2021-2022学年山西省运城市九年级（上）期末数学试卷（解析版）

2021-2022学年山西省运城市九年级第一学期期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每个小题给出的四个选项中,

只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1.方程X（X-2）=x的根是（）

A.x=0B.x=2C.为=0,X2=2D.XI=0,X2=3

2.将抛物线y=2/+l向左平移2个单位，向上平移3个单位后得到的抛物线表达式为（）

A.y=2(x-2)2+4B.y=2(x+2)2+4

C.y=2(x-2)2-2D.y=2(x+2)2-2

3.在RtZVLBC中，ZC=90°,若sinA=*^,则cosA的值为()

A.—B.—C.—D.—

1213313

4.如图，AABC和△A5C是以点。为位似中心的位似图形，若OA：04=1：2,则△4世

与△AB'C的周长比为（）

C.1：2D.1：9

5.某超市一月份的营业额为50万元，到三月底营业额累计为500万元.如果设平均每月的

增长率为x,依题意得，可列出方程为（）

A.50（1+x）2=500

B.50（1+x）3=500

C.50（1+x）2=450

D.50+50（1+x）+50（1+x）2=500

6.如图，直线/|〃/2〃〃，直线m〃与这三条直线分别交于点A,B,C和点E,F,F,若

AB：BC=5：3,贝D：DF等于()

b

8C.3：5D.8：11

7.点A(-3,yi),B(1,”)，C(3,”）在反比例函数的图象上，则片,

x

y3的大小关系是)

A.y2>y3>y\B.y\>y3>y2C.y2>yi>y\D.y3>y\>yi

8.某三棱柱的三种视图如图所示，已知俯视图中tanB=/,S3c=7,下列结论中：①主

视图中〃?=3；②左视图矩形的面积为18；③俯视图NC的正切值为段.其中正确的个数

O

左视图

C.1个D.0个

9.已知抛物线y=a%2+bx+c（aWO）的对称轴为直线x=l,与x轴的一个交点坐标为A（3,

0）,其部分图象如图所示，下列结论中：①％<0；②62-4ac>0；③抛物线与x轴的

另一个交点的坐标为（-1,0）;④方程ax1+bx+c=｝有两个不相等的实数根.其中正

确的个数为（）

C.3个D.4个

10.如图，在矩形ABC。中，AB=5,点E是BC上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点8

落在矩形ABC。的内部点F处，^tanZDAF=|则座的长为<）

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11.若a是锐角且sina=返，则a的度数是

2

12.一个盒子中装有标号为1,2,3,4的四个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸

出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为.

13.我们把宽与长的比为黄金比（叵1）的矩形称为黄金矩形，如图，在黄金矩形ABCZ）

2

中，AB<BC,BC=2,N4BC的平分线交A。边于点E,则OE的长为.

14.如图，有一矩形养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙足够长），另三边用16米的长篱笆围

成，则矩形A8C。面积的最大值是

15.如图，在△ABC中，AB=\4,AC=10,点。是BC上一点，点M是BA延长线上一点,

4

已知tan/CAM=±,ND4B=45°,则AO的长为

3

三、解答题(本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤)

16.(1)计算：&sin45°+2cos30°+|1-tan60°|.

(2)解方程：(x+3)2—2x+6.

17.如图，在平行四边形ABC。中，对角线AC的垂直平分线分别交AO,3c于点E,F,

所与AC相交于点0,连接AF,CE.

(1)求证：四边形4EC尸是菱形；

(2)已知sin/ACF=返，CF=5,AB=6,请你直接写出sinB的值.

5

18.某“综合与实践”小组开展了测量运城北站关公铜像高度的实践活动，他们设计了两个

测量方案如下表.经过老师与小组利用课余时间实地考察放弃了方案一，采用了方案二,

他们在铜像底部所在的平地上选取两个不同的测点，分别测量了铜像顶端的仰角以及这

两个测点之间的距离.为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的

距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果填入表格，测量数据如下表.

