人教版八年级数学上册重要考点题型精讲精练专题16乘法公式-原卷版+解析

专题16乘法公式【思维导图】◎考点题型1运用平方差公式进行运算平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.【注意】在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如（3）指数变化：如（4）符号变化：如（5）增项变化：如（6）增因式变化：如例．(2023·江苏徐州·七年级期中）计算：_______．变式1．(2023·湖北十堰·八年级期中），，则__．变式2．(2023·山东烟台·八年级期中）计算的结果等于______．变式3．(2023·辽宁沈阳·七年级期中）若，则__________．◎考点题型2平方差公式与几何图形例．(2023·浙江杭州·七年级期中）如图，在边长为a（cm）的大正方形内放入三个边长都为b（cm）（a＞b）的小正方形纸片，这三张纸片没有盖住的面积是4cm2，则a2－2ab＋b2的值为________．变式1．(2023·山西晋中·七年级期中）如图，两个正方形的边长分别为a，，若，，则阴影部分的面积为__________．变式2．(2023·安徽宣城·七年级期中）如图，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是______．变式3．(2023·江苏泰州·七年级期中）如图，用图1中2张B型纸片（长为a、宽为b的长方形）按图2所示的方法放置于1张A型纸片（边长为α的正方形）上，己知B型纸片的面积是7，阴影部分的面积是8，则B型纸片的周长是_____________．◎考点题型3运用完全平方公式进行运算1、完全平方公式：两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.【注意】公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍。以下是常见的变形：2、补充公式；；；.例．(2023·江苏徐州·七年级期中）已知，则代数式的值为_______．变式1．(2023·山东枣庄·七年级期中）计算（x﹣y）6÷（y﹣x）3÷（x﹣y）＝_____．变式2．(2023·山东烟台·期中）已知，则的值为_______．变式3．(2023·陕西西安·七年级期中）已知（x﹣3）2＝x2﹣（m﹣2）x+9，则m＝_____．◎考点题型4通过完全平方式变形求值例．（2023·安徽安庆·七年级期末）已知，，则的值为________．变式1．(2023·山东烟台·八年级期中）若，则xy的值为_____________．变式2．(2023·湖南·耒阳市教育研究室八年级期末）若＋＝3，＝2，则x2＋y2=_______．变式3．(2023·河南南阳·八年级期中）已知：．则________．◎考点题型5完全平方式在几何图形中的应用例．(2023·浙江湖州·七年级期末）如图，把三个大小相同的正方形甲，乙，丙放在边长为9的大正方形中，甲与丙的重叠部分面积记为，乙与丙的重叠部分面积记为，且均为正方形，正方形甲、乙一组邻边的延长线构成的正方形面积记为，若，且，则图中阴影部分的面积为______．变式1．(2023·安徽合肥·七年级期末）如图所示，将一张长为，宽为的长方形纸片沿虚线剪成个直角三角形，拼成如图的正方形（相邻纸片之间不重叠，无缝隙），若正方形的面积为，中间空白处的正方形的面积为，则：（1）______；（2）原长方形纸片的周长是______(用m表示)．变式2．(2023·安徽池州·七年级期末）如图，长方形ABCD的周长为6，面积为1，分别以BC、CD为边向外作正方形，则国中阴影部分的面积之和为__________．变式3．(2023·北京顺义·七年级期末）如图中的四边形均为长方形或正方形，根据图形的面积关系，写出一个正确的等式：______．◎考点题型6求完全平方式中的字母系数例．(2023·山东青岛·七年级期中）若9x2+kxy+16y2是完全平方式，则k的值为_____．变式1．(2023·福建漳州·七年级期中）已知是完全平方式，则m的值是______．变式2．(2023·山东济南·期末）如果是完全平方式，则_____．变式3．(2023·江苏宿迁·七年级阶段练习）若多项式9x2﹣2mx+16是一个完全平方式，则m的值为__________．