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文档简介
北京海淀人大附2025届数学九上期末监测试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每题4分,共48分)1.如图所示的几何体是由个大小相同的小立方块搭成,它的俯视图是()A. B. C. D.2.如图,D是等边△ABC边AD上的一点,且AD:DB=1:2,现将△ABC折叠,使点C与D重合,折痕为EF,点E、F分别在AC、BC上,则CE:CF=()A. B. C. D.3.下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. B. C. D.4.抛物线y=﹣(x+2)2﹣3的顶点坐标是()A.(2,﹣3) B.(﹣2,3) C.(2,3) D.(﹣2,﹣3)5.如图,小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离,在A点测得,在C点测得,又测得米,则小岛B到公路l的距离为()米.A.25 B. C. D.6.抛物线与坐标轴的交点个数是()A.3 B.2 C.1 D.07.如图,过反比例函数(x>0)的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线,垂足分别为C、D,连接OA、OB,设△AOC和△BOD的面积分别是S1、S2,比较它们的大小,可得()A.S1>S2 B.S1=S2 C.S1<S2 D.大小关系不能确定8.已知⊙O的半径为3cm,P到圆心O的距离为4cm,则点P在⊙O()A.内部 B.外部 C.圆上 D.不能确定9.某商务酒店客房有间供客户居住.当每间房每天定价为元时,酒店会住满;当每间房每天的定价每增加元时,就会空闲一间房.如果有客户居住,宾馆需对居住的每间房每天支出元的费用.当房价定为多少元时,酒店当天的利润为元?设房价定为元,根据题意,所列方程是()A. B.C. D.10.已知是关于的一个完全平方式,则的值是().A.6 B. C.12 D.11.如图,中,,若,,则边的长是()A.2 B.4 C.6 D.812.二次函数y=x2+2的对称轴为()A. B. C. D.二、填空题(每题4分,共24分)13.如图,将二次函数y=(x-2)2+1的图像沿y轴向上平移得到一条新的二次函数图像,其中A(1,m),B(4,n)平移后对应点分别是A′、B′,若曲线AB所扫过的面积为12(图中阴影部分),则新的二次函数对应的函数表达是__________________.14.某企业2017年全年收入720万元,2019年全年收入845万元,若设该企业全年收入的年平均增长率为x,则可列方程____.15.有一座抛物线形拱桥,正常水位时桥下水面宽为,拱顶距水面,在如图的直角坐标系中,该抛物线的解析式为___________.16.已知向量为单位向量,如果向量与向量方向相反,且长度为3,那么向量=________.(用单位向量表示)17.有两辆车按1,2编号,舟舟和嘉嘉两人可任意选坐一辆车.则两人同坐2号车的概率为_______.18.已知的半径为,,是的两条弦,,,,则弦和之间的距离是__________.三、解答题(共78分)19.(8分)如图1,在矩形中,,点从点出发向点移动,速度为每秒1个单位长度,点从点出发向点移动,速度为每秒2个单位长度.两点同时出发,且其中的任何一点到达终点后,另一点的移动同时停止.(1)若两点的运动时间为,当为何值时,?(2)在(1)的情况下,猜想与的位置关系并证明你的结论.(3)①如图2,当时,其他条件不变,若(2)中的结论仍成立,则_________.②当,时,其他条件不变,若(2)中的结论仍成立,则_________(用含的代数式表示).20.(8分)如图,在平面直角坐标系中,三个顶点的坐标分别为A(2,3)、B(1,1)、C(5,1).(1)把平移后,其中点移到点,面出平移后得到的;(2)把绕点按逆时针方向旋转,画出旋转后得到的,并求出旋转过程中点经过的路径长(结果保留根号和).21.(8分)“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中,因此,越来越多的人喜欢骑自行车出行,某自行车店在销售某型号自行车时,以高出进价的50%标价.已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同.(1)求该型号自行车的进价和标价分别是多少元?(2)若该型号自行车的进价不变,按(1)中的标价出售,该店平均每月可售出50辆;若每辆自行车每降价20元,每月可多售出5辆,求该型号自行车降价多少元时,每月可获利30000元?22.(10分)已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2=0有两个不相等的实数根.(1)求实数k的取值范围;(2)写出满足条件的k的最大整数值,并求此时方程的根.23.(10分)如图,抛物线的对称轴是直线,且与轴相交于A,B两点(点B在点A的右侧),与轴交于点C.(1)求抛物线的解析式和A,B两点的坐标;(2)若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点(不与B,C重合),则是否存在一点P,使△BPC的面积最大?若存在,请求出△BPC的最大面积;若不存在,试说明理由.24.(10分)解方程:(1)用公式法解方程:3x2﹣x﹣4=1(2)用配方法解方程:x2﹣4x﹣5=1.25.(12分)解方程:x+3=x(x+3)26.如图,矩形OABC中,A(6,0)、C(0,)、D(0,),射线l过点D且与x轴平行,点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点,满足∠PQO=60°.(1)①点B的坐标是;②当点Q与点A重合时,点P的坐标为;(2)设点P的横坐标为x,△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S,试求S与x的函数关系式及相应的自变量x的取值范围.
