第15讲 锐角三角函数-2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（沪科版 学习新知）

专题15锐角三角函数★知识点1：正弦的概念和求正弦值如右图、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果锐角A确定：sinA=，这个比叫做∠A的正弦.1,不能写成sin·A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin∠BAC，而不能写出sinBAC.2,sin2A表示(sinA)2，而不能写成sinA2.典例分析【例1】（2022秋·安徽安庆·九年级统考阶段练习）如图，点A为边上的任意一点，作于点C，于点D，下列用线段比表示出的值，正确的是（

）A． B． C． D．【例2】（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在中，，则（

）A． B． C． D．【即学即练】1．（2022秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）在中，，是斜边上的高，，则的值为（

）A． B． C． D．2．（2023秋·九年级课时练习）如图，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，则的正弦值是（

）A． B． C． D．★知识点2：已知正弦值求边长根据三角函数的概念和特殊三角函数值，结合已知的条件求出边长即可。典例分析【例1】（2023秋·九年级课时练习）如图，在中，，交的延长线于点，已知，，则的长为(

)

A． B． C． D．无法计算【例2】（2022秋·安徽安庆·九年级统考期末）如图，在中，，，则有（

）

A． B． C． D．即学即练1．（2023春·浙江·九年级阶段练习）已知在中，，，，那么（

）A． B． C． D．2．（2023秋·福建泉州·九年级统考期末）在中，，，，则（

）A．10 B．8 C．5 D．4★知识点3：余弦的概念和求余弦值cosA=，这个比叫做∠A的余弦.典例分析【例1】（2022秋·山东青岛·九年级校考期末）在中，、、对边分别为、、，，若，则（

） B． C． D．【例2】（2022秋·九年级单元测试）如图，若，则的值为（

）

A． B． C． D．即学即练1．（2021秋·广西百色·九年级统考期末）在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，下列各式成立的是（）A． B． C． D．2．（2023秋·九年级课时练习）如图，点A、B、C均在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长均为1，则的值为（

）

A． B． C． D．★知识点4已知余弦值求边长典例分析【例1】（2023·陕西榆林·校考三模）如图，在中，，则的长为（

）

A．4.5 B．5 C． D．【例2】（2023·广东广州·统考二模）如图，在中，，，则的长是（

）

A．6 B．7 C．8 D．9即学即练1．（2023·陕西渭南·统考一模）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，连接，若，则的长为（）A． B． C． D．2.（2022秋·山东烟台·九年级统考期末）在中，，，，则等于（

）A．3 B．2 C． D．★知识点5正切的概念和求正切值tanA=，这个比叫做∠A的正切.典例分析【例1】（2022秋·辽宁大连·九年级统考期末）如图，在中，，，，，则(

)A． B． C． D．【例2】（2023春·天津河东·九年级校考阶段练习）在中，，设，，所对的边分别是a，b，c，则下列各等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．即学即练1．（2022·全国·九年级专题练习）在中，如果各边长度均扩大3倍，则锐角A的正切值（

）A．不变化 B．扩大两倍 C．缩小一半 D．以上都不对2．（2022秋·山东淄博·九年级校考期中）已知在中，，，则的值等于（

）A． B．2 C． D．★知识点6已知正切值求边长典例分析【例1】（2023·上海·九年级假期作业）在中，，那么边的长为（）A． B． C． D．【例2】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）如图，在菱形中，对角线与交于点O，若，，点E是边的中点，则的长为（

）A．5 B．4 C．6 D．8即学即练1．（2023·陕西咸阳·统考二模）如图，在中，，D是的中点，，，则的长为（

）

A．1 B．2 C．4 D．82．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期末）如图，在中，，，点D是上一点，连接．若，，则的长为（

