八年级数学分式方程湘教版知识精讲

初二数学分式方程湘教版

【本讲教育信息】

教学内容：

分式方程

教学目标：

1.知识与技能

(1)知道分式方程的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程。

(2)知道增根及产生增根的原因，明确检验是解分式方程必不可少的重要步骤。

(3)能列出可化为一元一次方程的分式方程解简单的应用题。

2.过程与方法

在解分式方程中体验转化的数学思想。

3.情感、态度与价值观

在共同探索中，体会方程思想，提高分析和解决问题的能力，感悟数学的价值。

二.重点、难点

重点：

1.解可化为一元一次方程的分式方程。

2.可根据题意列出分式方程。

难点：

1.解分式方程的步骤及验根的原理与方法。

2.会找出分式方程应用题中的等量关系。

知识要点归纳：

1.分式方程的概念

分母里含有未知数的方程叫分式方程。

即分式方程的重要特征是方程中分式的分母里含有未知数。

2.如何解分式方程

(1)在分式方程的两边都乘以方程中的各分母的最简公分母，约去分母，化成整式方

程。

(2)解这个整式方程。

(3)把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零，若是零，就是原分式方程的

增根，必须舍去。

3.解分式方程的基本思想

是将它转化为整式方程，转化的方法有：

(1)两边同乘以最简公分母；(2)换元法

4.分式方程产生增根的原因

分式方程的增根是去分母后整式方程的某个根，但因其使分式方程的某个分母等于零,

这时原方程中的分式就没有意义了，故应是原方程的增根。

5.分式方程的应用

列分式方程解应用题的方法与列一元一次方程解应用题的方法基本相同，即其步骤为：

(1)审题：它是解应用题的重点，其关键是找出题目中的等量关系。

(2)设未知数：同时也要写出有关的代数式，并要写好单位。

(3)根据题意找等量关系，列出分式方程。

(4)解分式方程并验根，验根时不仅要注意检验其根是否为增根，而且还需要检验是

否符合应用题的实际要求。

(5)写出答案，注意写好单位。

【典型例题】

基础知识题

例1.解方程:

3—xx~—25—x

------+—=1+-------

1-xx2-8x+7------7-X

分析：(1)解此题的第一步是要把分式方程中的每一个分式的分子、分母都按x的降基

排列，并且最高次项的系数要化为正数，这样再解方程就不容易出现符号错误，也便于找最

简公分母。

(2)解方程的关键是去分母，将分式方程化为整式方程，所以首先要求各个分母能因

式分解的多项式先做因式分解，再取最简公分母。

(3)解分式方程的检验这个步骤是不可以省略的。

解：原方程可变形为：

x—3x?—2x一5

-------1-----------------=1+

x-\(x-DU-7)x—7

方程两边同时乘以最简公分母(x-1)(x-7)得:

(x-3)(x-7)+(x2—2)=(x—l)(x-7)+(x-l)(x-5)

x~-10x+21+x~-2=x2—8x+7+x~—f)x+5

4x+7=0

解这个一元一次方程得：

7

X-——

4

检验：

7

把X=代入最简公分母(x-l)(x-7)得：

4

77

(x-l)(x-7)=(---1)(---7)^0

44

7

=是原方程的根

4

例2.已知关于x的方程--孚L=三口有增根，求机的值。

X+1X+xX

分析：(1)增根就是使原方程分母为零时的根，也是原方程转化为整式方程后的整式方

程的根。

(2)做这类题的方法是将分式方程去分母化为整式方程，把增根代入整式方程便可获

得未知系数的值。

解：原方程可化为：

2x7/24-1X+1

X+\X(X+1)X

方程两边同时乘以X(x+l)得：

2x2-(m+l)=(x+l)2(1)