参考答案一、选择题(每题4分,共48分)1、C【解析】根据简单几何体的三视图即可求解.【详解】三视图的俯视图,应从上面看,故选C【点睛】此题主要考查三视图的判断,解题的关键是熟知三视图的定义.2、B【详解】解:由折叠的性质可得,∠EDF=∠C=60º,CE=DE,CF=DF再由∠BDF+∠ADE=∠BDF+∠BFD=120º可得∠ADE=∠BFD,又因∠A=∠B=60º,根据两角对应相等的两三角形相似可得△AED∽△BDF所以,设AD=a,BD=2a,AB=BC=CA=3a,再设CE==DE=x,CF==DF=y,则AE=3a-x,BF=3a-y,所以整理可得ay=3ax-xy,2ax=3ay-xy,即xy=3ax-ay①,xy=3ay-2ax②;把①代入②可得3ax-ay=3ay-2ax,所以5ax=4ay,,即故选B.【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质.3、D【解析】根据题意直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解即可.【详解】解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不合题意;B、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项不合题意;C、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不合题意;D、既是中心对称图形也是轴对称图形,故此选项正确;故选:D.【点睛】本题主要考查中心对称与轴对称的概念即有轴对称的关键是寻找对称轴,两边图象折叠后可重合,中心对称是要寻找对称中心,旋转180°后与原图重合.4、D【解析】试题分析:∵抛物线y=﹣(x+2)2﹣3为抛物线解析式的顶点式,∴抛物线顶点坐标是(﹣2,﹣3).故选D.考点:二次函数的性质.5、B【详解】解:过点B作BE⊥AD于E.设BE=x.∵∠BCD=60°,tan∠BCE,,在直角△ABE中,AE=,AC=50米,则,解得即小岛B到公路l的距离为,故选B.6、A【详解】解:∵抛物线解析式,令,解得:,∴抛物线与轴的交点为(0,4),令,得到,∴抛物线与轴的交点分别为(,0),(1,0).综上,抛物线与坐标轴的交点个数为1.故选A.【点睛】本题考查抛物线与轴的交点,解一元一次、二次方程.7、B【分析】根据反比例函数的几何意义,直接求出S1、S1的值即可进行比较.【详解】由于A、B均在反比例函数的图象上,且AC⊥x轴,BD⊥x轴,则S1=;S1=.故S1=S1.故选:B.【点睛】此题考查了反比例函数k的几何意义,找到相关三角形,求出k的绝对值的一半即为三角形的面积.8、B【解析】平面内,设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离为d,则有d>r点P在⊙O外;d=r点P在⊙O上;d<r点P在⊙O内.【详解】∵⊙O的半径为3cm,点P到圆心O的距离为4cm,4cm>3cm,∴点P在圆外.故选:B.【点睛】本题考查平面上的点距离圆心的位置关系的问题.9、D【分析】设房价定为x元,根据利润=房价的净利润×入住的房间数可得.【详解】设房价定为x元,根据题意,得故选:D.【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系.10、B【分析】这里首末两项是x和3这两个数的平方,那么中间一项为加上或减去x和3积的2倍,故m=±1.【详解】∵(x±3)2=x2±1x+32,∴是关于的一个完全平方式,则m=±1.故选:B.【点睛】本题是完全平方公式的应用,两数的平方和,再加上或减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式.注意积的2倍的符号,避免漏解.11、C【分析】由,∠A=∠A,得∆ABD~∆ACB,进而得,求出AC的值,即可求解.【详解】∵,∠A=∠A,∴∆ABD~∆ACB,∴,即:,∴AC=8,∴CD=AC-AD=8-2=6,故选C.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质定理,掌握相似三角形的判定定理,是解题的关键.12、B【分析】根据二次函数的性质解答即可.【详解】二次函数y=x2+2的对称轴为直线.故选B.【点睛】本题考查了二次函数y=a(x-h)2+k(a,b,c为常数,a≠0)的性质,熟练掌握二次函数y=a(x-h)2+k的性质是解答本题的关键.y=a(x-h)2+k是抛物线的顶点式,a决定抛物线的形状和开口方向,其顶点是(h,k),对称轴是x=h.