课题测量公关铜像的高度

成员组长：XXX,组员：XXX,XXX,XXX

工具侧倾器，皮尺等

设计方案说明：线段A8表示铜像，线段CQ表

方案示侧倾器，8的高度为1.1米，点E

测量在A8上，点A,B,C,D,E在同一

示平面内.需要测量的数据有BC的距

意图离，倾斜角BC的距离，倾斜角/4DE

的度数.

方案说明：线段表示铜像，线段C。，

EG表示侧倾器，CO,FG的高度为1.1

测量米，点E在上，点A,B,C,D,

示E,F,G在同一平面内.需要测量的

意图数据有CF的距离，倾斜角ZADE,Z

AGE的度数.

实施方案ZADE的平均值2AGE的平均值CF的平均值

方案二的28.5°45°10米

测量

数据

(1)“综合与实践”小组为什么放弃方案一，你认为原因可能是什么？(写出一条即可)

(2)请你根据他们的测量数据计算关公铜像的高度.

(参考数据：sin28.5°g0.48,cos28.5°弋0.88,tan28.5°弋巨)

19.如图，一次函数y\=x+b与反比例函数”=区交于点A(1,a),D(-4,1),与y

x

轴，x轴分别交于点8,C.

(1)求反比例函数的表达式；

(2)作AELy轴于点E,连接。区求△ADE的面积；

(3)根据图象请直接写出当%＞丫2时，x的取值范围.

y

20.某经销商经销一种封面为建党100周年的笔记本，每本进价为3元，按每本5元出售，

每天可售出30本.调查发现这种笔记本销售单价每提高1元，每天的销售量就会减少3

本.

（1）当销售单价定为多少元时，该经销商每天销售这笔记本的销售利润为105元？

（2）当销售单价定为多少元时，才能使该经销商每天销售这种笔记本所得的利润最大？

最大利润是多少元？

庆祝中OR共产梵成=100厢年

TZofC'tttw

21.阅读与思考

阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：

学习了反比例函数的性质后，希望学习小组又进行了深入的探究，发现：如果在双曲线

上任取两点，过这两点分别向两坐标轴垂线（垂足不同时在x或y轴上），那么垂足的

连线和这两点的连线平行.如图1,点48是反比例函数y=K0¥0）在第一象限图

X

象上的两点，作AOLy轴于点O,工轴于点C,连接8,则A8〃CO；如图2,点

A,B是反比例函数y=K（ZW0）在第一象限图象上的两点，作ACx轴于点。，D,

x

BC_Ly轴于点C,连接CD则AB〃CD.在老师指导下希望学习小组进行严格推理，证

明这一结论是正确的.

【结论应用】

任务：（1）如图2,若与8C交于点E,CE：BE=l：2.

①黑的值为______.

AB

②若△ABE的面积为6,则四边形OCEO的面积为.

（2）智慧学习小组利用上述结论又进行了新的探究，如图3,直线EF与反比例函数y

=—(ZWO)的图象交于A,B两点，点A在点B的上方，与X,y轴分别交于点E,F,

x

则得到这一结论.

下面是该结论的部分证明：

证明：作ACy轴于点Q,BCLx轴于点C,连接CD,

贝|JAB〃C£>,BC//DE.

：.NDEA=NCBF,四边形EDCB是平行四边形.

仔细阅读上面的证明过程，按照上面的证明思路，请你补充完整.

图I图2图3

22.综合与实践

如图1,在综合实践课上，老师让学生用两个等腰直角三角形进行图形的旋转探究.在

RtZXABC中，ZBAC=90°,AB=AC,在RtZ\AMN中，NMAN=90°,4M=AM点

M,N分别在AC,AB边行，直角顶点重合在一起，将RtZXAMN绕点A逆时针旋转，设

旋转角NMAC=a,其中0°<a<90°.

