人教版八年级数学下册重难点专题提升精讲精练第一次月考重难点特训(一)之二次根式压轴题(原卷版+解析)

第一次月考重难点特训（一）之二次根式压轴题【重难点题型】1．（2022春·四川资阳·九年级四川省安岳中学校考开学考试）下列计算或判断：（1）±3是27的立方根；（2）=a；（3）的平方根是2；（4）=±8；（5）=，其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2023春·全国·八年级专题练习）设为正整数，，，，，…，….，已知，则(

).A．1806 B．2005 C．3612 D．40113．（2022春·河南许昌·八年级许昌市第一中学校考期中）当时，多项式的值为(

).A．1 B． C． D．4．（2021·八年级单元测试）已知，是大于1的自然数，那么的值是（

）.A． B． C． D．5．（2022秋·上海虹口·八年级上外附中校考阶段练习）设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则的值是()A．3 B． C．2 D．6．（2021·山东淄博·统考二模）如图直线a，b都与直线m垂直，垂足分别为M、N，MN＝1，等腰直角△ABC的斜边，AB在直线m上，AB＝2，且点B位于点M处，将等腰直角△ABC沿直线m向右平移，直到点A与点N重合为止，记点B平移平移的距离为x，等腰直角△ABC的边位于直线a，b之间部分的长度和为y，则y关于x的函数图象大致为（）A． B．C． D．7．（2022·全国·八年级专题练习）当时，的值为（