◎考点题型7整式的混合运算例．(2023·山东烟台·期中）化简求值：，其中，．变式1．(2023·江苏淮安·七年级期中）先化简，再求值：（2m+3）·（2m﹣3）﹣（m﹣1）2+（2m）3÷（﹣8m），其中m满足m2+m-3＝0．变式2．(2023·广西贵港·七年级期中）先化简，再求值：，其中．变式3．（2023·河北承德·八年级期末）已知：整式，整式，整式C=2x+2．(1)求AB的值；(2)求AB+C的值；(3)分解因式：AB+C◎考点题型8添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.【注意】添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.例．(2023·全国·七年级专题练习）不改变代数式的值，下列添括号错误的是（

）A． B． C． D．变式1．（2023·天津·七年级期中）下列去（添）括号正确的是（

）A．x－（y－z）＝x－y－zB．－（x＋y－z）＝－x－y－zC．－（x－2y）－（x2＋y2）＝－x＋2y－x2－y2D．2a2＋（－3a－b）－（3c－2d）＝2a2＋3a＋b－3c＋2d变式2．（2023·四川·雅安市名山区车岭镇初级中学七年级期中）下列各式中，去括号或添括号正确的是（

）A．B．C．D．变式3．（2023·山东·鄄城县教学研究室七年级期中）下列各式中，去括号或添括号正确的是（

）A．a2-(2a-b+c)=a2-2a-b+c B．-2x+t-a+1=-(2x+t)-(a-1)C．3x-[5x-(2x+1)]=3x-5x+2x+1 D．a-3x+2y-1=a+(-3x-2y+1)专题16乘法公式【思维导图】◎考点题型1运用平方差公式进行运算平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.【注意】在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如（3）指数变化：如（4）符号变化：如（5）增项变化：如（6）增因式变化：如例．(2023·江苏徐州·七年级期中）计算：_______．答案：分析：根据平方差公式解答．【详解】解：故答案为：．【点睛】本题考查由平方差公式进行计算，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．变式1．(2023·湖北十堰·八年级期中），，则__．答案：分析：由与的值，求出与的值，原式提取公因式变形后，将与的值代入计算即可求出值．【详解】解：∵，，∴，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查二次根式的化简求值，涉及分解因式，平方差公式，去括号，合并同类项等知识，本题采用了整体代入的思想方法．熟练掌握运算法则是解本题的关键．变式2．(2023·山东烟台·八年级期中）计算的结果等于______．答案：分析：根据积的乘方的逆运算对原式进行变形，再利用平方差公式进行计算即可；【详解】解：原式．故答案为：．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，能正确利用平方差公式是解题的关键．变式3．(2023·辽宁沈阳·七年级期中）若，则__________．答案：36分析：先利用平方差公式和已知条件求得，然后代入计算即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴．故答案为：36【点睛】本题考查了平方差公式和代数式求值，其中先利用平方差公式和已知条件求得的值是解本题的关键．◎考点题型2平方差公式与几何图形例．(2023·浙江杭州·七年级期中）如图，在边长为a（cm）的大正方形内放入三个边长都为b（cm）（a＞b）的小正方形纸片，这三张纸片没有盖住的面积是4cm2，则a2－2ab＋b2的值为________．答案：4分析：由题意得到AB=BC=a，AD=EF=b，求得（a-b）2=4，于是得到结论．【详解】解：如图，由题意得，AB=BC=a，AD=EF=b，∴BD=a-b，BE+CF=a-b，∵这三张纸片没有盖住的面积是4cm2，∴（a-b）2=4，∴a2-2ab+b2=（a-b）2=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了整式的混合运算，正确的识别图形是解题的关键．