）A．2 B． C．3 D．★知识点7求特殊角的三角函数值0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)三角函数30°45°60°1正弦、余弦的增减性：当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。正切的增减性：当0°<<90°时，tan随的增大而增大1.函数值的取值范围对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是∠A的函数.同样，cosA、tanA也是∠A的函数，其中∠A是自变量，sinA、cosA、tanA分别是对应的函数.其中自变量∠A的取值范围是0°＜∠A＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0.2．锐角三角函数之间的关系：余角三角函数关系：“正余互化公式”如∠A+∠B=90°，那么：sinA=cosB；cosA=sinB；同角三角函数关系：sin2A＋cos2A=1；tanA=30°、45°、60°角的三角函数值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形为本章重中之重，是几何计算题的基本工具，三边的比借助锐角三角函数值记熟练.典例分析【例1】（2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，有三点，，，则（

）

A． B． C． D．【例2】（2023春·天津·九年级专题练习）计算的结果为（

）A． B．1 C． D．即学即练1．（2023春·天津北辰·九年级校考阶段练习）的值等于（

）A． B． C．1 D．2．（2023·上海·九年级假期作业）的值等于(

)A． B． C． D．1★知识点8特殊角的三角函数值判断三角形的形状典例分析【例1】（2023春·山东济南·九年级校考阶段练习）在中，若，，则这个三角形一定是（

）．A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形【例2】（2023春·安徽滁州·九年级校考阶段练习）在中，都是锐角，，则是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形即学即练1（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）若的内角满足，则的形状是（

）A．直角三角形 B．等边三角形C．钝角三角形 D．三角不全相等的锐角三角形2．（2022春·九年级课时练习）若，则ABC的形状是（

）A．含有60°直角三角形 B．等边三角形C．含有60°的任意三角形 D．等腰直角三角形★知识点9已知角度比较三角函数值的大小典例分析【例1】（2022春·九年级单元测试）若，则的正切值的范围是（

）A． B． C． D．【例2】．（2022春·全国·九年级专题练习）已知，关于角α的三角函数的命题有：①，②，③，④，其中是真命题的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个即学即练1．（2022秋·九年级单元测试）三角函数、、之间的大小关系是（

）A． B．C． D．2．（2023春·江苏淮安·九年级校考阶段练习）如果，那么与的差（

）A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定★知识点10利用同角三角函数求值典例分析【例1】（2023春·浙江·九年级阶段练习）已知是锐角，，则的值为（

）A． B． C． D．无法确定【例2】（2022秋·山东聊城·九年级临清市京华中学校考开学考试）在中，，，则值为（）A． B． C． D．即学即练1．（2022春·浙江·九年级专题练习）如图，已知是斜边边上的高，那么下列结论正确的是（

）A． B． C． D．2．（2022春·江苏·九年级专题练习）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosA＝（）A． B． C． D．★知识点11根据三角函数值判断锐角的取值范围典例分析【例1】（2022秋·九年级单元测试）若锐角满足，则的取值范围是（）A． B． C． D．【例2】．（2023春·全国·九年级专题练习）已知为锐角，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．即学即练1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）若cos∠1=0.8，则∠1的度数在（

）范围内．A．0°＜∠1＜30° B．30°＜∠1＜45° C．45°＜∠1＜60° D．60°＜∠1＜90°2．（2022·浙江·九年级专题练习）若∠A是锐角，且sinA＝，则（

）A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°★知识点12互余两角三角函数关系典例分析【例1】（2022秋·安徽六安·九年级校考期末）在中，，，则（

）A． B． C． D．【例2】（2023春·山东青岛·九年级统考期末）下列等式中正确的是（

）A． B．C． D．即学即练1．（2022秋·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期末）在中，，则的值为（

）A． B． C． D．2．（2022秋·安徽六安·九年级统考阶段练习）已知，则锐角A的取值范围是（）A． B． C． D．1．（2022春·九年级单元测试）在，，，则的值是（）A． B． C． D．2．（2023·上海·九年级假期作业）如图，在中，，则下列关系正确的是（

）A． B． C． D．3．（2023秋·湖南益阳·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，点，与轴正半轴的夹角为，则的值为（

）

A． B． C． D．4．（2023秋·云南楚雄·九年级统考期末）在中，，，，则等于（

）A．6 B．7.5 C．8 D．105．（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图，在中，是斜边上的高，，则下列比值中等于的是（