(1)当点M落在BC上时，如图2：

①请直接写出的度数为(用含a的式子表示)；

o

②若lana=—,AC=1,求AM的长；

4

(2)如图3,连接BN,CM,并延长CM交BN于点E,请判断CE与BN的位置关系，

并加以证明；

(3)如图4,当/8AC与NMAN是两个相等钝角时，其他条件不变，即在△ABC与4

AMN中，AB=AC,AM=AN,NMAN=NBAC=B，NM4C=a,则NCEN的度数为

(用含a或0的式子表示).

23.综合与探究

如图，直线丁=-"|"X+4与x轴，y轴分别交于8,C两点，抛物线了=底+去:+6经过8,

oo

C两点，与X轴的另一个交点为A(点4在点8的左侧)，抛物线的顶点为点。.抛物

线的对称轴与x轴交于点E.

(1)求抛物线的表达式及顶点。的坐标；

(2)点M是线段8c上一动点，连接。M并延长交x轴交于点凡当FM：FD=l：4

时，求点何的坐标；

(3)点P是该抛物线上的一动点，设点尸的横坐标为，小试判断是否存在这样的点P,

使/PAB+/BCO=90°,若存在，请直接写出，"的值；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每个小题给出的四个选项中，

只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑)

1.方程x(x-2)=x的根是()

A.x=OB.x—2C.xi=0,X2—2D.箱=0,及=3

【分析】利用因式分解法的步骤把原方程变形为x(x-3)=0,再根据x-3=0或x=0,

即可求出答案.

解：x(x-2)=x,

x(x-2)-x=0,

x(x-3)=0,

x-3=0或x=0,

解得：%i=3,X2=0；

故选：D.

2.将抛物线y=2x2+1向左平移2个单位，向上平移3个单位后得到的抛物线表达式为()

A.y=2(x-2)2+4B.y=2(x+2)2+4

C.y=2(x-2)2-2D.y=2(x+2)2-2

【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式.

解：抛物线丫="+1向左平移2个单位，向上平移3个单位后得到的抛物线表达式为：

y=2(x+2)2+3+1,即y=2(x+2)2+4.

故选:B.

3.在Rt^ABC中，NC=90°,若sinA=-^,则cosA的值为()

xo

A.—B.—C.—D.—

1213313

【分析】根据同一锐角的正弦与余弦的平方和是1.即可求解.

解：sin2A+cos2A=1,即(---)2+cos2A=1,

.•.cosA=[|或一点(舍去)，

xOJLO

故选：D.

4.如图，Z\A8C和△ABC是以点。为位似中心的位似图形，若04：04=1：2,则△ABC

与AA5c的周长比为()

A.1：4B.1：3C.1：2D.I：9

【分析】根据位似与相似的关系、相似三角形的性质解答.

解：-：OA：0A'=\：2,

：.AC：A'C=1：2,

.•.△ABC与△*B1C的相似比是1：2,

.•.△4BC与B'C'的周长比为1：2,

故选：C.

5.某超市一月份的营业额为50万元，到三月底营业额累计为500万元.如果设平均每月的

增长率为x,依题意得，可列出方程为()

A.50(l+x)2=500

B.50(1+x)3=500

C.50(1+x)2=450

D.50+50(1+x)+50(1+x)2=500

【分析】根据增长率问题，一般增长后的量=增长前的量X(1+增长率)，关系式为：

一月份月营业额+二月份月营业额+三月份月营业额=500,把相关数值代入即可求解.

解：设平均每月的增长率为x,根据题意：二月份的月营业额为50X(1+x),

三月份的月销售额在二月份月销售额的基础上增加X,

为50X(1+x)X(1+x),则列出的方程是：50+50(1+x)+50(1+x)『500.

故选：D.

6.如图，直线直线4,人与这三条直线分别交于点A,B,C和点E,F,F,若

AB：BC=5：3,Ki]EF：。厂等于()

b

A.3：8B.5：8C.3：5D.8：11

【分析】利用平行线分线段成比例定理解决问题即可.

解：；直线/|〃/2〃，3,

.DE=AB=1

••丽―而一石，

•.•EF3,

DF8

故选：A.