变式1．(2023·山西晋中·七年级期中）如图，两个正方形的边长分别为a，，若，，则阴影部分的面积为__________．答案：41分析：阴影部分的面积为两个正方形的面积和减去两个直角三角形的面积，进而列出算式化简即可．【详解】解：根据题意可得阴影部分面积为：∵，∴．∴阴影部分面积为：41故答案为：41．【点睛】此题考查了完全平方公式，解题关键是根据图形正确列出算式．变式2．(2023·安徽宣城·七年级期中）如图，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是______．答案：30分析：由图可得阴影部分面积为4个直角三角形面积的和．【详解】如图：∵a-b=2，ab=26，∴a2-2ab+b2=4，∴a2+b2=4+2ab=4+52=56，阴影部分的面积=S△ABC+S△CDM+S∆AEF+S∆GHM=2×(a-b)×a+2×b×b=a(a-b)+b2=a2+b2-ab=56-26=30．故答案为：30．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，根据题意列出阴影部分面积的表达式是解决本题的关键．变式3．(2023·江苏泰州·七年级期中）如图，用图1中2张B型纸片（长为a、宽为b的长方形）按图2所示的方法放置于1张A型纸片（边长为α的正方形）上，己知B型纸片的面积是7，阴影部分的面积是8，则B型纸片的周长是_____________．答案：12分析：根据图形分别表示出阴影部分面积以及B型纸片的面积，根据完全平方公式变形即可求解．【详解】解：∵B型纸片的面积是7，阴影部分的面积是8，∴，，，，B型纸片的周长是，故答案为：．【点睛】本题考查了完全平方公式与图形面积，利用完全平方公式变形求值是解题的关键．◎考点题型3运用完全平方公式进行运算1、完全平方公式：两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.【注意】公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍。以下是常见的变形：2、补充公式；；；.例．(2023·江苏徐州·七年级期中）已知，则代数式的值为_______．答案：10分析：先将移项得到，再利用完全平方公式将变形，最后将代入求解．【详解】解：∵，∴，∴．故答案为：10．【点睛】本题主要考查了代数式求值，需要把所给的条件进行变形，再根据完全平方公式求解．变式1．(2023·山东枣庄·七年级期中）计算（x﹣y）6÷（y﹣x）3÷（x﹣y）＝_____．答案：分析：将x-y看作一个整体，根据同底数幂的除法运算法则进行计算即可．【详解】解：（x﹣y）6÷（y﹣x）3÷（x﹣y）故答案为：．【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法运算和完全平方公式，熟练掌握同底数幂的运算法则，是解题的关键．变式2．(2023·山东烟台·期中）已知，则的值为_______．答案：17分析：设，根据换元法进行计算即可求解．【详解】解：设，∵，∴，即，解得，即的值为17．故答案为：17．【点睛】本题考查了完全平方公式，换元法解方程是解题的关键．变式3．(2023·陕西西安·七年级期中）已知（x﹣3）2＝x2﹣（m﹣2）x+9，则m＝_____．答案：8分析：根据完全平方公式展开括号，对应计算即可．【详解】解：∵（x﹣3）2=x2-6x+9=x2﹣（m﹣2）x+9，∴-6=-（m-2），∴m=8，故答案为：8．【点睛】此题考查了完全平方公式的计算法则：（a±b）=a２±2ab+b２．◎考点题型4通过完全平方式变形求值例．（2023·安徽安庆·七年级期末）已知，，则的值为________．答案：7分析：根据完全平公式的变形，即可求解．【详解】解：∵，，∴，，由①-②得：，∴．故答案为：7【点睛】本题主要考查了完全平公式，熟练掌握是解题的关键．变式1．(2023·山东烟台·八年级期中）若，则xy的值为_____________．答案：4分析：先根据完全平方公式把原式变形为，再根据算术平方根和平方的非负性，可得，即可求解．【详解】解：∵，∴，∵，∴，解得：，∴．