因为原方程有增根，所以x=0或x=-l

当x=0时，代入(1)得：

—(m+1)=1,m——2

当x=-1时，代入(1)得：

2—(m+1)=0,m=1

，m=-2或m=l时原方程有增根

能力提高题

丫:aARc

例3.已知一仝士一=C+—J+二一(A、B、C是常数)，求A、B、C

x(x—1)(%+2)xx—1x+2

的值。

分析：此题可利用恒等式的性质来解决，我们可采用下面两种解法来求A、B、C的值。

解法1：利用去分母将分式化为整式，通过多项式恒等，对应项系数分别相等来列出方

程，求出A、B、C«其解法如下：

方程两边同时乘以x(x-1)(x+2)得：

A(x-l)(x+2)+Bx(^x+2)+Cv(x—1)—2x+3

整理得：

(A+3+C)x~+(A+2B—C)x-2A=2x+3

比较系数得：

A+8+C=0

<A+2B-C=2

-2A=3

解得：

解法二：用特殊值法，多项式恒等与x的取值无关，我们可令x=l,x=-2,x=0化

简式子，直接求出A、B、C的值。

其解法如下：

方程两边同时乘以x(X—1)(x+2)得：

A(x-1)(元+2)+Bx(x+2)+Cx(x-1)=+3

令%=1,得8=*

3

令x=-2,得C=-4

6

3

令冗=0,得A=——

2

例例解方程:

x—4x—5x—7x—8

x—5x—6x—8x—9

分析：此题按常规方法来解比较麻烦，若观察方程两边的特点，先将方程两边通分，巧

妙的消去分子中的未知数，减小了计算量，使运算过程比较简便。

解：方程两边分别通分得：

(x—4)(x—6)—(x—5)"(x—7)(x—9)—(x—8)~

(%—5)(x—6)(x—8)(x—9)

即1——_ii-----=———_i------

x2-llx+30x2-17A:+72

去分母得：

x2—17x+72-x2-1lx+30

整理得：

-llx+3O=-17x+72

解这个一元一次方程得：

x=7

检验：

把x=7代入原方程中的分母中可知均不为0

，x=7是原方程的解。

综合应用题

例5.某商人用7200元购进甲、乙两种商品，然后卖出，若每种商品均用去一半的钱，则

一共可购进750件；若用2/3的钱买甲种商品，其余的买乙种商品，则要少购50件，卖出

时，甲种商品可赢利20%,乙种商品可赢利25%。

(1)求甲、乙两种商品的购进价和卖出价。

(2)因市场需求总量有限，每种商品最多只能卖出600件，那么商人采用怎样的购货

方式才能获得最大利润？最大利润是多少？

分析：本题是一个探索性的综合题，对于问题(1),若直接设未知数，则需设两个，所

以采用间接设未知数的办法较好；对于问题(2),它为一个有关最大利润的问题，那么必然

确定盈利较少的甲种商品最多可卖的数量。

本题涉及到了单价X数量=总价的关系式的运用，还涉及到了方程的解法，列分式方程

应用题的步骤，同时还考查了对问题进行分析，比较找出最佳方案，解决实际问题的能力。

解答列方程解应用题的重点是审题，审题的关键是找等量关系，根据题意，我们可找出

此题的等量关系是：

21

用:的钱买甲种商品的件数十用(的钱买乙种商品的件数=(750-50)件

下面我们用表格的形式找出题中已知量和未知量的关系：

进价数量总价

22

7200x--x7200-x7200

甲______23________3

X7200x-

______2

X

7200x'

-X7200-x7200

乙______2J______3

750-x

7200x-

2

750-%

现在我们根据上面的分析写出如下解答过程。

解：设甲种商品的购进数量为x件，则乙种商品的购进数量为(750-x)件，则甲

7200x-7200x-

种商品的进价为：------2.元；乙种商品的进价为：-------2.元

x750-X

根据题意得:

