第01讲 一元二次方程-2024年新九年级数学暑假提升讲义（人教版 学习新知）

第01讲一元二次方程(3个知识点+3个考点+2个易错分析）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1.理解一元二次方程的概念,能够识别一元二次方程.2.掌握一元二次方程的一般形式和各项的名称,会将一元二次方程化为一般形式3.了解一元二次方程的根的概念,并会检验一元二次方程的根.4.会由具体问题构建一元二次方程.知识点1一元二次方程的概念1.概念等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.2.一元二次方程满足的条件(三要素)(1)是整式方程;(2)只含有一个未知数;(3)整理后未知数的最高次数是2.3.对“未知数的最高次数是2”的理解(1)该项系数不为0:(2)该项未知数指数为2;(3)当方程中的二次项系数含有字母时,字母取值不确定,这个方程不一定是一元二次方程.如,当m=0时,属于一元一次方程.【例1-1】下列选项中，是关于x的一元二次方程的是()A．x2＋eq\f(1,x2)＝1B．3x2－2xy－5y2＝0C．(x－1)(x－2)＝3D．ax2＋bx＋c＝0方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，必须将方程化简后再进行判断．一元二次方程的三个条件：一是方程两边都是整式；二是只含有一个未知数；三是未知数的最高次数是2.上述三个条件必须同时满足，缺一不可．【例1-2】．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）下列方程中，是一元二次方程的是（

）A． B． C． D．【例1-3】．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）已知是一元二次方程，则．【例1-4】（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）若是关于的一元二次方程，则．知识点2一元二次方程的一般形式1.一般形式一元二次方程的一般形式是(a≠0).其中是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.2.一元二次方程的一般形式的特点:方程右边是0,左边是关于x的二次整式,且二次项系数不为0.3.特殊形式二次项系数不为0,当b取0或c取0时,一元二次方程的一般形式呈现如下情况:4.注意事项确定一元二次方程的各项和各项系数时注意不要丢掉前面的符号.一般情况下,将一元二次方程整理为一般形式时,若二次项系数为负数,要乘“-1”把它转化为正数,若有的项系数是分数,要把它转化为整数.【例2-1】将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项．(1)3x2－2＝5x；(2)9x2＝16；(3)2x(3x＋1)＝17；(4)(3x－5)(x＋1)＝7x－2.方法总结：求一元二次方程的各项系数和常数项，必须先把方程化为一般形式，特别要注意确认各项系数和常数项一定要包括前面的符号．【例2-2】把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：方程一般形式二次项系数一次项系数常数项【例2-3】（22-23九年级上·河南许昌·阶段练习）一元二次方程的一次项系数，二次项系数，常数项分别是（

）A．2，1， B．，1， C．1，，8 D．8，1，【例2-4】．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（）A．3 B． C． D．【例2-5】．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）将方程化为后，的值是（

）A．，1， B．，1，C．，， D．，1，【例2-6】．（2022九年级上·全国·专题练习）设a，b，c分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，根据下列条件，写出该一元二次方程．(1)，且；(2)．知识点3一元二次方程的解(根)1.概念使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.如x=2和x=5都是方程的解(根).2.一元二次方程的解(根)满足的条件(1)未知数的值;(2)使方程左右两边相等3.判断一个数是不是一元二次方程的解(根)的方法4.一元一次方程和一元二次方程根的区别【例3-1】方程x2－2x＝0的解为()A．x1＝1，x2＝2B．x1＝0，x2＝1C．x1＝0，x2＝2D．x1＝eq\f(1,2)，x2＝2方法总结：判断一个未知数的值是否是一元二次方程的解，可以把未知数的值代入方程左右两边，能使方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解．【例3-2】．（23-24九年级上·天津宁河·期中）若关于x的一元二次方程有一个根为，则m的值为．【例3-3】（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）若是方程的一个根，求代数式的值．易错点1忽略二次项系数不为0而致错特别提醒:利用一元二次方程的定义求A字母的值时，首先要保证二次项系数不为0.易错点2没有化为一元二次方程的一般形式而致错特别提醒:1写一元二次方程每一项的系数及常数项时要先将其化为一般形式;2将某一项从等号一侧移至另一侧时,注意变号,等号同侧的移项不涉及符号变动.考点一：运用一元二次方程的概念求字母的值1.关于x的方程(k＋1)x|k－1|＋kx＋1＝0是一元二次方程，则k的值为________．方法总结：由一元二次方程的概念满足的条件：未知数最高次数为2，构造方程，解出字母取值，并利用二次项系数不为0排除使二次项系数为0的字母取值，从而确定字母取值．2.（23-24九年级上·云南昭通·期中）关于的方程是一元二次方程，则的值为（