）A．1 B． C．2 D．38．（2021·河南信阳·河南省淮滨县第一中学校考一模）已知.则xy=（

）A．8 B．9 C．10 D．119．（2022秋·八年级单元测试）已知，那么满足上述条件的整数的个数是（

）.A．4 B．5 C．6 D．710．（湖北·统考中考真题）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由，解得，即．根据以上方法，化简后的结果为（）A． B． C． D．11．（2023春·北京海淀·九年级专题练习）在实数范围内分解因式：_____________.12．（2023春·八年级单元测试）设，，当t为___________时，代数式．13．（2023·全国·八年级专题练习）按照一定次序排列的一列数叫数列，一般用、、表示一个数列，可简记为，现有数列满足一个关系式，则_______．14．（2023春·浙江·八年级专题练习）设，求不超过的最大整数______．15．（2022秋·湖北恩施·九年级统考期末）设，其中n为正整数，则____．16．（2023春·八年级课时练习）已知，则的值是_____________．17．（2021·北京·九年级专题练习）已知，则的最小值为__．18．（2021秋·广东揭阳·八年级校考阶段练习），，，，，其中n为正整数，则的值是__________．19．（2023春·全国·八年级专题练习）已知，则2x﹣18y2＝_____．20．（2023春·八年级课时练习）观察下列等式：第1个等式：a1=，第2个等式：a2=，第3个等式：a3==2-，第4个等式：a4=，…按上述规律,回答以下问题：(1)请写出第n个等式：an=__________.(2)a1+a2+a3+…+an=_________21．（2020秋·北京顺义·八年级统考期末）为了简洁、明确的表示一个正数的算术平方根，许多数学家进行了探索，期间经历了400余年，直至1637年法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中开始使用“”表示算数平方根．我国使用根号是由李善兰（1811-1882年）译西方数学书时引用的，她在《代数备旨》中把图1所示题目翻译为：则图2所示题目（字母代表正数）翻译为_____________，计算结果为_______________.22．（2021春·安徽合肥·八年级统考期末）阅读理解:对于任意正整数，，∵，∴，∴，只有当时，等号成立；结论：在（、均为正实数）中，只有当时，有最小值.若，有最小值为__________．23．（2021·浙江·九年级自主招生）（1）已知其中，化简求值；（2）已知，探究m与n的关系．24．（2023春·安徽蚌埠·九年级专题练习）阅读材料已知下面一列等式：；；；(1)请用含的等式表示你发现的规律___________________；(2)证明一下你写的等式成立；(3)利用等式计算：；(4)计算：．25．（2022秋·福建漳州·八年级福建省漳州第一中学校考阶段练习）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：若设（其中、、、均为整数），则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______；(2)若，且、、均为正整数，求的值；(3)化简下列格式：①②③．26．（2022秋·四川内江·八年级四川省内江市第六中学校考期中）（1）一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬1个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为p．①则p的值=；②若p的小数部分为k，求的值．（2）已知与互为相反数，①则的平方根；②解关于x的方程．（3）已知正实数x的平方根是m和．①当时，则m；②若，求x的值．27．（2020秋·河南新乡·九年级校考阶段练习）先化简，再求值(1)，其中，；(2)，其中，．28．（2022春·福建龙岩·八年级校考阶段练习）材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负纵变点”为（﹣2，﹣5）．请选择合适的材料解决下面的问题：(1)点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______；(2)化简：；(3)已知a为常数（1≤a≤2），点M（，m）且，点是点M的“横负纵变点”，求点'的坐标．29．（2022秋·河北保定·八年级校考期末）阅读材料：材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例如：，我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是．材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如：，．请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：(1)的有理化因式为____，的有理化因式为____；（均写出一个即可）(2)将下列各式分母有理化：①；②；（要求；写出变形过程）(3)计算：的结果____．30．（2023春·浙江·八年级专题练习）像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：＝＝＝＝．再如：请用上述方法探索并解决下列问题：(1)化简：；(2)化简：；(3)若，且a，m，n为正整数，求a的值．31．（2023春·全国·八年级专题练习）先阅读下列解答过程：形如的式子的化简，只要我们找到两个正数a，b，使，，即，，那么便有．例如：化简．解：首先把化为，这里，，由于，，即，，所以．请根据材料解答下列问题：(1)填空：______；(2)化简：（请写出计算过程）；(3)化简：．32．（2023·全国·八年级专题练习）材料一：有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a且mm＝，则将a±2将变成m2+n2±2n，即变成（m±n）2开方，从而使得化简．例如，5±2＝3+2±2＝（）2+（）2±2×＝（±）2，所以＝＝±：材料二：在进行二次根式的化简时，我们有时会碰到如，，．这样的式子＝＝（一）；＝＝（二）；＝＝＝﹣1（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：＝＝＝＝﹣1（四）；请根据材料解答下列问题：(1)=；=．(2)化简：++…+．第一次月考重难点特训（一）之二次根式压轴题【重难点题型】1．（2022春·四川资阳·九年级四川省安岳中学校考开学考试）下列计算或判断：（1）±3是27的立方根；（2）=a；（3）的平方根是2；（4）=±8；（5）=，其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【详解】根据立方根的意义，可知27的立方根是3，故（1）不正确；正确，故（2）正确；由=8，可知其平方根为±，故（3）不正确；根据算术平方根的意义，可知，故（4）不正确；根据分母有理化的意义，可知，故（5）正确.故选B.2．（2023春·全国·八年级专题练习）设为正整数，，，，，…，….，已知，则(

).A．1806 B．2005 C．3612 D．4011【答案】A【分析】利用多项式的乘法把各数开方进行计算，然后求出A1，A2，A3的值，从而找出规律并写出规律表达式，再把k=100代入进行计算即可求解.【详解】∵(n+3)(n-1)+4=n2+2n-3+4=n2+2n+1=(n+1)2，∴A1=∵(n+5)A1+4=(n+5)(n+1)+4=n2+6n+5+4=n2+6n+9=(n+3)2，∴A2=∵(n+7)A2+4=(n+7)(n+3)+4=n2+10n+21+4=n2+10n+25=(n+5)2，∴A3=⋯⋯依此类推，Ak=n+(2k-1)∴A100=n+(2×100-1)=2005解得，n=1806.故选A.【点睛】本题是对数字变化规律的考查，对被开方数整理，求出A1，A2，A3，从而找出规律写出规律的表达式是解题的关键.3．（2022春·河南许昌·八年级许昌市第一中学校考期中）当时，多项式的值为(