）

A． B． C． D．6．（2023春·河北承德·九年级统考阶段练习）如图，是嘉琪用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，图中线段a与直尺垂直，线段b与数轴垂直，则点D表示的数是（

）A． B． C．2 D．7．（2023春·湖北襄阳·九年级统考期中）在中，，下列等式不一定成立的（）A． B．C． D．8．（2023春·安徽淮南·九年级校联考阶段练习）当时下列不等式成立的是（）A． B．C． D．9．（2022春·九年级单元测试）如图，四边形中，，，，则（）

A． B． C． D．10．（2023秋·九年级单元测试）在中，，，则（）A． B． C． D．11．（2023·湖北黄石·统考模拟预测）计算．12．（2023春·山东威海·九年级统考期中）计算：．13．（2023秋·九年级课时练习）计算：14．（2021秋·上海·八年级期末）如图，在中，，，，求：的面积和的度数．15．（2023·江西南昌·统考一模）（1）；（2）在中，，，求的度数．16．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，已知和射线上一点（点与点不重合），且点到、的距离为、．(1)若，，，试比较、的大小；(2)若，，，都是锐角，且．试判断、的大小，并给出证明．17．（2023春·全国·九年级专题练习）已知，中，，，求、、、．18．（2019春·九年级单元测试）如图1，2，3，根据图中数据完成填空，再按要求答题：____；____；____．（1）观察上述等式，猜想：在中，∠C=90°，都有____；（2）如图4，在中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和勾股定理证明你的猜想；（3）已知∠A＋∠B=90°，且，求的值．19．（2021春·九年级课时练习）如图，在中，于点D．（1）若，求的值；（2）若，求的值．20．（2021·辽宁大连·统考中考真题）如图，四边形为矩形，，，P、Q均从点B出发，点P以2个单位每秒的速度沿的方向运动，点Q以1个单位每秒的速度沿运动，设运动时间为t秒．（1）求的长；（2）若，求S关于t的解析式．

专题15锐角三角函数★知识点1：正弦的概念和求正弦值如右图、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果锐角A确定：sinA=，这个比叫做∠A的正弦.1,不能写成sin·A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin∠BAC，而不能写出sinBAC.2,sin2A表示(sinA)2，而不能写成sinA2.典例分析【例1】（2022秋·安徽安庆·九年级统考阶段练习）如图，点A为边上的任意一点，作于点C，于点D，下列用线段比表示出的值，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由同角的余角相等可得，在三个直角三角形中由正弦函数的定义即可确定答案．【详解】，，，，；故正确的是B选项；故选：B．【点睛】本题考查了正弦函数的定义，同角的余角相等，掌握正弦函数的定义是关键．【例2】（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在中，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据锐角三角函数正弦的定义即可得到答案．【详解】解：，故选：B．【点睛】本题考查正弦，解题的关键是熟知：在直角三角形中，任意一锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作．【即学即练】1．（2022秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）在中，，是斜边上的高，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由勾股定理求出，再证出，然后由锐角三角函数定义求解即可．【详解】解：在中，，∴，，∵是斜边上的高，∴，∴，∴，∴，故C正确．故选：C．

【点睛】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是证明∠ACD＝∠B．2．（2023秋·九年级课时练习）如图，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，则的正弦值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【详解】解：，，，，为直角三角形，且，则，故选：B．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理以及锐角三角函数的定义，熟知在一个三角形中，如果两条边长的平方之和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形是解答此题的关键．★知识点2：已知正弦值求边长根据三角函数的概念和特殊三角函数值，结合已知的条件求出边长即可。典例分析【例1】（2023秋·九年级课时练习）如图，在中，，交的延长线于点，已知，，则的长为(

)