21

7200x7200x-

3+3750-50

7200x'7200x1

22

x750-%

解这个方程得：x=300

经检验，x=300是原方程的解，也符合题意。

.•.当x=300时，750-x=750-300=450

此时甲种商品的进价为：

7200x-

---------2.=12元

300

乙种商品的进价为：

7200xl

-----=8TU

750-300

故卖出价分别为：

甲种商品=12X(1+20%)=14.4元

乙种商品=8X(1+25%)=10元

(2)设获得最大利润时，甲种商品进m件，总利润为P元，则

7200-12/W

P=(12x20%)m+(8*25%)•

8

——0.6/72+1800

由于每种商品最多只能卖出600件，所以获利较大的乙种商品的进货量为:

720°-12"<600

8

此时m，200

故当m=200时，甲种商品的进货量最少，乙种商品的进货量最多，可获得最大利润:

P=-0.6x200+1800=1680元

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

填空题

1.满足方程—=二一的X的值是_____________o

x-1x-2

32

2.当乂=_____________时，分式一与——的值互为相反数。

x6-x

3.已知分式方程£■=——有增根，则2=。

4.一个水池装有两个进水管，单独开甲管需a小时注满空池，单独开乙管需b小时注满

水池，若同时打开两个水管，则注满空池的时间是小时。

r4-

5.已知关于x的方程——=-1的根大于0,则a的取值范围是o

x-2

v—3

6.已知x—一1■二匕，，用含x的代数式表示y,则丫=___________。

x-2y-4

二.选择题

1.方程、=0的根是()

।—

x1

A.x=lB.x=±lC.x=0D.x=-1

2.要使4—上2x上的值和x—二5^的值相等，则x的值为()

4-xx-4

1

2

3.若关于x的方程一工一3攵二5。一%）+1的解为负数，则k的值为（）

3

,1\_D.女〉工且女。2

、k>=B.k<—C.k

2222

x

4.方程的解的情况是)

x+2x+2

A.x=-2B.x=0C.解为任意数D.无解

三.解下列分式方程

123

].-----=------------------------

1—X21+2x+x21—2x+

x+4x+7x+3元+6

’77XX

四.若关于x的方程-------=-^7--J有增根，试求m的值。

x+x—2x-1无+2

五.已知一次函数丁=依+。的图象经过（1,3）点和（一2,0）点，则关于x的方程

kb

0的根是多少？

x+kx-b

2

六.因汛期防洪的需要，计划对某河段进行加固，此项工程若由甲、乙两队同时干，需要2M

天完成，共支付费用180000元；若甲队单独干2天后，再由乙队单独完成还需3天，共支

付费用179500元，但是为了便于管理，决定由一个队完成。

（1）由于时间紧迫，加固工程必须在5天内完成，你认为应选哪个队？

（2）如果时间充裕，为了节省资金，你认为应该选择哪个队？

【试题答案】

ab

1.02.183.-44.-------

a+b

5.a<26.x+2

l.D2.B3.B4.D

123

二.1.------7=--------;----------1-

1—x~1+2x+x~1—2x+x

解：原方程可化为：

123

x2-1x2+2x+1x2-2x+l

123

(X+l)(x-1)(X+1)"(X—1)"

方程两边同时乘以(X+l)2(X—l)2得：

-(X+1)(%-1)=2(x-1)2-3(x+1)2

化简整理得：5x+l=0

.x__l

5

检验：

把X=-L代入(％+1)2。-1)2得：

(JC+1)2(X-1)2=(一(+1)2(一(一1)2力0

.•.》=一(是原方程的解

2.解：方程两边分别通分得：

x+7-x—4x+6-x—3

(x+4)(%+7)(x+3)(%+6)

33

即：-------------=-------------

(%+4)(尤+7)(x+3)(x+6)

两边同时乘以(元+4)(%+7)(x+3)(%+6)得：

(x+3)(%+6)=(%+4)(%+7)

解之得：x=-5

经检验：x=—5是原方程的解

・・.x=-5是原方程的解

mxx

四.

x—2x—1%+2

原方程