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文档简介
(时间60分钟,满分80分)一、选择题(共6个小题,每小题5分,满分30分)1.设向量a=(3,eq\r(3)),b为单位向量,且a∥b,则b=()A.(eq\f(\r(3),2),-eq\f(1,2))或(-eq\f(\r(3),2),eq\f(1,2)) B.(eq\f(\r(3),2),eq\f(1,2))C.(-eq\f(\r(3),2),-eq\f(1,2)) D.(eq\f(\r(3),2),eq\f(1,2))或(-eq\f(\r(3),2),-eq\f(1,2))解析:设b=(x,y),由a∥b可得3y-eq\r(3)x=0,又x2+y2=1得b=(eq\f(\r(3),2),eq\f(1,2))或b=(-eq\f(\r(3),2),-eq\f(1,2)).答案:D2.已知向量a=(3,1),b=(1,3),c=(k,7),若(a-c)∥b,则k=()A.3 B.0C.5 D.-5解析:由已知得:(a-c)=(3-k,-6),又∵(a-c)∥b,∴3(3-k)+6=0,∴k=5.答案:C3.若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则eq\f(1,a)+eq\f(1,b)的值等于()A.1 B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)解析:=(a-2,-2),=(-2,b-2),依题意,有(a-2)·(b-2)-4=0,即ab-2a-2b=0,所以eq\f(1,a)+eq\f(1,b)=eq\f(1,2).答案:B4.在△ABC中,点P在BC上,且=2,点Q是AC的中点,若=(4,3),=(1,5),则=()A.(-6,21) B.(-2,7)C.(6,-21) D.(2,-7)解析:由题知,-==(1,5)-(4,3)=(-3,2),又因为点Q是AC的中点,所以=,所以=+=(1,5)+(-3,2)=(-2,7),因为=2,所以=+=3=3(-2,7)=(-6,21).答案:A5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且m=(eq\r(3)b-c,cosC),n=(a,cosA),m∥n,则cosA的值等于()A.eq\f(\r(2),2) B.-eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3) D.-eq\f(\r(3),3)解析:∵m∥n,∴(eq\r(3)b-c)cosA=acosC,∴(eq\r(3)sinB-sinC)cosA=sinAcosC,即eq\r(3)sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB,易知sinB≠0,∴cosA=eq\f(\r(3),3).答案:C6.(·青岛模拟)如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=1,且∠B=90°,∠BCD=135°,记向量=a,=b,则=()A.eq\r(2)a-(1+eq\f(\r(2),2))bB.-eq\r(2)a+(1+eq\f(\r(2),2))bC.-eq\r(2)a+(1-eq\f(\r(2),2))bD.eq\r(2)a+(1-eq\f(\r(2),2))b解析:根据题意可得△ABC为等腰直角三角形,由∠BCD=135°,得∠ACD=135°-45°=90°,以B为原点,AB所在直线为x轴,BC所在直线为y轴建立如图所示的直角坐标系,并作DE⊥y轴于点E,则△CDE也为等腰直角三角形,由CD=1,得CE=ED=eq\f(\r(2),2),则A(1,0),B(0,0),C(0,1),D(eq\f(\r(2),2),1+eq\f(\r(2),2)),∴=(-1,0),=(-1,1),=(eq\f(\r(2),2)-1,1+eq\f(\r(2),2)),令=λ+μ,则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-λ-μ=\f(\r(2),2)-1,μ=1+\f(\r(2),2))),得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ=-\r(2),μ=1+\f(\r(2),2))),∴=-eq\r(2)a+(1+eq\f(\r(2),2))b.答案:B二、填空题(共3小题,每小题5分,满分15分)7.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知A(3,1),B(-1,3),若点C满足|+|=|-|,则C点的轨迹方程是________.解析:由|+|=|-|知⊥,所以C点的轨迹是以A、B为直径的两个端点的圆,圆心坐标为线段AB的中点(1,2),半径等于eq\r(5),所以C点的轨迹方程是(x-1)2+(y-2)2=5.答案:(x-1)2+(y-2)2=58.在△ABC中,D是BC边的中点,已知A(1,1),=(-1,-3),=(3,5),则C点的坐标为________.解析:∵=+=+2=-2=(-1,-3)-(6,10)=(-7,-13),设O为坐标原点,∴-=(-7,-13),∴=+(-7,-13)=(1,1)+(-7,-13)=(-6,-12).即点C的坐标为(-6,-12).答案:(-6,-12)9.(·天津十二校联考)已知直角坐标平面内的两个向量a=(1,3),b=(m,2m-3),使平面内的任意一个向量c都可以唯一的表示成c=λa+μb,则m解析:∵c可唯一表示成c=λa+μb,∴a与b不共线,即2m-3≠3∴m≠-3.答案:{m|m∈R,m≠-3}三、解答题10.已知O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及=+t,试问:(1)t为何值时,P在x轴上?在y轴上?P在第三象限?(2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由.解:(1)∵=(1,2),=(3,3),∴=+t=(1+3t,2+3t).若点P在x轴上,则2+3t=0,解得t=-eq\f(2,3);若点P在y轴上,则1+3t=0,解得t=-eq\f(1,3);若点P在第三象限,则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1+3t<0,,2+3t<0.))解得t<-eq\f(2,3).(2)若四边形OABP成为平行四边形,则=,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1+3t=3,,2+3t=3.))∵该方程组无解,∴四边形OABP不能成为平行四边形.11.已知点G是△ABO的重心,M是AB边的中点.若PQ过△ABO的重心G,且=a,=b,=ma,=nb,求证:eq\f(1,m)+eq\f(1,n)=3.证明:显然=eq\f(1,2)(a+b).因为G是△ABO的重心,所以=eq\f(2,3)=eq\f(1,3)(a+b).由P、G、Q三点共线,得∥,所以有且只有一个实数λ,使=λ.而=-=eq\f(1,3)(a+b)-ma=(eq\f(1,3)-m)a+eq\f(1,3)b,=-=nb-eq\f(1,3)(a+b)=-eq\f(1,3)a+(n-eq\f(1,3))b,所以(eq\f(1,3)-m)a+eq\f(1,3)b=λ[-eq\f(1,3)a+(n-eq\f(1,3))b].又因为a、b不共线,所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)-m=-\f(1,3)λ,\f(1,3)=λn-\f(1,3))),消去λ,整理得3mn=m+n,故eq\f(1,m)+eq\f(1,n)=3.12.已知向量a=(sinθ,cosθ-2sinθ),b=(1,2).(1)若a∥b,求tanθ的值;(2)若|a|=|b|,0<θ<π,求θ的值.解:(1)因为a∥b,所以2sinθ=cosθ-2sinθ,于是4sinθ=cosθ,故tanθ=eq\f(1,4).(2)由|a|=|b|知,sin2θ+(cosθ-2sinθ)2=12+22,所以1-2sin2θ+4sin2θ=5.从而-2sin2θ+2(1-cos2θ)=4,即si
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