A． B． C． D．无法计算【答案】C【分析】根据三角形的外角的性质以及已知条件，可得，进而可得，根据正弦的定义，即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，∵，，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，等角对等边，正弦的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．【例2】（2022秋·安徽安庆·九年级统考期末）如图，在中，，，则有（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】由，可得，设，则，可得，再利用锐角的三角函数的定义逐一求解即可．【详解】解：∵，∴，设，则，∴，∴，，，；∴A，B，C不符合题意，D符合题意；故选D．【点睛】本题考查的是求解锐角的三角函数值，熟记锐角的三角函数的定义是解本题的关键．即学即练1．（2023春·浙江·九年级阶段练习）已知在中，，，，那么（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角函数的定义即可求解．【详解】解：∵，∴，．故选：A．【点睛】此题主要考查三角函数的定义，熟练掌握该知识点是解题关键．2．（2023秋·福建泉州·九年级统考期末）在中，，，，则（

）A．10 B．8 C．5 D．4【答案】B【分析】根据锐角三角函数和勾股定理进行计算即可．【详解】解：如图，∵，，，∴，∴，∴．故选：B【点睛】本题考查锐角三角函数，勾股定理，掌握锐角三角函数和勾股定理是正确解答的前提．★知识点3：余弦的概念和求余弦值cosA=，这个比叫做∠A的余弦.典例分析【例1】（2022秋·山东青岛·九年级校考期末）在中，、、对边分别为、、，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角函数定义得出，，即可得出答案.【详解】解：由题知，，∴，∴，故选C.【点睛】本题是对三角函数知识的考查，熟练掌握锐角三家函数的定义是解决本题的关键.【例2】（2022秋·九年级单元测试）如图，若，则的值为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】先证明这两个三角形相似，再求的值即可.【详解】解：∵，∴这两个三角形相似，∴∠α=∠β，∴=，故选A.【点睛】此题主要考查了相似三角形判定与性质，三角函数证明这两个三角形相似时解决问题的关键.即学即练1．（2021秋·广西百色·九年级统考期末）在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，下列各式成立的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】正弦是对边比斜边，余弦是邻边比斜边，正切是对边比邻边，据此可判断.【详解】因为∠C=90°，所以c为斜边，根据正弦概念可得，故A错误；根据余弦概念可得，故B错误；根据正切概念可得，故C错误，D正确.【点睛】本题考查三角函数的定义，熟记定义是解题的关键.2．（2023秋·九年级课时练习）如图，点A、B、C均在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长均为1，则的值为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，利用勾股定理得到，进而得到是直角三角形，从而求解.【详解】解：连接，如图所示，

由勾股定理可得：，∴∴是直角三角形，即∴故选：B．【点睛】本题主要考查了求角的余弦值，勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握在方格中利用勾股定理求边长，同时判断三角形形状是解题的关键．★知识点4已知余弦值求边长典例分析【例1】（2023·陕西榆林·校考三模）如图，在中，，则的长为（

）

A．4.5 B．5 C． D．【答案】C【分析】根据，可得，再把的长代入可以计算出的长，利用勾股定理即可求得．【详解】解：，，，，．故选：C．【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握余弦：锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦．【例2】（2023·广东广州·统考二模）如图，在中，，，则的长是（

）

A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】根据余弦函数的定义直接求解即可．【详解】解：在中，，，，故选：A．【点睛】本题考查解直角三角形，掌握余弦函数的定义是解题的关键．即学即练1．（2023·陕西渭南·统考一模）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，连接，若，则的长为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据，，的垂直平分线交于点，可得，根据，可求出，在中，根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵，，的垂直平分线交于点，∴，∴，∵，∴，解得，，∴，在中，由勾股定理可得，，∴的长为，故选：．【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，锐角三角函数，勾股定理的综合，掌握垂直平分线的性质，三角函数的计算方法，直角三角形的勾股定理是解题的关键．2.（2022秋·山东烟台·九年级统考期末）在中，，，，则等于（