二、填空题(每题4分,共24分)13、y=0.2(x-2)+2【解析】解:∵函数y=(x﹣2)2+1的图象过点A(1,m),B(4,n),∴m=(1﹣2)2+1=1,n=(4﹣2)2+1=1,∴A(1,1),B(4,1),过A作AC∥x轴,交B′B的延长线于点C,则C(4,1),∴AC=4﹣1=1.∵曲线段AB扫过的面积为12(图中的阴影部分),∴AC•AA′=1AA′=12,∴AA′=4,即将函数y=(x﹣2)2+1的图象沿y轴向上平移4个单位长度得到一条新函数的图象,∴新图象的函数表达式是y=(x﹣2)2+2.故答案为y=0.2(x﹣2)2+2.点睛:本题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识,根据已知得出AA′是解题的关键.14、720(1+x)2=1.【分析】增长率问题,一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率),参照本题,如果该企业全年收入的年平均增长率为x,根据2017年全年收入720万元,2019年全年收入1万元,即可得出方程.【详解】解:设该企业全年收入的年平均增长率为x,则2018的全年收入为:720×(1+x)2019的全年收入为:720×(1+x)2.那么可得方程:720(1+x)2=1.故答案为:720(1+x)2=1.【点睛】本题考查了一元二次方程的运用,解此类题的关键是掌握等量关系式:增长后的量=增长前的量×(1+增长率).15、y=-0.04(x-10)2+4【分析】根据题意设所求抛物线的解析式为y=a(x-h)2+k,由已知条件易知h和k的值,再把点C的坐标代入求出a的值即可;【详解】解:设所求抛物线的解析式为:y=a(x-h)2+k,并假设拱桥顶为C,如图所示:∵由AB=20,AB到拱桥顶C的距离为4m,则C(10,4),A(0,0),B(20,0)把A,B,C的坐标分别代入得a=-0.04,h=10,k=4抛物线的解析式为y=-0.04(x-10)2+4.故答案为y=-0.04(x-10)2+4.【点睛】本题考查二次函数的应用,熟练掌握并利用待定系数法求抛物线的解析式是解决问题的关键.16、【解析】因为向量为单位向量,向量与向量方向相反,且长度为3,所以=,故答案为:.17、.【解析】试题分析:列表或画树状图得出所有等可能的情况数,找出舟舟和嘉嘉同坐2号车的情况数,即可求出所求的概率:列表如下:1
2
1
(1,1)
(2,1)
2
(1,2)
(2,2)
∵所有等可能的情况有4种,其中舟舟和嘉嘉同坐2号车的的情况有1种,∴两人同坐3号车的概率P=.考点:1.列表法或树状图法;2.概率.18、2或1【解析】分析:分两种情况进行讨论:①弦AB和CD在圆心同侧;②弦AB和CD在圆心异侧;作出半径和弦心距,利用勾股定理和垂径定理求解即可.详解:①当弦AB和CD在圆心同侧时,如图,∵AB=16cm,CD=12cm,∴AE=8cm,CF=6cm,∵OA=OC=10cm,∴EO=6cm,OF=8cm,∴EF=OF-OE=2cm;②当弦AB和CD在圆心异侧时,如图,∵AB=16cm,CD=12cm,∴AF=8cm,CE=6cm,∵OA=OC=10cm,∴OF=6cm,OE=8cm,∴EF=OF+OE=1cm.∴AB与CD之间的距离为1cm或2cm.故答案为2或1.点睛:本题考查了勾股定理和垂径定理的应用.此题难度适中,解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用,小心别漏解.三、解答题(共78分)19、(1);(2),证明见解析;(3)①;②【分析】(1)根据相似三角形的性质,可得,进而列出方程,求出t的值.(2)根据相似三角形的性质,可得,进而根据等量关系以及矩形的性质,得出,进而得出结论.(3)①根据全等三角形的判定,可得出△AMB≌△DNA,再根据全等三角形的性质,即可得出AM=DN,得出方程,求解即可得出答案.【详解】解:(1)∵,∴,∴,解得.(2).证明:∵,∴.∵,∴,∴,即.(3)①∵∴∠ABE+∠BAE=90°∵∴∵AD=AB,∠BAD=∠ADC=90°∴△AMB≌△DNA∴AM=DN∴t=2-2t∴t=②∵由①知,∠BAD=∠ADC=90°∴∵∴=n∴∴t=【点睛】本题主要考察了相似三角形和全等三角形,熟练掌握相似三角形的性质和正确找出线段之间的关系是解题的关键.20、(1)详见解析;(2)画图详见解析,【分析】(1)根据点A、B、C的坐标描点,从而可得到△ABC,利用点A和的坐标关系可判断△ABC先向右平移3个单位,再向上平移2个单位得到,利用此平移规律找到的坐标,然后描点即可得到;(2)按要求画即可,其中旋转90度是关键,根据弧长公式计算即可.【详解】解:(1)如图,即为所求.(2)如图,即为所求,∵绕点按逆时针方向旋转得,∴点经过的路径长是圆心角为90°,半径为:的扇形的弧长,∴.