故答案为：4【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，算术平方根和平方的非负性，熟练掌握完全平方公式，算术平方根和平方的非负性是解题的关键．变式2．(2023·湖南·耒阳市教育研究室八年级期末）若＋＝3，＝2，则x2＋y2=_______．答案：5分析：根据完全平方公式的变式进行求解即可．【详解】解：∵x＋y＝3，xy＝2，∴x2＋y2=(x+y)2-2xy=32-2×2=9-5=5，故答案为：5．【点睛】本题考查利用完全平方公式的变形求代数式的值，解题关键是掌握完全平方公及其变式．变式3．(2023·河南南阳·八年级期中）已知：．则________．答案：3分析：根据题意先求得，然后化简分式，代入计算即可求解．【详解】解：∵，∴，∴原式＝，故答案为：．【点睛】本题考查了分式的化简求值，完全平方公式变形求值，掌握完全平方公式是解题的关键．◎考点题型5完全平方式在几何图形中的应用例．(2023·浙江湖州·七年级期末）如图，把三个大小相同的正方形甲，乙，丙放在边长为9的大正方形中，甲与丙的重叠部分面积记为，乙与丙的重叠部分面积记为，且均为正方形，正方形甲、乙一组邻边的延长线构成的正方形面积记为，若，且，则图中阴影部分的面积为______．答案：分析：设正方形甲，乙，丙的边长为a，由可求得a的值，正方形的边长为m，正方形的边长为n，根据图形列出关于m，n的等式，求出，进而可求得阴影部分的面积．【详解】解：设正方形甲，乙，丙的边长为a，由题意得：，解得，正方形的边长为m，正方形的边长为n，则：，即，又，且，∴，即，∴，由得，即①，由得，即②，由得：，即，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，解题的关键是理解题意，根据题中边长的关系列出等式．变式1．(2023·安徽合肥·七年级期末）如图所示，将一张长为，宽为的长方形纸片沿虚线剪成个直角三角形，拼成如图的正方形（相邻纸片之间不重叠，无缝隙），若正方形的面积为，中间空白处的正方形的面积为，则：（1）______；（2）原长方形纸片的周长是______(用m表示)．答案：

##12+2m分析：（1）由拼图可知，，由完全平方公式可求出答案；（2）原长方形的周长为，利用（1）的结论进行计算即可．【详解】解：（1）∵正方形的面积为，中间空白处的正方形的面积为，∴，，∴，又∵，∴，取正值故答案为：；（2）原长方形的周长为，故答案为：．【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．变式2．(2023·安徽池州·七年级期末）如图，长方形ABCD的周长为6，面积为1，分别以BC、CD为边向外作正方形，则国中阴影部分的面积之和为__________．答案：7分析：设BC=a，CD=b，由题意得，再由完全平方公式，可得．【详解】解：设BC=a，CD=b，可得由完全平方公式得故答案为：7．【点睛】本题考查运用完全平方公式几何背景解决问题的能力，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．变式3．(2023·北京顺义·七年级期末）如图中的四边形均为长方形或正方形，根据图形的面积关系，写出一个正确的等式：______．答案：a2-b2=a（a-b）+b（a-b）（答案不唯一）分析：分别用代数式表示各个部分的面积，再根据面积之间的和差关系得出结论．【详解】解：图形中两个正方形的面积分别为：a2、b2，两个长方形的面积分别为：a（a-b），b（a-b）由面积之间的和差关系可得：a2-b2=a（a-b）+b（a-b）（答案不唯一），故答案为：a2-b2=a（a-b）+b（a-b）（答案不唯一）．【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．◎考点题型6求完全平方式中的字母系数例．(2023·山东青岛·七年级期中）若9x2+kxy+16y2是完全平方式，则k的值为_____．答案：±24分析：根据完全平方公式求解即可．【详解】解：∵9x2+kxy＋16y2＝(3x)2+kxy＋(4y)2是一个完全平方式，∴±2·3x·4y＝kxy，∴k＝±24．故答案为±24．【点睛】此题考查了完全平方式的特点，算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．