）A．2 B． C． D．13．（23-24九年级上·海南海口·阶段练习）关于的方程是一元二次方程，则的值是考点二：利用一元二次方程根的定义求字母或代数式的值4.已知1是关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0的一个根，则m的值是()A．1B．－1C．0D．无法确定方法总结：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，在涉及方程根的题目中，我们一般是把这个根代入方程左右两边转化为求待定系数的方程来解决问题．5．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（

）A．1 B． C．1或 D．6．（23-24九年级上·河南许昌·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为（

）A．2025 B．2024 C．2023 D．20227．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）若方程的一个实数根为，则的值是（

）A． B． C． D．8．（23-24九年级上·云南怒江·阶段练习）已知m是方程的一个根，求代数式的值．9．（2024·江苏扬州·模拟预测）若是关的方程的解，则的值为．考点三：根据实际问题列一元二次方程在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积为1.6m2.已知床单的长是2m，宽是1.4m，求花边的宽度．请根据题意列出方程．方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当的设出未知数，准确地找出已知量和未知量之间的等量关系，正确的列出方程．11.某型号的手机连续两次降价，单价由原来的5200元降到了1300元．设平均每次降价的百分率为x，则可以列出的一元二次方程是．12．有一群即将毕业的大四学生在一起聚会，每两个人之间互送照片，共送出132张，那么这群大四学生中有多少人。如果设这群大四学生共有x人，那么根据题意可列一元二次方程是.13．（22-23九年级上·甘肃白银·期末）一次排球邀请赛中，每个队之间都要比一场．赛程计划安排天，每天安排场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则可列一元二次方程为．（用一般式表示）一、单选题1．（21-22九年级·全国·假期作业）将方程改写成的形式，则，，的值分别为（）A．2，4，7 B．2，4， C．2，，7 D．2，，2．（23-24九年级上·山东菏泽·阶段练习）下列方程中，是一元二次方程的有（

）①；②；③；④；⑤．A．个 B．个 C．个 D．个3．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）下列一元二次方程中有一个解为的是（

）A． B． C． D．4．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）把一元二次方程化成的形式，问转化后的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（

）A．3，，1 B．，2， C．3，， D．3，2，5．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）当方程的一般式为时，的值为（

）A．5 B． C．1 D．6．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）关于x的一元二次方程的常数项为0，则的值为（