7.点4(-3,yi),B(1,>2)，C(3,")在反比例函数>=工的图象上，贝Uyi,”，

x

丁3的大小关系是()

A.y2>y3>y\B.C.y2>yi>y\D.y3>y\>y2

【分析】先根据函数解析式中的比例系数攵确定函数图象所在的象限，再根据各象限内

点的坐标特点及函数的增减性解答.

解：•・•反比例函数y=—■中，k=-3<0,

x

・・・此函数图象在二、四象限，

•・,-3<0,

・••点A(-3,巾)在第二象限，

Ayi>0,

V3>l>0,

：.B(1,”)，C(3,券)两点在第四象限，

：.y2<y3<0.

yif”的大小关系为

故选：B.

8.某三棱柱的三种视图如图所示，已知俯视图中tanB=a,SMBC=7,下列结论中：①主

视图中m=3：②左视图矩形的面积为18；③俯视图NC的正切值为段.其中正确的个数

O

为()

A.3个B.2个C.1个D.0个

【分析】根据这个几何体的三视图，得出这个三棱柱，高为6,BD=4,CD=m,由tanB

=pSMBC=7,求出，"的值，进而确定CD,再分别对各个结论进行判断即可.

解：由简单几何体的三视图可知，这个几何体是三棱柱，高为6,8。=4,CD=m,

1An

VtanB=—,BD=4,

2BD

：.AD=2t

又•••5,改=7=/?。">,

(4+w)X2=7,

2

解得m=3,

因此①正确；

左视图长方形的长为2,宽为6,所以面积为12,

因此②不正确；

在RtZ\A£>C中，tanC=^=2,

CD3

因此③正确：

综上所述，正确的结论有①③，共2个,

故选：B.

左视图

俯视图

9.已知抛物线y=or2+/zr+c(a#0)的对称轴为直线x=l,与x轴的一个交点坐标为4(3,

0),其部分图象如图所示，下列结论中：①"c<0；②拄-4ac>0；③抛物线与x轴的

另一个交点的坐标为(-1,0)；④方程a^+bx+c=\有两个不相等的实数根.其中正

确的个数为()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据二次函数的图象与性质一一判断即可.

解：①•••开口向上与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，能得到：a>0,c<0,—

2a

>0,b<0,

：.abc>0,错误，不符合题意；

②图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知及-4“c>0,正确，符合题意；

③；对称轴为直线x=l,与x轴的一个交点坐标为A(3,0),

.•.抛物线与x轴的另一个交点的坐标为(-1,0),正确，符合题意；

④由图象可知，抛物线>=加+公+。与直线y=l有两个交点，

方程a?+bx+c=l有两个不相等的实数根，正确，符合题意；

故选：C.

10.如图，在矩形ABC。中，A8=5,点E是BC上一点，将AABE沿直线AE折叠，点3

落在矩形ABC。的内部点尸处，若tan/D4/=g,则BE的长为（）

4

53Q

A.—B.—C.2D.—

224

【分析】过尸作G"〃4B交A。于G,交BC于H,根据四边形ABC。是矩形，GH//AB,

得四边形A8HG是矩形，即知/AGF=NEHF=90°,GH=AB=5,而aABE沿直线AE

折叠，点8落在矩形ABC。的内部点尸处，有AF=AB=5,ZAFE=90°,BE=EF,

由tan/D4f=&，得更=3,设Gf=3x,则AG=4x,在RtZ\AFG中，可得(4x)2+

4AG4

(3x)2=52,解得*=1,从而AG=4,GF=3,可得FH=GH-GF=2,证明△AGf's

"唠噜即磬多故EF=V，

BE=—

22

解：过产作GH〃A8交AO于G,交BC于H,如图:

•.•四边形ABC£＞是矩形，GH//AB,

.••四边形A8”G是矩形,

二/AGF=NEHF=90°,GH=AB=5,

△A8E沿直线AE折叠，点8落在矩形ABCD的内部点尸处,

：.AF=AB=5,ZAFE=90°,BE=EF,

2

VtanZDAF=—,

4

•.•GF■■_■3♦

AG4

设GF=3x,则AG=4x,

在Rt^AFG中，462+6严=4产，

(4x)2+(3x)2=52,

解得x=l或》=-1(舍去)，

：.AG=4,G尸=3,

：.FH=GH-GF=2,

VZAFE=90°,

AZAFG=90°-ZEFH=ZFEHfZAGF=ZEHF=90°,

・•・AAGF^AFWE,

.EF=FH即里=2

"AFAG''54'

：.BE=—,

2

故选：A.