即点经过的路径长为:【点睛】本题考查了平移变换、旋转变换,解题关键在于掌握作图法则.21、(1)该型号自行车的进价为1000元,标价为1元;(2)该型号自行车降价100元或2元时,每月可获利30000元.【分析】(1)设该型号自行车的进价为x元,则标价为(1+50%)x元,根据利润=售价﹣进价结合按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同,即可得出关于x的一元一次方程,解之即可得出结论;(2)设该型号自行车降价y元,则平均每月可售出(50+y)辆,根据总利润=每辆的利润×销售数量,即可得出关于y的一元二次方程,解之即可得出结论.【详解】解:(1)设该型号自行车的进价为x元,则标价为(1+50%)x元,依题意,得:8×[0.9×(1+50%)x﹣x]=7×[(1+50%)x﹣100﹣x],解得:x=1000,∴(1+50%)x=1.答:该型号自行车的进价为1000元,标价为1元.(2)设该型号自行车降价y元,则平均每月可售出(50+y)辆,依题意,得:(1﹣1000﹣y)(50+y)=30000,整理,得:y2﹣300y+200=0,解得:y1=100,y2=2.答:该型号自行车降价100元或2元时,每月可获利30000元.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出一元一次方程;(2)找准等量关系,正确列出一元二次方程.22、(1)k<2且k≠0;(2)x1=2+,x2=2﹣.【解析】(1)利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△=42﹣4k•2>0,然后求出两不等式的公共部分即可;(2)先确定k的最大整数值得到方程x2﹣4x+2=0,然后利用因式分解法解方程即可.【详解】解:(1)由题意得,b2﹣4ac>0即42﹣4k•2>0k<2,又∵一元二次方程k≠0∴k<2且k≠0;(2)∵k<2且k取最大整数∴k=1,当k=1时,x2﹣4x+2=0解得,x1=2+,x2=2﹣.【点睛】本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;当△<0时,方程无实数根.也考查了一元二次方程的定义.23、(1),点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(8,0);(2)当=4时,△PBC的面积最大,最大面积是1.【分析】(1)由抛物线的对称轴是直线x=3,解出a的值,即可求得抛物线解析式,在令其y值为0,解一元二次方程即可求出A和B的坐标;
(2)易求点C的坐标为(0,4),设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0),将B(8,0),C(0,4)代入y=kx+b,解出k和b的值,即得直线BC的解析式;设点P的坐标为(,),过点P作PD∥y轴,交直线BC于点D,则点D的坐标为(,),利用面积公式得出关于x的二次函数,从而求得其最值.【详解】(1)∵抛物线的对称轴是直线,∴,解得,∴抛物线的解析式为:,当时,即,解之得:,,∴点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(8,0),故答案为:,点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(8,0);(2)当时,∴点C的坐标为(0,4)设直线BC的解析式为,将点B(8,0)和点C(0,4)的坐标代入得:,解之得:,∴直线BC的解析式为,假设存在,设点P的坐标为(,),过点P作PD∥轴,交直线BC于点D,交轴于点E,则点D的坐标为(,),如图所示,PD=-()=∴S△PBC=S△PDC+S△PDB====∵-1<0∴当=4时,△PBC的面积最大,最大面积是1.【点睛】本题属于二次函数综合题,综合考查了待定系数法求解析式,一次函数的应用,三角形的面积,解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题.24、(1)x1=,x2=-1;(2)x1=5,x2=-1.【分析】(1)根据一元二次方程的一般形式得出a、b、c的值,利用公式法x=即可得答案;(2)先把常数项移项,再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方,即可得完全平方式,直接开平方即可得答案.【详解】(1)3x2﹣x﹣4=1∵a=3,b=-1,c=-4,∴∴x1=,x1=-1.(2)x2﹣4x﹣5=1x2﹣4x+4=5+4(x﹣2)2=9∴x-2=
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