）A．3 B．2 C． D．【答案】B【分析】直接根据余弦定义求解即可．【详解】解：∵中，，，，∴，∴AC==2．故选B．【点睛】在Rt△ABC中，若∠C=90°，则∠A的正弦等于∠A的对边比斜边，∠A的余弦等于∠A的邻边比斜边，∠A的正切等于∠A的对边比邻边．★知识点5正切的概念和求正切值tanA=，这个比叫做∠A的正切.典例分析【例1】（2022秋·辽宁大连·九年级统考期末）如图，在中，，，，，则(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正切的定义即可求解．在直角三角形中，锐角的正切值等于这个锐角的对边比邻边．【详解】解：∵在中，，，，∴，故选：C．【点睛】本题考查了正切的定义，掌握正切的定义是解题的关键．【例2】（2023春·天津河东·九年级校考阶段练习）在中，，设，，所对的边分别是a，b，c，则下列各等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据锐角三角函数的定义进行判断即可．【详解】解：由题意可得：，，，∴，，，，故A选项成立，B，C，D不成立，故选A．【点睛】本题考查锐角三角函数，理解锐角三角函数的定义是正确解答的关键．即学即练1．（2022·全国·九年级专题练习）在中，如果各边长度均扩大3倍，则锐角A的正切值（

）A．不变化 B．扩大两倍 C．缩小一半 D．以上都不对【答案】A【分析】锐角三角函数的概念：在直角三角形中，锐角的正切值为对边和邻边的比值．一个角的锐角三角函数值只和角的大小有关，与角的边的长短无关．【详解】∵锐角的正切值为对边和邻边的比值，∴各边长度都扩大倍，锐角的正切值不变.故选：A．【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键.在Rt△ABC中，，，．2．（2022秋·山东淄博·九年级校考期中）已知在中，，，则的值等于（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】由三角函数的定义可知，可设，由勾股定理求出，然后根据正切的定义代入求值即可．【详解】解：∵，∴可设，则，∴，故选：D．【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟练掌握正弦定义：对边与斜边的比值；正切的定义：对边与邻边的比值；是解本题的关键．★知识点6已知正切值求边长典例分析【例1】（2023·上海·九年级假期作业）在中，，那么边的长为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可知，将代入即可求得．【详解】如图所示：在中，，，，故选：C．【点睛】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，明确锐角三角函数的定义求得是解题的关键．【例2】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）如图，在菱形中，对角线与交于点O，若，，点E是边的中点，则的长为（

）A．5 B．4 C．6 D．8【答案】A【分析】根据菱形的性质得到，根据三角函数的定义得到，根据勾股定理得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论．【详解】解：∵四边形是菱形，∴，∵，∴，∴，∴，∵点E是边的中点，∴．故选：A．【点睛】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．即学即练1．（2023·陕西咸阳·统考二模）如图，在中，，D是的中点，，，则的长为（

）

A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】利用正切的定义求得，再根据中点的意义即可求解．【详解】解：∵，，，∴，∴，∵D是的中点，∴，故选：C．【点睛】本题考查了正切函数的定义，掌握“正切函数是直角三角形中，对边与邻边的比值”是解题的关键．2．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期末）如图，在中，，，点D是上一点，连接．若，，则的长为（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【分析】根据两个正切值求出、，即可得到答案；【详解】解：由题意可得，∵，，，∴，，∵，∴，，∴，故答案为B．【点睛】本题考查根据正切求线段，解题的关键是熟练掌握一个角的正切值等于对边比邻边．★知识点7求特殊角的三角函数值0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)三角函数30°45°60°1正弦、余弦的增减性：当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。正切的增减性：当0°<<90°时，tan随的增大而增大1.函数值的取值范围对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是∠A的函数.同样，cosA、tanA也是∠A的函数，其中∠A是自变量，sinA、cosA、tanA分别是对应的函数.其中自变量∠A的取值范围是0°＜∠A＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0.2．锐角三角函数之间的关系：余角三角函数关系：“正余互化公式”如∠A+∠B=90°，那么：sinA=cosB；cosA=sinB；同角三角函数关系：sin2A＋cos2A=1；tanA=30°、45°、60°角的三角函数值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形为本章重中之重，是几何计算题的基本工具，三边的比借助锐角三角函数值记熟练.典例分析【例1】（2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，有三点，，，则（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】如图，取格点D，连接，，则B在上，由，，，证明，可得．【详解】解：如图，取格点D，连接，，则B在上，