）A．1 B．2 C．0或2 D．0二、填空题7．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）方程化为一般形式为，二次项系数、一次项系数、常数项的和为．8．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）已知方程的一次项系数是，则其常数项是9．（23-24九年级上·广东梅州·期中）方程的一次项系数是．10．（23-24九年级上·新疆和田·期末）已知方程，当时，是关于x的一元二次方程．11．（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）已知是方程的一个根，则12．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）已知关于的一元二次方程有一个根为2，则的值为．三、解答题13．（23-24九年级上·广东梅州·期中）若是关于的一元二次方程的一个解．求的值．14.（2023九年级上·全国·专题练习）将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项．(1)；(2)；(3)；(4)15．（22-23九年级上·河南开封·阶段练习）已知关于x的方程．(1)当k取何值时，此方程是一元一次方程？并求出此方程的根；(2)当k取何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项．16．（23-24九年级上·全国·课后作业）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项：(1)；(2)；(3)；(4)．17．（23-24九年级上·全国·课后作业）将一元二次方程化成一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项．18．（22-23九年级上·江西景德镇·期中）当为什么数时，关于的方程是一元二次方程？写出它的二次项系数，一次项系数和常数项．19．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）若a是方程的一个根，求的值．20．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）已知都是方程的根，求a、b的值和这个一元二次方程的一般形式．21．（23-24九年级上·广东梅州·期中）已知是方程的一个根，求的值．22．（20-21七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读理解：定义：如果关于x的方程（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与（a2≠0，a2、b2、c2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“对称方程”，这样思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个方程的“对称方程”．请用以上方法解决下面问题：（1）填空：写出方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是．（2）关于x方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x＝1互为“对称方程”，求（m+n）2的值．23.（22-23九年级上·福建龙岩·期中）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，是和边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”，比如是“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：(1)试判断方程_______“勾系一元二次方程”（填“是”或“不是”）；(2)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是12，求面积．24.（23-24九年级上·广西玉林·期中）【阅读理解】【定义】如果关于的方程（是常数）与（是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，则这两个方程互为“对称方程”．【举例】求方程的“对称方程”，这样思考：由方程可知，，，根据，求出就能确定这个方程的“对称方程”．请用以上方法解决下面问题：(1)写出方程的“对称方程”是______；(2)若关于的方程与互为“对称方程”，求的值．

第01讲一元二次方程(3个知识点+3个考点+2个易错分析）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1.理解一元二次方程的概念,能够识别一元二次方程.2.掌握一元二次方程的一般形式和各项的名称,会将一元二次方程化为一般形式3.了解一元二次方程的根的概念,并会检验一元二次方程的根.4.会由具体问题构建一元二次方程.知识点1一元二次方程的概念1.概念等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.2.一元二次方程满足的条件(三要素)(1)是整式方程;(2)只含有一个未知数;(3)整理后未知数的最高次数是2.3.对“未知数的最高次数是2”的理解(1)该项系数不为0:(2)该项未知数指数为2;(3)当方程中的二次项系数含有字母时,字母取值不确定,这个方程不一定是一元二次方程.如,当m=0时,属于一元一次方程.【例1-1】下列选项中，是关于x的一元二次方程的是()A．x2＋eq\f(1,x2)＝1B．3x2－2xy－5y2＝0C．(x－1)(x－2)＝3D．ax2＋bx＋c＝0【解析】选项A中的方程分母含有未知数，所以它不是一元二次方程；选项B中的方程含有2个未知数，所以它不是一元二次方程；当a＝0时，选项D中的方程不含二次项，所以它不是一元二次方程，排除A、B、D，故选C.方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，必须将方程化简后再进行判断．一元二次方程的三个条件：一是方程两边都是整式；二是只含有一个未知数；三是未知数的最高次数是2.上述三个条件必须同时满足，缺一不可．【例1-2】．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）下列方程中，是一元二次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义对各选项进行判断．【详解】解：A、该方程含有两个未知数，属于二元二次方程，故本选项不符合题意．B、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．C、该方程化简后只含有一个未知数，且未知数的次数是1，属于一元一次方程，故本选项不符合题意．D、一元二次方程一般形式为，故本选项不符合题意．故选：B．【例1-3】．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）已知是一元二次方程，则．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，可得，求解即可得到答案，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键．【详解】解：∵是一元二次方程，∴，解得：．故答案为：．【例1-4】（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）若是关于的一元二次方程，则．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程．【详解】解：∵是关于的一元二次方程，∴，且，解得：，故答案为：．知识点2一元二次方程的一般形式1.一般形式一元二次方程的一般形式是(a≠0).其中是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.2.一元二次方程的一般形式的特点:方程右边是0,左边是关于x的二次整式,且二次项系数不为0.3.特殊形式二次项系数不为0,当b取0或c取0时,一元二次方程的一般形式呈现如下情况:4.注意事项确定一元二次方程的各项和各项系数时注意不要丢掉前面的符号.一般情况下,将一元二次方程整理为一般形式时,若二次项系数为负数,要乘“-1”把它转化为正数,若有的项系数是分数,要把它转化为整数.【例2-1】将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项．(1)3x2－2＝5x；(2)9x2＝16；(3)2x(3x＋1)＝17；(4)(3x－5)(x＋1)＝7x－2.【分析】先分别将各方程化为一般形式，再指出它们的各部分的名称．【解析】(1)方程化为一般形式为3x2－5x－2＝0，二次项系数是3，一次项系数是－5，常数项是－2.(2)方程化为一般形式为9x2－16＝0，二次项系数是9，一次项系数是0，常数项是－16.(3)方程化为一般形式为6x2＋2x－17＝0，二次项系数是6，一次项系数是2，常数项是－17.(4)方程化为一般形式为3x2－9x－3＝0，二次项系数是3，一次项系数是－9，常数项是－3.方法总结：求一元二次方程的各项系数和常数项，必须先把方程化为一般形式，特别要注意确认各项系数和常数项一定要包括前面的符号．【例2-2】把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：方程一般形式二次项系数一次项系数常数项【答案】见解析【分析】根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【详解】解：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．方程一般形式二次项系数一次项系数常数项311170【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【例2-3】（22-23九年级上·河南许昌·阶段练习）一元二次方程的一次项系数，二次项系数，常数项分别是（

