2024内蒙古中考数学一轮知识点复习 微专题 辅助圆问题（课件）

微专题辅助圆问题模型一定点定长作圆满分技法模型分析已知平面内一定点A和一动点B，若AB长度固定，则动点B的轨迹是以A为圆心，AB长为半径的圆(如图)(依据：圆的定义，圆是平面内所有到定点的距离等于定长的点的集合)．推广：在旋转或折叠问题中，有时会利用“定点定长作圆”模型确定动点的运动轨迹．模型应用1.如图，已知△ABC，将△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△A′BC′，请你在图中画出点A的运动轨迹．第1题图解：点A的运动轨迹如解图所示．2.如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，点F是边AD上一动点，将△AEF沿EF所在直线折叠得到△A′EF，请你在图中画出点A′的运动轨迹．第2题图解：点A′的运动轨迹如解图所示．第2题解图3.(2023南京改编)如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝BD.(1)定点(圆心)为____点，定长(半径)为线段_______________的长，画出辅助圆草图；第3题图BBD(或BA或BC)(1)解：画出辅助圆草图如解图：第3题解图(2)设∠ABC＝α，求∠ADC的度数．(用含α的代数式表示)第3题解图(2)如解图，∵∠ABC＝α，∴所对的圆周角的度数为

，根据圆内接四边形对角互补，可得∠ADC＝180°－

.模型二点圆最值模型分析已知平面内一定点D和⊙O，点E是⊙O上一动点，当D、O、E三点共线时，线段DE有最大(小)值(依据：直径是圆中最长的弦)．具体分以下三种情况讨论(设点O与点D之间距离为d，⊙O半径为r)：位置关系点D在⊙O内点D在⊙O上点D在⊙O外图示位置关系点D在⊙O内点D在⊙O上点D在⊙O外DE的最大值d＋r2rd＋r此时点E的位置连接DO并延长交⊙O于点EDE的最小值r－d0d－r此时点E的位置连接OD并延长交⊙O于点E点E与点D重合连接OD交⊙O于点E5.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6.点E是AB的中点，点F是BC边上一点，将△BEF沿EF折叠，点B的对应点为点P，则线段CP的最小值为________．4.点A，B的坐标分别为A(2，0)，B(0，2)，点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为________．模型应用第4题图第5题图模型三线圆最值模型分析1.AB为⊙O的一条定弦，点C为AB一侧弧上一动点．(1)如图①，点C在优弧

上，当CH⊥AB且CH过圆心O时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，此时S△ABC最大；(2)如图②，点C在劣弧

上，当CH⊥AB且圆心O在CH的延长线上时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，此时S△ABC最大．图①图②2.如图，⊙O与直线l相离，点P是⊙O上的一个动点，设圆心O到直线l的距离为d，⊙O的半径为r，则点P到直线l的最小距离是d－r(如图③)，点P到直线l的最大距离是d＋r(如图④)．图③图④推广：在解决某些面积最值问题时，常利用此模型，将问题转化为求动顶点到定边的最大(小)距离，从而利用面积公式求解．模型应用6.如图，已知∠BOA＝30°，M为OB边上一点，OM＝5，以M为圆心，2为半径作⊙M.则⊙M上的点到直线OA的最大距离为_____，最小距离为_____．第6题图7.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是____．第7题图8.(2023通辽)如图，AB是⊙O的弦，AB＝2，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝60°，若点M，N分别是AB，BC的中点，则图中阴影部分面积的最大值是_________．第8题图模型四定弦定角模型分析模型引入：△ABC中，AB的长度为定值(定弦)，顶点C为动点(定弦的同一侧)，且∠C的度数为定值(定角)，我们把这样的模型根据其特征称为定弦对定角模型．模型探究：如图，点C为同一平面内线段AB外一动点，连接AC，BC，且∠ACB为定值，则点C的运动轨迹可分三种情况：(1)如图①，当∠ACB＜90°时，点C的轨迹为优弧

(不包含A、B两点)；(2)如图②，当∠ACB＝90°时，点C的轨迹为以AB为直径的⊙O(不包含A、B两点)；图②图①∠ACB＝

∠AOB弦AB为直径(3)如图③，当∠ACB＞90°时，点C的运动轨迹为劣弧

(不包含A、B两点)．推广：在几何图形最值问题中，常通过定弦对定角模型来找动点的运动轨迹，解题时作出辅助圆是关键，然后结合求点圆、线圆最值等方法进行相关计算．图③∠AOB＋∠ACB＝180°模型应用9.如图，已知AB＝6，∠ACB＝90°.第9题图(1)定弦为_____，定角为________，画出辅助圆草图及面积最大时点C的位置；AB∠ACB以AB为直径构造辅助圆，如解图，当OC⊥AB时，△ABC的面积最大；第9题解图第9题图(2)△ABC的面积的最大值为____．9【解法提示】∵AB＝6，OC⊥AB，∴△ABC的面积的最大值为×6×3＝9.10.如图，∠AOB＝45°，在边OA，OB上分别有两个动点C、D.连接CD，以CD为直角边作等腰直角△CDE，已知CD＝2.第10题图(1)定弦为______，定角为________，画出辅助圆草图及线段OE最大时点E的位置；CD∠AOB解：辅助圆草图及线段OE最大时点E的位置如解图：第10题解图(2)OE的最大值为________．【解法提示】如解图，在CD的左侧，以CD为斜边，作等腰直角△CDF，则O、F、E三点共线时OE的值最大，∵△CDF和△CDE都是等腰直角三角形，∴∠CDF＝∠CDE＝45°，∴∠EDF＝90°，∵CD＝2，∴DE＝2，DF＝

，由勾股定理得.∴OE＝OF＋EF＝

，∴OE的最大值是.11.如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，点P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP.第11题图(1)定弦为_____，定角为________，画出辅助圆草图及线段PB最小时点P的位置；AC∠APC解：辅助圆草图及线段PB最小时点P的位置如解图；第11题解图(2)线段PB的最小值为________．第11题解图【解法提示】∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2.∵∠PAB＝∠ACP，∴∠PAC＋∠ACP＝∠PAC＋∠PAB＝∠CAB＝60°，∴∠APC＝120°，∴以点O为圆心，AC为弦作⊙O，则点P的运动轨迹是劣弧

，当O、P、B三点共线时，PB有最小值，设OB交AC于点D，如解图，此时PA＝PC，OB⊥AC，则AD＝CD＝

AC＝1，∠PAC＝∠ACP＝30°，∠ABD＝∠ABC＝30°，∴PD＝AD·tan30°＝

AD＝

，BD＝