∵，，，∴，，，∴，∴；故选C【点睛】本题考查的是坐标与图形，等腰直角三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．【例2】（2023春·天津·九年级专题练习）计算的结果为（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可．【详解】解：故选：C．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．即学即练1．（2023春·天津北辰·九年级校考阶段练习）的值等于（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】根据特殊角的三角函数进行计算即可求解．【详解】解：，故选：B．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．2．（2023·上海·九年级假期作业）的值等于(

)A． B． C． D．1【答案】A【分析】根据进行计算即可得出答案．【详解】解：．故选A．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值．牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．★知识点8特殊角的三角函数值判断三角形的形状典例分析【例1】（2023春·山东济南·九年级校考阶段练习）在中，若，，则这个三角形一定是（

）．A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形【答案】C【分析】根据特殊角的三角函数值和三角形的内角和定理求出角的度数，再进行判断．【详解】解：∵，，∴，，∴，∴是钝角三角形，故选：C．【点睛】本题考查特殊角三角函数值，三角形分类，三角形内角和定理，熟练掌特殊角三角函数值求角度是解题的关键．【例2】（2023春·安徽滁州·九年级校考阶段练习）在中，都是锐角，，则是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形【答案】D【分析】．【详解】解：∵在中，都是锐角，，∴，∴，∴是锐角三角形，故选：D．【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值，三角形内角和定理，三角形的分类，熟知等特殊角的三角函数值是解题的关键．即学即练1（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）若的内角满足，则的形状是（

）A．直角三角形 B．等边三角形C．钝角三角形 D．三角不全相等的锐角三角形【答案】A【分析】根据非负数的性质，求出和的度数，然后可判定的形状．【详解】解：由题意得：，，即，，∴，∴，即的形状是直角三角形．故选：A．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．2．（2022春·九年级课时练习）若，则ABC的形状是（

）A．含有60°直角三角形 B．等边三角形C．含有60°的任意三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】根据绝对值和平方的非负性，可得，从而得到，即可求解．【详解】解∶∵，∴，解得：，∴，∴∠C=90°，∴ABC是含有60°直角三角形．故选：A【点睛】本题主要考查了特殊角锐角三角函数值，绝对值和平方的非负性，熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键．★知识点9已知角度比较三角函数值的大小典例分析【例1】（2022春·九年级单元测试）若，则的正切值的范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据特殊角的三角函数值及余弦函数随角增大而减小解答即可．【详解】解：∵，且一个角的正切值随角的增大而增大，∴，∴．故选：D【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．【例2】．（2022春·全国·九年级专题练习）已知，关于角α的三角函数的命题有：①，②，③，④，其中是真命题的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据结合三角函数的增减性求解即可．【详解】解：由，得，故①正确；∵，，∴，∴，故②错误；当时，，故③错误；，故④正确；故选：B．【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的性质，记住特殊角的三角函数值和掌握锐角三角函数的性质是解题的关键．即学即练1．（2022秋·九年级单元测试）三角函数、、之间的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据三角函数间关系，得出，再根据余弦值随着角度的增大而减小进行判断即可．【详解】解：∵，又，余弦值随着角度的增大而减小，∴，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的特点，解题的关键是根据三角函数间关系，得出．2．（2023春·江苏淮安·九年级校考阶段练习）如果，那么与的差（

）A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定【答案】B【分析】，再根据正弦函数随着角的增大而增大进行分析即可．【详解】∵，正弦函数随着角的增大而增大，∴当时，，，即，故选B．【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，正弦函数值随着角的增大而增大．★知识点10利用同角三角函数求值典例分析【例1】（2023春·浙江·九年级阶段练习）已知是锐角，，则的值为（