）A．2，1， B．，1， C．1，，8 D．8，1，【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的一般式、一元二次方程的概念，形如，先将式子化为一般式，即可得出答案，熟练掌握一元二次方程的概念是解此题的关键．【详解】解：，，，一元二次方程的一次项系数，二次项系数，常数项分别是，1，，故选：B．【例2-4】．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程的一般式：一般地，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式．根据常数项的定义得到，然后利用平方根的定义得到的值．【详解】解：根据题意得，解得．故选：C．【例2-5】．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）将方程化为后，的值是（

）A．，1， B．，1，C．，， D．，1，【答案】C【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，先去括号，然后移项合并同类项把原方程化为的形式即可得到答案．【详解】解：∵，∴，∴，∴，故选；C．【例2-6】．（2022九年级上·全国·专题练习）设a，b，c分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，根据下列条件，写出该一元二次方程．(1)，且；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据已知设，代入列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出a，b及c的值，写出方程即可；（2）利用非负数之和为0，非负数分别为0求出a，b及c的值，写出方程即可．【详解】（1）解：（1），设，，∴，解得：，∴，则方程为：；（2）解：∵，∴，解得：，则方程为．【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式并根据已知求出的值是解答此题的关键．知识点3一元二次方程的解(根)1.概念使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.如x=2和x=5都是方程的解(根).2.一元二次方程的解(根)满足的条件(1)未知数的值;(2)使方程左右两边相等3.判断一个数是不是一元二次方程的解(根)的方法4.一元一次方程和一元二次方程根的区别【例3-1】方程x2－2x＝0的解为()A．x1＝1，x2＝2B．x1＝0，x2＝1C．x1＝0，x2＝2D．x1＝eq\f(1,2)，x2＝2【解析】把各选项中未知数的值分别代入方程的左右两边，只有选项C中的x1＝0，x2＝2都能使方程x2－2x＝0的左右两边相等，所以选C.方法总结：判断一个未知数的值是否是一元二次方程的解，可以把未知数的值代入方程左右两边，能使方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解．【例3-2】．（23-24九年级上·天津宁河·期中）若关于x的一元二次方程有一个根为，则m的值为．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程中得，然后进行计算即可解答．【详解】解：∵一元二次方程有一个根为，∴，解得：，故答案为：．【例3-3】（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）若是方程的一个根，求代数式的值．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的解．根据一元二次方程根的定义得到，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：是方程的一个根，，，．易错点1忽略二次项系数不为0而致错特别提醒:利用一元二次方程的定义求A字母的值时，首先要保证二次项系数不为0.易错点2没有化为一元二次方程的一般形式而致错特别提醒:1写一元二次方程每一项的系数及常数项时要先将其化为一般形式;2将某一项从等号一侧移至另一侧时,注意变号,等号同侧的移项不涉及符号变动.考点一：运用一元二次方程的概念求字母的值1.关于x的方程(k＋1)x|k－1|＋kx＋1＝0是一元二次方程，则k的值为________．【解析】由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|k－1|＝2，,k＋1≠0，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝3或k＝－1，,k≠－1.))∴k＝3.方法总结：由一元二次方程的概念满足的条件：未知数最高次数为2，构造方程，解出字母取值，并利用二次项系数不为0排除使二次项系数为0的字母取值，从而确定字母取值．2.（23-24九年级上·云南昭通·期中）关于的方程是一元二次方程，则的值为（