).A．1 B． C． D．【答案】B【分析】由原式得，得，原式变形后再将代和可得出答案.【详解】∵，，即，．原式．【点睛】本题难度较大，需要对要求的式子进行变形，学会转化.4．（2021·八年级单元测试）已知，是大于1的自然数，那么的值是（

）.A． B． C． D．【答案】C【分析】令，得到，，，进而得到的值，代入即可得到结论．【详解】令，从而，，，∴=，∴原式=．故选C．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算．熟练掌握二次根式混合运算法则是解答本题的关键．5．（2022秋·上海虹口·八年级上外附中校考阶段练习）设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则的值是()A．3 B． C．2 D．【答案】B【分析】根据根号下的数要是非负数，得到a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥0，a-y≥0，推出a≥0，a≤0，得到a=0，代入即可求出y=-x，把y=-x代入原式即可求出答案．【详解】由于根号下的数要是非负数，∴a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥0，a-y≥0，a（x-a）≥0和x-a≥0可以得到a≥0，a（y-a）≥0和a-y≥0可以得到a≤0，所以a只能等于0，代入等式得=0，所以有x=-y，即：y=-x，由于x，y，a是两两不同的实数，∴x＞0，y＜0．将x=-y代入原式得：原式=．故选B．【点睛】本题主要考查对二次根式的化简，算术平方根的非负性，分式的加减、乘除等知识点的理解和掌握，根据算术平方根的非负性求出a、x、y的值和代入求分式的值是解此题的关键．6．（2021·山东淄博·统考二模）如图直线a，b都与直线m垂直，垂足分别为M、N，MN＝1，等腰直角△ABC的斜边，AB在直线m上，AB＝2，且点B位于点M处，将等腰直角△ABC沿直线m向右平移，直到点A与点N重合为止，记点B平移平移的距离为x，等腰直角△ABC的边位于直线a，b之间部分的长度和为y，则y关于x的函数图象大致为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据等腰直角△ABC被直线a和b所截的图形分为三种情况讨论：①当0≤x≤1时，y是BM+BD；②当1＜x≤2时，y是CP+CQ+MN；当2＜x≤3时，y＝AN+AF，分别用x表示出这三种情况下y的函数式，然后对照选项进行选择．【详解】①当0≤x≤1时，如图1所示．此时BM＝x，则DM＝x，在Rt△BMD中，利用勾股定理得BD＝x，所以等腰直角△ABC的边位于直线a，b之间部分的长度和为y＝BM+BD＝（+1）x，是一次函数，当x＝1时，B点到达N点，y＝+1；②当1＜x≤2时，如图2所示，△CPQ是直角三角形，此时y＝CP+CQ+MN＝+1．即当1＜x≤2时，y的值不变是+1．③当2＜x≤3时，如图3所示，此时△AFN是等腰直角三角形，AN＝3﹣x，则AF＝（3﹣x），y＝AN+AF＝（﹣1﹣）x+3+3，是一次函数，当x＝3时，y＝0．综上所述只有D答案符合要求．故选D．【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的方法是动中找静，在不同的情况下找到y与x的函数式．7．（2022·全国·八年级专题练习）当时，的值为（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】A【分析】根据分式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案．【详解】解：原式=将代入得，原式.故选：A.【点睛】本题考查分式的运算以及二次根式的性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察出分母可以开根号，本题属于较难题型．8．（2021·河南信阳·河南省淮滨县第一中学校考一模）已知.则xy=（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】D【分析】利用完全平方公式、平方差公式化简第二个等式即可.【详解】配方得将代入得：计算得：故选：D.【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式的综合应用，熟记公式是解题关键，这两个公式是常考点，需重点掌握.9．（2022秋·八年级单元测试）已知，那么满足上述条件的整数的个数是（