）A． B． C． D．无法确定【答案】A【分析】根据一个角的正弦值等于它的余角的余弦值，可知，计算即可得出结果．【详解】解：是锐角，，．故选：A．【点睛】本题主要考查了互余两角的三角函数的关系，解题的关键是掌握一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即．【例2】（2022秋·山东聊城·九年级临清市京华中学校考开学考试）在中，，，则值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用同角三角恒等式计算出，然后根据求解．【详解】解：∵，∴，∴，∴．故选：A．【点睛】本题考查了同角三角函数的关系：熟练掌握同角三角函数之间的关系．即学即练1．（2022春·浙江·九年级专题练习）如图，已知是斜边边上的高，那么下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用直角三角形的边角间关系，计算得结论．【详解】解：∵是斜边边上的高，∴都是直角三角形．在中，∵，故选项B不正确；在中，∵，故选项A、C不正确．在中，∵，∴．∴，故选项D正确．故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．2．（2022春·江苏·九年级专题练习）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosA＝（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据sin2A+cos2A＝1，进行计算即可解答．【详解】解：由题意得：sin2A+cos2A＝1，∴，∴，故选C．【点睛】本题考查了同角三角函数值的关系．解题的关键在于熟练掌握sin2A+cos2A＝1．★知识点11根据三角函数值判断锐角的取值范围典例分析【例1】（2022秋·九年级单元测试）若锐角满足，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用特殊角的三角函数值得到，然后利用锐角的余弦值随着角度的增大而减小求解．【详解】解：，而，，，锐角的取值范围为：．故选：B．【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性：当角度在间变化时，余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）．也考查了特殊角的三角函数值．【例2】．（2023春·全国·九年级专题练习）已知为锐角，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】判断出所给的正切值在最接近的哪两个锐角的正切值之间，即可得到正确选项．【详解】解：∵，，∴．故选：D【点睛】本题主要考查锐角三角函数的增减性知识；判断出所给的正切值在最接近的哪两个锐角的正切值之间是解决本题的关键．即学即练1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）若cos∠1=0.8，则∠1的度数在（

）范围内．A．0°＜∠1＜30° B．30°＜∠1＜45° C．45°＜∠1＜60° D．60°＜∠1＜90°【答案】B【分析】，，由此判断得到正确答案．【详解】解：∵，，∴∴故选：【点睛】本题考查根据锐角三角函数的数值，判断角度的取值范围，牢记特殊三角函数值是关键．2．（2022·浙江·九年级专题练习）若∠A是锐角，且sinA＝，则（

）A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°【答案】A【分析】根据正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），及30°、45°、60°的正弦值可求出.【详解】解：∵∠A是锐角，且sinA＝＜＝sin30°，∴0°＜∠A＜30°，故选：A．【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，锐角的正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），正确理解锐角正弦值的增减性是解题的关键．★知识点12互余两角三角函数关系典例分析【例1】（2022秋·安徽六安·九年级校考期末）在中，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】在中，，，设，则，根据余弦的定义即可得到答案．【详解】解：在中，，，设，则，∴．故选：A．

【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．【例2】（2023春·山东青岛·九年级统考期末）下列等式中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据互余两角的三角函数的关系就可以求解．【详解】解：A．，故此选项不符合题意；B．，故此选项不符合题意；C．，故此选项符合题意；D．，故此选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查互余两角的三角函数之间的关系，如：，（为锐角）．理解和掌握互余两角的三角函数的关系式是解题的关键．即学即练1．（2022秋·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期末）在中，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据互余两角的三角函数的关系即可以求解．【详解】解：在中，，，故选：C．【点睛】本题考查了互为余角的两角的三角函数的关系，一个角的正弦等于它余角的余弦．2．（2022秋·安徽六安·九年级统考阶段练习）已知，则锐角A的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先把所有的三角函数都化成余弦函数，然后利用余弦函数的增减性即可求解．【详解】解：故选：C．【点睛】本题主要考查了余弦函数的增减性及互余三角函数之间的关系，尤其余弦函数的增减性容易出错．1．（2022春·九年级单元测试）在，，，则的值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据正弦的定义可得，即可求出．【详解】解：如图，∵在中，，，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查了求一个角的余弦值，解题的关键是掌握余弦等于邻边与斜边之比，正弦等于对边与斜边之比．2．（2023·上海·九年级假期作业）如图，在中，，则下列关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据三角函数的定义直接逐个判断即可得到答案；【详解】解：由题意可得，∵在中，，，∴，故A错误，不符合题意，，故B错误，不符合题意，，故C错误，不符合题意，，故D正确，符合题意，故选D．【点睛】本题考查三角函数的定义，解题的关键是判断不同直角三角形中的直角边与斜边．3．（2023秋·湖南益阳·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，点，与轴正半轴的夹角为，则的值为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】过P作轴于N，轴于M，根据点P的坐标求出和，解直角三角形求出即可．【详解】解：过P作轴于N，轴于M，则，