）A．2 B． C． D．1【答案】B【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义即可求出答案．【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，∴且，解得．故选：B．3．（23-24九年级上·海南海口·阶段练习）关于的方程是一元二次方程，则的值是【答案】1【分析】本题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数2的整式方程，叫做一元二次方程.，根据未知数的最高次数是2建立等式，再根据即可得到答案．【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，∴，∴，故答案为：．考点二：利用一元二次方程根的定义求字母或代数式的值4.已知1是关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0的一个根，则m的值是()A．1B．－1C．0D．无法确定【解析】根据方程的根的概念，直接代入方程，左右两边相等，但考虑到是一元二次方程，所以二次项系数不能等于0.由此得，(m－1)＋1＋1＝0，解得m＝－1，此时m－1＝－2≠0，∴m＝－1.故选B.方法总结：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，在涉及方程根的题目中，我们一般是把这个根代入方程左右两边转化为求待定系数的方程来解决问题．5．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（

）A．1 B． C．1或 D．【答案】B【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解．根据方程的解是使方程成立的未知数的值，结合一元二次方程的二次项系数不为0，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：，把代入方程得：，∴；故选：B．6．（23-24九年级上·河南许昌·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为（

）A．2025 B．2024 C．2023 D．2022【答案】A【分析】本题考查一元二次方程根的定义、代数式求值等知识，由题意，得到，恒等变形，整体代入代数式即可得到答案，熟记一元二次方程根的定义是解决问题的关键．【详解】解：是方程的一个根，，即，，故选：A．7．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）若方程的一个实数根为，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查一元二次方程的解，依据题意，根据方程的根满足方程，进而将代入方程得，再整体代入即可得解．【详解】解：方程的一个实数根为，．．．故选：B．8．（23-24九年级上·云南怒江·阶段练习）已知m是方程的一个根，求代数式的值．【答案】【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程即可得到答案．【详解】解：∵m是方程的一个根，∴，∴，故答案为：．9．（2024·江苏扬州·模拟预测）若是关的方程的解，则的值为．【答案】2011【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值把代入原方程推出，再根据，利用整体代入法求解即可．【详解】解：∵是关的方程的解，∴，∴，∴，故答案为：2011．考点三：根据实际问题列一元二次方程10.在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积为1.6m2.已知床单的长是2m，宽是1.4m，求花边的宽度．请根据题意列出方程．【解析】设花边的宽度为xm，则由图可知剩下部分的长为(2－2x)m，剩下部分的宽为(1.4－2x)m.∵剩下部分面积为1.6m2，∴可列方程(2－2x)(1.4－2x)＝1.6.方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当的设出未知数，准确地找出已知量和未知量之间的等量关系，正确的列出方程．11.某型号的手机连续两次降价，单价由原来的5200元降到了1300元．设平均每次降价的百分率为x，则可以列出的一元二次方程是．【答案】【分析】根据降价后的价格=原价（1-降低的百分率），即可列出方程；【详解】由题意可得：；故答案是．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，准确分析列方程是解题的关键．12．有一群即将毕业的大四学生在一起聚会，每两个人之间互送照片，共送出132张，那么这群大四学生中有多少人。如果设这群大四学生共有x人，那么根据题意可列一元二次方程是.【答案】x(x-1)=132【分析】设有x人，每两人之间互送照片，即除自己外，每个人都要送出（x-1）张，所以全组共送出x(x-1)张，由送照片总数为132张为等量关系，列出方程即可.【详解】设这群大四学生共有x人，则每人应送出(x-1)张照片，根据题意得，x(x-1)=132.故答案为：x(x-1)=132【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，正确表示x人送出的总照片数是解答此题的关键.13．（22-23九年级上·甘肃白银·期末）一次排球邀请赛中，每个队之间都要比一场．赛程计划安排天，每天安排场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则可列一元二次方程为．（用一般式表示）【答案】【分析】设比赛组织者应邀请个队参赛，依题意得，然后化为一般形式，即可求解．【详解】解：设比赛组织者应邀请个队参赛，依题意得，，即，故答案为：．【点睛】本题考查了列一元二次方程，理解题意，列出一元二次方程是解题的关键．一、单选题1．（21-22九年级·全国·假期作业）将方程改写成的形式，则，，的值分别为（）A．2，4，7 B．2，4， C．2，，7 D．2，，【答案】C【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，掌握“任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式（）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，是一次项系数；叫做常数项”是解题的关键．【详解】解：∵可化为，∴它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为2，，7，故选：C．2．（23-24九年级上·山东菏泽·阶段练习）下列方程中，是一元二次方程的有（