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11.若a是锐角且sina=返，则a的度数是60°.

2------------

【分析】结合各特殊角的三角函数值，进行求解即可.

解：是锐角且sina=1,

2

.二Na=60°.

故答案为：60。.

12.一个盒子中装有标号为1,2,3,4的四个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸

出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为《.

一3一

【分析】画树状图，共有12种等可能的情况数，其中摸出的小球标号之和大于5的有4

种，再由概率公式求解即可.

解：根据题意画图如下：

234124

和345356457567

共有12种等可能的情况数，其中摸出的小球标号之和大于5的有4种,

则摸出的小球标号之和大于5的概率为得•=2，

114O

故答案为：4

13.我们把宽与长的比为黄金比（立工）的矩形称为黄金矩形，如图，在黄金矩形ABC。

2

中，AB<BC,BC=2,NABC的平分线交AO边于点E,则DE的长为3-、底.

【分析】由黄金矩形的定义得A。=8C=2,4B=Y|zlBC=遥-l,/力=NABC=90°,

再证△ABE是等腰直角三角形，得AE=4B=J^-1,即可得出答案.

解：；四边形4BCO是黄金矩形，AB<BC,BC=2,

；.AQ=BC=2,AB=J^~^BC=y/s-1./A=NABC=90。，

；BE平分/ABC,

：.ZABE=45°,

.•.△ABE是等腰直角三角形，

：.AE=AB=^-I,

：.DE=AD-AE=2-（娓-1）=3-遍，

故答案为：3-

14.如图，有一矩形养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙足够长），另三边用16米的长篱笆围

成，则矩形ABC。面积的最大值是32m2.

AD

B'-------'c

【分析】设矩形的宽为初?，进而确定矩形的另一条边长，根据矩形的面积公式即可求出

函数关系式，再利用配方法求出函数最值.

解：设矩形的宽为X，"，面积为碗2,

根据题意得：S=x（16-2x）

——-2X2+16X

=-2（x-4）2+32,

，x=4/〃时，菜园面积最大，最大面积是32m2.

故答案为：32/n2.

15.如图，在△ABC中，A8=14,AC=10,点。是8c上一点，点M是84延长线上一点,

4L

已知lan/CAM=£,/D48=45°,则4。的长为4、万.

o

【分析】过点c、。作CMLBM,DNLBM.先利用/C4M的正切和勾股定理求出CM、

AM的长，再利用/B的正切求出£W、AN的长，最后利用勾股定理求出AO的长.

解：过点C、。作CMLBM,DNLBM.

：.CM=4k,AM=3k（%为不等于0的常数）.

在Rt^ACM中，

•••亚=a24仔

：7（曲产+化幻2=10.

解得k=2.

：.CM=S,AM=6.

：.BM=AB+AM=2Q,

在RtZ\ADV中，

,：ZDAB=45°,

：.AN=DN.

.8_DN_DN

•♦元一丽—14-DN

:.DN=AN=4.

.\AD=4yf2.

故答案为：4&.

三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤）

16.(1)计算:&sin45°+2cos30°+|1-tan600|.

(2)解方程：(x+3)2=2X+6.

【分析】(1)先代入三角函数值，再进一步计算即可；

(2)先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一

次方程，再进一步求解即可.