）.A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】利用分母有理化进行计算即可.【详解】由原式得：

所以，因为，,所以.故选C【点睛】此题考查解一元一次不等式的整数解，解题关键在于分母有理化.10．（湖北·统考中考真题）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由，解得，即．根据以上方法，化简后的结果为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题中给的方法分别对和进行化简，然后再进行合并即可.【详解】设，且，∴，∴，∴，∴，∵，∴原式，故选D．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了分母有理化等方法，弄清题意，理解和掌握题中介绍的方法是解题的关键.11．（2023春·北京海淀·九年级专题练习）在实数范围内分解因式：_____________.【答案】【分析】先提取，再将括号里面的式子配方，最后用平方差公式因式分解即可．【详解】解：．故答案为：【点睛】本题考查了利用公式法因式分解以及实数的概念，主要涉及完全平方公式以及平方差公式，熟记完全平方公式以及平方差公式是解题关键．12．（2023春·八年级单元测试）设，，当t为___________时，代数式．【答案】2【分析】根据x，y的表达式，可以观察出，，再将改写为含有与的形式，代入解出t即可．【详解】，，，解得（舍去），．故答案为：2【点睛】本题考查乘法公式的运用，熟练掌握乘法公式并能将二次三项式改写为含有与的形式，是本题的解题关键．13．（2023·全国·八年级专题练习）按照一定次序排列的一列数叫数列，一般用、、表示一个数列，可简记为，现有数列满足一个关系式，则_______．【答案】143【分析】根据数列的关系式，计算、、、，总结规律，证明规律成立，继续计算各项，即可求和．【详解】解：，，，，，，归纳可得：，假设当时成立，有，，则故答案为：143．【点睛】本题考查了数列规律的归纳与二次根式的应用，发现的结果出现的规律是解题关键．14．（2023春·浙江·八年级专题练习）设，求不超过的最大整数______．【答案】【分析】首先将化简，可得，然后再代入原式求出，即可得出答案．【详解】解：，，不超过的最大整数．故答案为：．【点睛】本题主要考查完全平方公式、二次根式的化简，能正确化简是解题的关键．15．（2022秋·湖北恩施·九年级统考期末）设，其中n为正整数，则____．【答案】【分析】计算通项公式，将n=1，2，3，…，2022代入可得结论．【详解】∵n为正整数，∴，∴故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是用裂项法将分式裂项，再寻找抵消规律求和．16．（2023春·八年级课时练习）已知，则的值是_____________．【答案】9【分析】先将原等式变形为，再根据平方的非负性可得，，，由此可求得a、b、c的值，进而可求得答案．【详解】解：∵，∴，∴，∴，，，∴，，，∴，，，∴，故答案为：9．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质和灵活应用完全平方公式是解决此题的关键．17．（2021·北京·九年级专题练习）已知，则的最小值为__．【答案】．【分析】先对变形，根据绝对值的意义得到和为最小值时x、y的取值，进而得到的最小值．【详解】解：，，可理解为在数轴上，数的对应的点到和1两点的距离之和；可理解为在数轴上，数的对应的点到和5两点的距离之和，当，的最小值为3；当时，的最小值为6，的范围为，的范围为，当，时，的值最小，最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的化简，绝对值的意义，能根据二次根式的性质进行化简，并根据绝对值的意义确定x、y的取值是解题关键．18．（2021秋·广东揭阳·八年级校考阶段练习），，，，，其中n为正整数，则的值是__________．【答案】【分析】根据题目条件，先求出，，，的值，代入原式后求出各式的算术平方根，再利用裂项公式进行化简与计算，即可求解．【详解】解：，，，

，，，，，，．故答案为．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是找出，，，的值的规律，再用裂项法求出结果．19．（2023春·全国·八年级专题练习）已知，则2x﹣18y2＝_____．【答案】【分析】直接利用二次根式的性质将已知化简，再将原式变形求出答案．【详解】解：∵一定有意义，∴x≥11，∴﹣|7﹣x|+＝3y﹣2，﹣x+7+x﹣9＝3y﹣2，整理得：＝3y，∴x﹣11＝9y2，则2x﹣18y2＝2x﹣2（x﹣11）＝22．故答案为：22．【点睛】本题考查二次根式有意义的应用，以及二次根式的性质应用，属于提高题．20．（2023春·八年级课时练习）观察下列等式：第1个等式：a1=，第2个等式：a2=，第3个等式：a3==2-，第4个等式：a4=，…按上述规律,回答以下问题：(1)请写出第n个等式：an=__________.(2)a1+a2+a3+…+an=_________【答案】