）①；②；③；④；⑤．A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【分析】根据：只含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，进行判断即可．【详解】解：①是一元二次方程；②含有两个未知数，不是一元二次方程；③，不是整式方程，不是一元二次方程；④，是一元二次方程；⑤，是一元二次方程；综上：是一元二次方程的有3个；故选C．3．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）下列一元二次方程中有一个解为的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的解：使一元二次方程两边值相等的未知数的值；把分别代入四个选项中的方程，判断左右两边的值是否相等即可．【详解】解：当时，对于方程，方程左边方程右边，故不是方程的解；对于方程，方程左边方程右边，故是方程的一个解；对于方程，方程左边方程右边，故不是方程的解；对于方程，方程左边方程右边，故不是方程的解；故选：B．4．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）把一元二次方程化成的形式，问转化后的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（

）A．3，，1 B．，2， C．3，， D．3，2，【答案】A【分析】此题考查了一元二次方程一般形式，把原方程化为一元二次方程的一般形式即可得到答案．【详解】解：一元二次方程的一般形式为，的二次项系数、一次项系数、常数项分别为3，，1，故选：A5．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）当方程的一般式为时，的值为（

）A．5 B． C．1 D．【答案】B【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确将原方程整理为一般形式是解题关键．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程，其一般形式为．将原方程整理为一般形式，即可获得答案．【详解】解：将方程整理为一般形式，可得，所以，的值为．故选：B．6．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）关于x的一元二次方程的常数项为0，则的值为（