解：(1)&sin45°+2cos30°+|l-tan600

=近X亨+2X亨+^-1

=1W3+V3-1

=2无；

(2)*/(x+3)2=2X+6,

・・.(x+3)2=2(x+3),

・・・(x+3)2-2(x+3)=0,

则(x+3)(x+3-2)=0,

.,.x+3=0或x+l=0,

/,X[=-3,X2="1.

17.如图，在平行四边形ABC。中，对角线AC的垂直平分线分别交A。，BC于点、E,F,

EF与AC相交于点。，连接AF,CE.

(1)求证：四边形AECF是菱形；

(2)已知sinNACF=返，CF=5,AB=6,请你直接写出sinB的值.

5

【分析】(1)由线段垂直平分线的性质得O4=OC.EA=EC,再证△AOEg^COF(ASA),

得0E=。匕则四边形AEC尸是平行四边形，然后由EA=EC,即可得出结论；

(2)过A作于由锐角三角函数定义得。/=娓，贝l]OC=2、/mAC=2OC

=4泥，再由勾股定理求出FM=3,则AM=4,即可解决问题.

【解答】(1)证明•••四边形A8C。是平行四边形，

J.AD//BC,

：.ZEAO=ZFCO,

又垂直平分AC,

：.OA=OC.EA=EC,

在AAOE和△C。/7中，

'NEA0=NFC0

«OA=OC

ZA0E=ZC0F

/.AAOE^ACOF(ASA),

：.OE=OF,

四边形AEC尸是平行四边形，

•：EA^EC

平行四边形4EC尸是菱形；

(2)解：过4作AM,8c于如图所示:

\'EF±AC,

；.NC。尸=90°,

'：smZACF=^-=—,CF=5,

5CF

：.OF=娓,

•••OC=7CF2-OF2=V52-(V5)2=2VS-

；.AC=2OC=4巫，

由(1)得：四边形AECF是菱形，

：.AF=CF^5,

VAM1BC,

AZAMB=ZAMC=90°,

：.AM2=AF，2-FNf^AC1-CM2,

即52-尸肝=(4/5)2-(FM+5)2,

解得：FM=3,

.•MM=7AF2-FM2=V52-32=4)

18.某“综合与实践”小组开展了测量运城北站关公铜像高度的实践活动，他们设计了两个

测量方案如下表.经过老师与小组利用课余时间实地考察放弃了方案一，采用了方案二,

他们在铜像底部所在的平地上选取两个不同的测点，分别测量了铜像顶端的仰角以及这

两个测点之间的距离.为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的

距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果填入表格，测量数据如下表.

课题测量公关铜像的高度

成员组长：XXX,组员：XXX,XXX,XXX

工具侧倾器，皮尺等

设计方案说明：线段AB表示铜像，线段表

方案示侧倾器，CO的高度为11米，点E

测量在上，点A,B,C,D,E在同一

小,平面内.需要测量的数据有BC的距

意图离，倾斜角的距离，倾斜角/AOE

的度数.

方案说明：线段AB表示铜像，线段。，

EG表示侧倾器，CO,FG的高度为1.1

测量米，点E在A8上，点A,B,C,D,

示E,F,G在同一平面内.需要测量的

意图数据有C尸的距离，倾斜角NAOE,Z

AGE的度数.

实施方案ZADE的平均值AAGE的平均值CF的平均值

方案二的28.5°45°10米

测后

数据

（1）“综合与实践”小组为什么放弃方案一，你认为原因可能是什么？（写出一条即可）

（2）请你根据他们的测量数据计算关公铜像的高度.

（参考数据：sin28.5°七0.48,cos28.5°-0.88,tan28.5°七看）

A

A

【分析】(1)根据题意写出原因即可；

(2)根据矩形的性质得到。G=C尸=10,BE=CD=\A,设AE=x.解直角三角形即可

得到结论.