【分析】（1）由题意，找出规律，即可得到答案；（2）由题意，通过拆项合并，然后进行计算，即可得到答案．【详解】解：∵第1个等式：a1=，第2个等式：a2=，第3个等式：a3==2-，第4个等式：a4=，……∴第n个等式：；故答案为：；（2）==；故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的加减混合运算，以及数字规律问题，解题的关键是掌握题目中的规律，从而进行解题．21．（2020秋·北京顺义·八年级统考期末）为了简洁、明确的表示一个正数的算术平方根，许多数学家进行了探索，期间经历了400余年，直至1637年法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中开始使用“”表示算数平方根．我国使用根号是由李善兰（1811-1882年）译西方数学书时引用的，她在《代数备旨》中把图1所示题目翻译为：则图2所示题目（字母代表正数）翻译为_____________，计算结果为_______________.【答案】

a+3【分析】根据题意可知图中的甲代表a,据此可写出图2中表示的式子.再根据二次根式的性质进行化简.【详解】解：根据题意可知图中的甲代表a,∴图2所示题目（字母代表正数）翻译为.∵a＞0，∴故答案为：；a+3.【点睛】本题考查阅读理解的能力，正确理解题意是关键.22．（2021春·安徽合肥·八年级统考期末）阅读理解:对于任意正整数，，∵，∴，∴，只有当时，等号成立；结论：在（、均为正实数）中，只有当时，有最小值.若，有最小值为__________．【答案】3【分析】根据（、均为正实数），对代数式进行化简求最小值．【详解】解：由题中结论可得即：当时，有最小值为3，故答案为：3．【点睛】准确理解阅读内容，灵活运用题中结论，求出代数式的最小值．23．（2021·浙江·九年级自主招生）（1）已知其中，化简求值；（2）已知，探究m与n的关系．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据分数运算化简，再由二次根式混合运算代入求值即可得到答案；（2）利用平方差公式及完全平方公式恒等变形，最后由配方法求解即可得到答案．【详解】解：（1），，原式；（2），，即，，，即，．【点睛】本题考查分式化简求值及二次根式混合运算，熟练掌握分式运算及二次根式运算是解决问题的关键．24．（2023春·安徽蚌埠·九年级专题练习）阅读材料已知下面一列等式：；；；(1)请用含的等式表示你发现的规律___________________；(2)证明一下你写的等式成立；(3)利用等式计算：；(4)计算：．【答案】(1)(2)见解析(3)(4)【分析】（1）观察已知的四个等式，发现等式的左边是两个分数之积，这两个分数的分子都是1，后面一个分数的分母比前面一个分数的分母大1，并且第一个分数的分母与等式的序号相等，等式的右边是这两个分数之差，据此可以写出一般性等式；（2）根据分数的运算法则即可验证；（3）根据（1）中的结论进行计算即可；（4）先将分母有理化，再合理利用（1）中的结论计算即可．【详解】（1）解：根据题意，由规律可得：它的一般性等式为；（2）证明：原式成立；（3）解：；（4）解：．【点睛】本题是寻找规律的题型，考查了数字的变化规律，还考查了学生分析问题、归纳问题以及解决问题的能力，总结规律要从整体、部分两个方面入手，防止片面总结出错误结论．25．（2022秋·福建漳州·八年级福建省漳州第一中学校考阶段练习）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：若设（其中、、、均为整数），则有，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得：______，______；(2)若，且、、均为正整数，求的值；(3)化简下列格式：①②③．【答案】(1)，(2)12或28(3)①，②，③【分析】（1）利用完全平方公式展开可得到用m、n表示出a、b；（2）利用（1）中结论得到，利用a、m、n均为正整数得到，或，，然后利用计算对应a的值；（3）设，两边平方得到，然后利用（1）中的结论化简得到，最后把写成完全平方形式可得到t的值．【详解】（1）设（其中a、b、m、n均为整数），则有，；故答案为：，；（2）∵，∴，∵a、m、n均为正整数，∴，或，，当，时，；当，时，；即a的值为12或28；（3）①②③设，则，∴．