变式1．(2023·福建漳州·七年级期中）已知是完全平方式，则m的值是______．答案：分析：根据完全平方公式的形式得到，计算即可．【详解】解：∵y2+my+25是一个完全平方式，且25=52，∴，解得，故答案为：．【点睛】此题考查了完全平方公式的形式，熟记完全平方公式的构成形式是解题的关键．变式2．(2023·山东济南·期末）如果是完全平方式，则_____．答案：或##14或-10分析：利用完全平方公式的结构特征求出k的值即可．【详解】解：∵4x2+（k-2）xy+9y2是完全平方式，∴k-2=±12，解得：k=14或k=-10．故答案为：14或-10．【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．变式3．(2023·江苏宿迁·七年级阶段练习）若多项式9x2﹣2mx+16是一个完全平方式，则m的值为__________．答案：分析：利用完全平方公式的结构特征解答即可．【详解】解：是一个完全平方式，，．故答案为：．【点睛】本题考查了完全平方式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．◎考点题型7整式的混合运算例．(2023·山东烟台·期中）化简求值：，其中，．答案：，0分析：先算中括号里的，化简得，再将，代入即可得．【详解】解：=-a-b，∵，，∴原式．【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是能够正确化简．变式1．(2023·江苏淮安·七年级期中）先化简，再求值：（2m+3）·（2m﹣3）﹣（m﹣1）2+（2m）3÷（﹣8m），其中m满足m2+m-3＝0．答案：2m2+2m-10，-4分析：先利用平方差公式与完全平方公式进行整式的乘法运算，同步计算积的乘方，再计算单项式除以单项式，最后合并同类项，再把m2+m-3=0变形为m2+m=3，再整体代入化简后的代数式即可．【详解】解：(2m+3)⋅(2m-3)-(m-1)2+(2m)3÷(-8m)=4m2-9-(m2-2m+1)+8m3÷(-8m)=4m2-9-m2+2m-1-m2=2m2+2m-10，当m2+m-3=0，则m2+m=3，原式=2(m2+m)-10=2×3-10=-4．【点睛】本题考查的是整式的四则混合运算，化简求值，解题的关键是掌握平方差公式和完全平方公式、整式的混合运算顺序和运算法则．变式2．(2023·广西贵港·七年级期中）先化简，再求值：，其中．答案：分析：原式第一项利用平方差公式化简，第二项第三项利用完全平方公式展开，然后合并同类项得到最简结果，将a与b的值代入计算即可求出值，【详解】解：原式===；当时原式=．【点睛】此题考查了整式的混合运算及化简求值，熟练掌握运算顺序和运算法则是解本题的关键．变式3．（2023·河北承德·八年级期末）已知：整式，整式，整式C=2x+2．(1)求AB的值；(2)求AB+C的值；(3)分解因式：AB+C答案：(1)(2)(3)分析：（1）利用平方差公式计算即可；（2）代入直接利用整式运算法则计算即可；（3）根据（2）中求出的结果，利用公式法因式分解即可．（1）解：AB=．（2）解：AB+C===．（3）解：AB+C=，．【点睛】本题考查了整式运算和因式分解，解题关键是熟练运用乘法公式进行计算和运用完全平方公式因式分解．◎考点题型8添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.【注意】添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.例．(2023·全国·七年级专题练习）不改变代数式的值，下列添括号错误的是（

）A． B． C． D．答案：C分析：将各选项代数式去括号，再与已知代数式比较即可．【详解】解：A、a2+（2a-b+c）=a2+2a-b+c，正确，此选项不符合题意；B、a2-（-2a+b-c）=a2+2a-b+c，正确，此选项不符合题意；C、a2-（2a-b+c）=a2-2a+b-c，错误，此选项符合题意；D、a2+2a+（-b+c）=a2+2a-b+c，正确，此选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查整式的加减，将各选项去括号，与题干整式比较是否一致是解题的关键．变式1．（2023·天