）A．1 B．2 C．0或2 D．0【答案】B【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式．先根据一元二次方程的定义及一般形式列出关于m的不等式组，求出m的值即可．【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程，常数项是0，∴，解得．故选：B．二、填空题7．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）方程化为一般形式为，二次项系数、一次项系数、常数项的和为．【答案】【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．方程整理为一般形式后，求出二次项系数、一次项系数、常数项的和即可．【详解】解:方程整理得:,二次项系数为1,一次项系数为,常数项为则.故答案为:.8．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）已知方程的一次项系数是，则其常数项是【答案】1【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确掌握各项系数确定方法是解题关键．直接利用一元二次方程各项系数确定方法得出答案．【详解】解：方程的一次项系数是，则其常数项是1，故答案为：19．（23-24九年级上·广东梅州·期中）方程的一次项系数是．【答案】0【分析】本题考查一元二次方程的一般式，解题的关键是掌握一次项系数的定义．根据一元二次方程的一般形式解答．【详解】解：一元二次方程的一次项系数是0．故答案为：0．10．（23-24九年级上·新疆和田·期末）已知方程，当时，是关于x的一元二次方程．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数且未知数的最高次为2的整式方程：据此列式代数计算，即可作答．【详解】解：∵是关于x的一元二次方程．∴，∴，故答案为：．11．（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）已知是方程的一个根，则【答案】4【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，根据题意得出，整体代入，即可求解．【详解】解：∵是方程的一个根，∴，即，∴，故答案为：．12．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）已知关于的一元二次方程有一个根为2，则的值为．【答案】【分析】本题考查一元二次方程的根的定义，将已知根2代入一元二次方程即可求得k的值．【详解】解：将代入，得：，解得，故答案为：．三、解答题13．（23-24九年级上·广东梅州·期中）若是关于的一元二次方程的一个解．求的值．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的解，将代入原方程，找出关于的方程是解题的关键．将代入原方程可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值．【详解】解：将代入原方程得：，，．答：的值为14.（2023九年级上·全国·专题练习）将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项．(1)；(2)；(3)；(4)【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)见解析【分析】先分别将各方程化为一般形式，再指出它们的各部分的名称．【详解】（1）解：方程化为一般形式为，二次项系数是3，一次项系数是，常数项是；（2）解：方程化为一般形式为，二次项系数是9，一次项系数是0，常数项是；（3）解：方程化为一般形式为，二次项系数是6，一次项系数是2，常数项是；（4）解：方程化为一般形式为，二次项系数是3，一次项系数是，常数项是．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．特别要注意确认各项系数和常数项一定要包括前面的符号．15．（22-23九年级上·河南开封·阶段练习）已知关于x的方程．(1)当k取何值时，此方程是一元一次方程？并求出此方程的根；(2)当k取何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项．【答案】(1)，(2)，二次项系数是，一次项系数是，常数项是【分析】（1）根据二次项系数等于零，一次项系数不等于零时是一元一次方程，可得答案；（2）根据二次项系数不等于零是一元二次方程，可得答案．【详解】（1）由是一元一次方程，得，解得，原方程变为：，∴解得；（2）由是一元二次方程，得，解得，∴时，是一元二次方程，二次项系数是，一次项系数是，常数项是．【点睛】本题考查了一元二次方程，二次项系数等于零，一次项系数不等于零是元一次方程得我定义；熟练掌握定义是解答本题的关键．16．（23-24九年级上·全国·课后作业）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)见解析【分析】（1）根据一元二次方程一般式的定义，以及二次项系数、一次项系数、常数项的定义，即可解答；（2）根据一元二次方程一般式的定义，以及二次项系数、一次项系数、常数项的定义，即可解答；（3）根据一元二次方程一般式的定义，以及二次项系数、一次项系数、常数项的定义，即可解答；（4）根据一元二次方程一般式的定义，以及二次项系数、一次项系数、常数项的定义，即可解答．【详解】（1）解：化为一般形式是，二次项系数是4，一次项系数是，常数项是3．（2）解：化为一般形式是，二次项系数是3，一次项系数是0，常数项是．（3）解：化为一般形式是，二次项系数是2，一次项系数是10，常数项是．（4）解：化为一般形式是，二次项系数是3，一次项系数是，常数项是0．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的相关定义，解题的关键是掌握一元二次方程的一般式为，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．17．（23-24九年级上·全国·课后作业）将一元二次方程化成一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项．【答案】二次项系数为，一次项系数为8，常数项为【分析】先把变为一般形式，然后得出答案即可．【详解】解：由得，∴二次项系数为，一次项系数为8，常数项为．【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，形如，把式子化为一元二次方程的一般形式是解题关键．18．（22-23九年级上·江西景德镇·期中）当为什么数时，关于的方程是一元二次方程？写出它的二次项系数，一次项系数和常数项．【答案】当时，关于的方程是一元二次方程，它的二次项系数、一次项系数和常数项分别是，，【分析】先把方程化成一般形式，再根据一元二次方程的定义得出当时，方程是一元二次方程，再求出答案即可．【详解】解：，，关于的方程是一元二次方程，，即当时，关于的方程是一元二次方程，它的二次项系数、一次项系数和常数项分别是，，．19．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）若a是方程的一个根，求的值．【答案】【分析】本题考查一元二次方程的解，根据题意，得到，进而得到，，整体代入代数式进行计算即可．【详