解：(1)答案不唯一，如：方案一适合底部可直接到达；底部不可到达：方案二适合测

量底部不可直接到达的物体的高度；在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的

底部之间的距离；

(2)解：由题意可得：四边形CDGF,四边形CDEB是矩形，

：.DG=CF^\0,BE=CD=1.1,

设

在Rtz^AEG中，N4EG=90°,NAGE=45°,

：tanz^AGE=^->

EG

••.tan45。嗑

在RtZiAEO中，ZAED=90Q,/AOE=28.5°,

AE

tanNADE=Y^r，

UE.

tan28.5°=7^7

UE

DE=----

tan28.5

•:DG=DE・EG,

.10=zt""X

・・o,

IT

,'.x=12,

AAB^AE+BE=12+1.1=13.1（米），

答：关公铜像AB的高度为13.1米.

19.如图，一次函数＞i=x+b与反比例函数次=区交于点4(1,a),£)(-4,1),与y

x

轴，x轴分别交于点8,C.

(1)求反比例函数的表达式：

(2)作AE_Ly轴于点E,连接OE,求△AOE的面积；

(3)根据图象请直接写出当力〉”时，x的取值范围.

【分析】(1)根据待定系数法即可求得；

(2)由反比例函数的解析式求得A的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可;

(3)根据图象即可求得.

解：(1)1•点。(-4,-1)在反比例函数y=K的图象上，

x

：.k=-4X(-1)=4.

...反比例函数的表达式为y=£

X

(2)•.♦点4(1,“)在在反比例函数y二的图象上，

.♦.点A的坐标为(1,4),

；AE_Ly轴，

：.AE=\,0E=4,

作交AE的延长线于点M,交x轴于点N.

则MN=0E=4,ND=1.

：.MD=5,

115

甘或磅

•••SAADEXAExDMXIx5

(3)当时，x的取值范围-4<x<0或x>1.

20.某经销商经销一种封面为建党100周年的笔记本，每本进价为3元，按每本5元出售，

每天可售出30本.调查发现这种笔记本销售单价每提高1元，每天的销售量就会减少3

本.

（1）当销售单价定为多少元时，该经销商每天销售这笔记本的销售利润为105元？

（2）当销售单价定为多少元时，才能使该经销商每天销售这种笔记本所得的利润最大？

最大利润是多少元？

庆祝中01共产荒点立100闲年

TH1Wt»,g，

TMCvrcnvwitl>3.C

【分析】（I）根据销售利润=每本的利润X销售量，列出一元二次方程，在自变量范围

内求解即可；

（2）根据销售利润=每本的利润X销售量，列出平均每天的销售利润卬（元）与销售价

x（元/本）之间的函数关系式，再依据函数的性质求得最大利润.

解：（1）设每本销售单价是x元时，每天获利105元，

由题意得：（x-3）[30-3（x-5）]=105,

整理得：（-18x+8O=O,

解得：%|=10,X2=8,

，销售单价定为10元或8元，每天获利105元；

（2）设利润为w元，

则w=（x-3）[30-3（x-5）]

=-3/+54x-135

=-3（x-9）2+108,

；-3<0,

.•.当x=9时，卬有最大值，最大值为108,

答：销售单价定为9元时，才能使该经销商每天销售这种笔记本所得的利润最大，最大

利润108元.

21.阅读与思考

阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：

学习了反比例函数的性质后，希望学习小组又进行了深入的探究，发现：如果在双曲线

上任取两点，过这两点分别向两坐标轴垂线（垂足不同时在x或y轴上），那么垂足的

连线和这两点的连线平行.如图1,点A,B是反比例函数y=K（%#0）在第一象限图

X

象上的两点，作轴于点。，轴于点C,连接CD,则AB〃C。；如图2,点

A,8是反比例函数丫=区仪/0）在第一象限图象上的两点，作AOJ_x轴于点。，D,

x

8CJ_y轴于点C,连接CZ）,则A8〃C£>.在老师指导下希望学习小组进行严格推理，证

明这一结论是正确的.

【结论应用】

任务：（1）如图2,若AO与8C交于点E,CE-BE=\-2.

①黑的值为4.

AB~2~

②若AABE的面积为6,则四边形。CEZ）的面积为3.

