立即从

点B出发,沿着直线BC匀速前进拦截小球,恰好在点C处截住

了小球.如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等,那么

机器人行走的路程BC是多少?

解析∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等,运动时

间相等,∴BC=CA,设AC=xcm,则OC=(180-x)cm,在Rt△OBC中,OB=60cm,由勾股定理可知OB2+OC2=BC2,∴602+(180-x)2=x2,解得x=100.故机器人行走的路程BC是100cm.10.(情境题·数学文化)(2020四川巴中中考,8,★★☆)《九章

算术》是我国古代数学的经典著作,书中有一个“折竹抵

地”问题(如图):“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折

者高几何?”意思是:一根竹子,原来高一丈(一丈为十尺),虫

伤有病,一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离原竹子根部三尺远,问:原竹子处还有多高的竹子?

(

)

能力提升全练A.4尺

B.4.55尺

C.5尺

D.5.55尺B解析设竹子折断处离地面x尺,则直角三角形的斜边长为(10-x)尺,根据勾股定理得x2+32=(10-x)2,解得x=4.55.所以原竹子处还有4.55尺高的竹子.故选B.方法归纳分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或

方程组,通过解方程或方程组,使问题得以解决.本题是根据

勾股定理建立方程模型,体现了数学中的方程思想.11.(2024广东茂名高州十二校联考期中,14,★★☆)如图,圆

柱的底面半径为

cm,高为18cm,点A,B分别是圆柱两底面圆周上的点,且A、B在同一母线上,用一棉线从点A顺着圆柱

侧面绕3圈到点B,则棉线最短为

cm.30解析圆柱的侧面展开图如图所示:

用一棉线从点A顺着圆柱侧面绕3圈到点B的最短路线是AC

→C'D→D'B,即在圆柱的侧面展开图中,将长方形平均分成3

个小长方形,∴棉线从点A沿着3个长方形的对角线绕到点B

的路线最短.∵圆柱的底面半径为

cm,∴圆柱的底面周长为2π×

=8(cm),即侧面展开图的宽为8cm.又∵圆柱的高为18cm,∴小长方形的一条边长是18÷3=6(cm).根据勾股定理求得AC=C'D=BD'=10(cm),∴AC+C'D+D'B=30cm,故答案为30.12.(情境题·数学文化)(2024四川成都七中育才学校期中,13,

★★☆)《九章算术》是古代东方数学代表作,书中记载:今

有开门去阃(读kǔn,门槛的意思)一尺,不合二寸,问门广几

何?题目大意是:如图(图2为图1的平面示意图),推开双门,双

门间隙CD的距离为2寸,点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺

=10寸),则AB的长是

寸.

101解析取AB的中点O,过D作DE⊥AB于E,如图所示:

由题意得OA=OB=AD=BC,设OA=OB=AD=BC=r寸,则AB=2r寸,由题意得DE=10寸,OE=

CD=1寸,∴AE=(r-1)寸.在Rt△ADE中,AE2+DE2=AD2,即(r-1)2+102=r2,解得r=50.5,∴2r=101,∴AB=101寸.故答案为101.13.(2023四川广安中考,15,★★★)如图,圆柱形玻璃杯的杯

高为9cm,底面周长为16cm,在杯内壁离杯底4cm的点A处有

一滴蜂蜜,此时,一只蚂蚁正好在杯外壁上,它在离杯上沿1cm,且与蜂蜜相对的点B处,则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走

的最短路程为

cm.(杯壁厚度不计)

10解析如图,将玻璃杯侧面展开(展开图的一半),作B关于直

线EF的对称点B',作B'D⊥AE,交AE延长线于点D,连接AB'.

由题意得DE=

BB'=1cm,AE=9-4=5(cm),∴AD=AE+DE=6cm,∵底面周长为16cm,∴B'D=

×16=8(cm),在Rt△AB'D中,有AB'2=AD2+B'D2=100,∴AB'=10cm.由两点之间线段最短可知,蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的

最短路程为10cm,故答案为10.14.(教材变式·P15T4)(2023陕西咸阳实验中学月考,23,★★

☆)如图所示的是放在地面上的一个长方体盒子,其中AB=9cm,BC=6cm,BF=5cm,点M在棱AB上,且AM=3cm,点N是FG

的中点,一只蚂蚁要沿着长方体盒子的外表面从点M爬行到

点N,它需要爬行的最短路程是多少?(盒子底面蚂蚁无法到

达)

解析如图1所示,将上底面向前展开,连接MN,蚂蚁爬行的

最短路程显然为线段MN的长.∵AB=9cm,BC=GF=6cm,BF=5cm,∴BM=AB-AM=9-3=6(cm),BN=BF+FN=BF+

FG=5+3=8(cm).在Rt△BMN中,有MN2=BM2+BN2=62+82=100.

如图2所示,将右侧面向前展开,连接MN,蚂蚁爬行的最短路

程显然为线段MN的长.过N作NP⊥BC于P.∵AB=9cm,BC=GF=6cm,BF=5cm,∴PM=9-3+3=9(cm),NP=5cm.在Rt△MPN中,有MN2=PM2+PN2=92+52=106.∵100<106,∴图1中的爬行路程最短.∵102=100,∴MN的最小值是10cm,∴蚂蚁需要爬行的最短路程是10cm.15.(运算能力)(分类讨论思想)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5cm,AC=3cm,动点P从B出发沿射线BC以2cm/s的速

度运动,设运动时间为ts.(1)当t=

时,AP平分△ABC的面积.(2)当△ABP为等腰三角形时,求t的值.(3)若点E、F分别为BC、AB上的动点,请直接写出AE+EF的

最小值.

素养探究全练解析

(1)∵∠ACB=90°,AB=5,AC=3,∴BC2=AB2-AC2=52-32=16,∴BC=4.当BP=CP时,AP平分△ABC的面积,即BP=2t=

BC=2,∴t=1,则当t=1时,AP平分△ABC的面积.故答案为1.(2)分三种情况:①如图1,AP=PB,由题意