∵点，∴，，，∴，故选：A．【点睛】本题考查了点的坐标和解直角三角形，能求出和的长是解此题的关键．4．（2023秋·云南楚雄·九年级统考期末）在中，，，，则等于（

）A．6 B．7.5 C．8 D．10【答案】A【分析】根据正切函数的定义求解可得．【详解】解：在中，∵，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握正切函数的定义．5．（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图，在中，是斜边上的高，，则下列比值中等于的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据，分别写出、、中，关于的比值．【详解】，在中，，在中，，，，，在中，．故选：C【点睛】本题考查了锐角三角函数，熟练掌握三角函数的比值是解题的关键．6．（2023春·河北承德·九年级统考阶段练习）如图，是嘉琪用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，图中线段a与直尺垂直，线段b与数轴垂直，则点D表示的数是（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】利用等角的余弦值相等列等式即可作答．【详解】如图，由图可知：，，，∵线段a与直尺垂直，∴，∵线段b与数轴垂直，∴，∵，∴，∴，∴点D表示的数是，故选：B．【点睛】本题考查了角的余弦值的知识，掌握余弦的定义是解答本题的关键．7．（2023春·湖北襄阳·九年级统考期中）在中，，下列等式不一定成立的（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据三角函数的定义逐项验证即可得到答案．【详解】解：、，，故本选项不符合题意；B、，，故本选项不符合题意；C、，，故本选项符合题意；D、，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查直角三角形中互余两角三角函数的关系以及三角函数的定义，熟练掌握三角函数的定义是关键．8．（2023春·安徽淮南·九年级校联考阶段练习）当时下列不等式成立的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】采用特值法，取当时，计算出各个三角函数值，即可求解．【详解】解：当时，，，，，符合这一结论的只有B．故选：B．【点睛】本题考查了特值法，特殊角的三角函数值，掌握特值法及特殊角的三角函数值是解题的关键．9．（2022春·九年级单元测试）如图，四边形中，，，，则（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】先证明得出，再由即可得出答案．【详解】解：∵，，∴，．∵，∴，．∴，∴，∴，在中，∵，∴，∴．故选：A．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质以及锐角的三角函数，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．10．（2023秋·九年级单元测试）在中，，，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据得到，，根据勾股定理得到，即可得到答案；【详解】解：∵，，∴设，，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查三角函数与勾股定理，解题的关键是根据正切与勾股定理表示．11．（2023·湖北黄石·统考模拟预测）计算．【答案】/【分析】利用负整数指数幂，零指数幂，特殊锐角的三角函数值计算即可．【详解】解：原式，故答案为：．【点睛】本题考查负整数指数幂，零指数幂，特殊锐角的三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．12．（2023春·山东威海·九年级统考期中）计算：．【答案】1【分析】原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．【详解】解：，故答案为：1．【点睛】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13．（2023秋·九年级课时练习）计算：【答案】1【分析】分别进行特殊角的三角函数运算、零指数幂运算、绝对值运算、负整数指数幂运算即可解答．【详解】解：原式，故答案为：1．【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及特殊角的三角函数、零指数幂、绝对值性质、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解答的关键．14．（2021秋·上海·八年级期末）如图，在中，，，，求：的面积和的度数．【答案】；【分析】根据勾股定理解答即可求出的面积，利用三角函数求出的度数．【详解】解：过A作AD⊥BC于D，设BD=x，DC=8-x，由勾股定理可得：即解得:x=∴AD