（2）智慧学习小组利用上述结论又进行了新的探究，如图3,直线EF与反比例函数y

=—awo）的图象交于A,B两点，点A在点8的上方，与X,y轴分别交于点E,F,

x

则得到AE=BF这一结论.

下面是该结论的部分证明：

证明：作轴于点。，轴于点C,连接CD,

则AB〃C£>,BC//DE.

/QE4=/CBF,四边形EDCB是平行四边形.

仔细阅读上面的证明过程，按照上面的证明思路，请你补充完整.

【分析】(1)①由CQ〃A8,得△ABEs^QCE,从而得出答案；

②根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得答案；

(2)由两种对边分别平行，可知四边形E3CB是平行四边形，则BE=CD,同理，四边

形AQCF是平行四边形，得AF=C£»,从而得出结论.

解：(1)①•..C£>〃AB,

...AABEs^DCE,

•.•CD—CE,

ABBE

,/CE-BE=l：2,

.♦.CD—1,

AB2

故答案为：

@'：CE：BE=1：2,

.SACDE_1

2AABE4

•.•△ABE的面积为6,

7_3

；NCOD=/OCE=NODE=90°,

...四边形OOEC是矩形，

SODEC=2S^CDE=3,

故答案为：3；

(2)如图，作AOLy轴于点O,轴于点C,连接8,

则AB〃C£),BC//DE.

二四边形EDCB是平行四边形，

：.BE=CD,

同理，四边形AOCF是平行四边形，

：.AF=CD,

：.BE^AF,

：.AE=BF.

22.综合与实践

如图1,在综合实践课上，老师让学生用两个等腰直角三角形进行图形的旋转探究.在

Rt/XABC中，NBAC=90。，AB=AC,在RtZ\AMN中，NMAN=90°,AM=AN,点、

M,N分别在AC,AB边行，直角顶点重合在一起，将RtZ\AMN绕点A逆时针旋转，设

旋转角NM4C=a,其中0°<a<90°.

（1）当点M落在8C上时，如图2：

①请直接写出NBMN的度数为a（用含a的式子表示）；

o

②若tana=—,AC—1,求4W的长；

4

（2）如图3,连接BN,CM,并延长CM交BN于点E,请判断CE与BN的位置关系，

并加以证明；

（3）如图4,当N8AC与NMAN是两个相等钝角时;其他条件不变，即在△回。与4

AMN中，AB=AC,AM=AN,NMAN=NBAC=B，ZMAC=a,则NCEN的度数为

180°-B（用含a或0的式子表示）.

【分析】（1）①由旋转的性质可得/M4C=/BAN=a,通过证明点A,点M,点8,

点N四点共圆，可得N84V=NBMN=a；

②设例D=3x,由锐角三角函数可求A£>=4,DM=3,由勾股定理可求解；

（2）由“SAS”可证△BAN丝△CAM,可得NACM=/ABN,由余角的性质可得结论；

（3）由“S4S”可证△BAN丝△CAM,可得NBNA=NAMC,由四边形内角和定理可求

解.

解：（1）①：将Rt/XAMN绕点A逆时针旋转，设旋转角NMAC=a,

：.NMAC=NBAN=a,

VZBAC=90°，AB=AC,

AZABC=ZACB=45°,

VZMAN=90Q,AM=AN,

：.ZAMN=ZANM=45°,

・・・N4NM=N48C=45°,

・••点A,点M,点B,点N四点共圆,

:・/BAN=/BMN=a,

故答案为：a；

②如图2,作MOL4C于点。，

佟）2

设MD=3x,

•：ZBAC=90°,AB=ACf

AZC=45°,

：.ZDMC=ZC=45°,

：.CD=DM=3X9

在Rt/XAOM中，ZADM=90°,

MD

tanNMAD-AD"I

.\AD=4xf

：.AC=AD+CD=3x+4x=l,

•1f

・・・A£>=4,0M=3,

AM=7AD2+DM2=V32+42=5；

(2)CELBN,理由如下：

如图3,设AB与CE相交于点尸,

图3