【点睛】本题考查根据二次根式的性质进行化简，解题的关键是在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．26．（2022秋·四川内江·八年级四川省内江市第六中学校考期中）（1）一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬1个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为p．①则p的值=；②若p的小数部分为k，求的值．（2）已知与互为相反数，①则的平方根；②解关于x的方程．（3）已知正实数x的平方根是m和．①当时，则m；②若，求x的值．【答案】（1）①；②9；（2）①；②；（3）①；②4【分析】（1）①根据题意，向右移动则用加，据此可表示出B表示的数；②先根据无理数的估算求得k，进而代入计算即可；（2）互为相反数的两个数的和为0，从而可求得a，b的值，再代入①②进行运算即可；（3）正实数的平方根互为相反数，则有，得到，再代入①②进行求值即可．【详解】解∶（1）①由题意得∶点B表示的数为∶；②∵，∴，∴，∴，∴p的小数部分为，∴；（2）∵与互为相反数，∴，则，解得∶，①当时，，16的平方根为∶；②当时，化为，解得∶；(3)∵正实数x的平方根是m和，∴，得∶，①当时，，解得∶；②∵，，∴，，，则，解得∶，∵x是正实数，．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，非负数性质，算术平方根，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．27．（2020秋·河南新乡·九年级校考阶段练习）先化简，再求值(1)，其中，；(2)，其中，．【答案】(1)，(2)，1【分析】（1）繁琐分式的化简、通分与合并，然后代入a、b的值进行计算（2）因式分解与合并同类项，然后代入m、n的值进行计算【详解】（1）原式当，时，原式（2）原式当，时，原式【点睛】本题主要考查因式分解、通分以及合并同类项，关键是要有熟练的计算能力28．（2022春·福建龙岩·八年级校考阶段练习）材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负纵变点”为（﹣2，﹣5）．请选择合适的材料解决下面的问题：(1)点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______；(2)化简：；(3)已知a为常数（1≤a≤2），点M（，m）且，点是点M的“横负纵变点”，求点'的坐标．【答案】(1)（，）；（，）(2)+(3)（﹣，﹣）【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义，，即可；（2）根据材料一，双重二次根式的化简，将化为，再根据，即可化简；（3）根据，得；将化简得；根据，得，求出的值，求出的坐标，根据横负纵变点”的定义，，即可求出的坐标．（1）∵∴点（，）的“横负纵变点”为（，）∵∴点（，）的“横负纵变点”为（，）故答案为：（，）；（，）．（2）∴化简得：．（3）∵∴∴∴∴∵∴∴∴点（，）∵∴（，）故的坐标为：（，）．【点睛】本题考查了二次根式的加减，新定义等知识，解题的关键是理解新定义公式，化简最简二次根式．29．（2022秋·河北保定·八年级校考期末）阅读材料：材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例如：，我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是．材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如：，．请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：(1)的有理化因式为____，的有理化因式为____；（均写出一个即可）(2)将下列各式分母有理化：①；②；（要求；写出变形过程）(3)计算：的结果____．【答案】(1)，(2)①；②(3)【分析】（1）根据题目中的材料，可以直接写出的有理化因式和的有理化因式；（2）①分子分母同时乘，然后化简即可；②分子分母同时乘2+3，然后化简即可；（3）先将所求式子分母有理化，然后合并同类二次根式即可．（1）由题意可得，的有理化因式为，的有理化因式为，故答案为：，；（2）①；②