2024内蒙古中考数学一轮知识点复习 第28课时 圆的基本性质（课件）

第28课时圆的基本性质

考点精讲1

重难点分层练2

内蒙古中考真题及拓展3确定圆的条件弦、弧、圆心角的关系定理推论圆内接正多边形圆的相关概念及性质相关概念性质垂径定理及其推论垂径定理推论结论三角形的外接圆圆内接四边形圆的基本性质圆周角定理及其推论定理推论常见图形结论考点精讲【对接教材】北师：九下第三章P65～P88、P97～P99；

人教：九上第二十四章P79～P91、P105～P110.

1考点

圆的相关概念及性质1.相关概念圆圆可以看成是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形，其中定点就是圆心，定长就是半径．如图，以点O为圆心的圆记作⊙O，线段OC叫做半径弧圆上任意两点间的部分；小于半圆的弧叫做劣弧，如；大于半圆的弧叫做优弧，如弦连接圆上任意两点的线段，如AC，AB.经过圆心的弦叫做直径，直径是最大的弦，如图中AB圆心角顶点在______的角，如∠AOC或∠BOC圆周角顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，如图中________2.性质对称性(1)圆是轴对称图形，其对称轴是任何一条直径所在的直线；(2)圆是中心对称图形，______是它的对称中心旋转不变性圆绕圆心旋转任意角度都与自身重合圆心∠CAB圆心2考点

确定圆的条件圆的确定1.圆心确定圆的______，半径确定圆的______；2.不在同一直线上的三点确定一个圆【满分技法】过不在同一直线上的三点作圆，其实质为作这三点构成的三角形的外接圆3考点

弦、弧、圆心角的关系定理在同圆或______中，相等的圆心角所对的弧_____，所对的弦也相等推论1.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；2.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等位置大小等圆相等4考点

圆周角定理及其推论定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的______推论1.同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧也相等2.半圆(或直径)所对的_______是直角，90°的圆周角所对的弦______

常见图形结论∠APB＝____∠AOB

一半圆周角直径

垂径定理及其推论5考点垂径定理垂直于弦的直径______弦，并且______弦所对的两条弧推论平分弦(不是直径)的直径______于弦，并且______弦所对的两条弧结论1.＝；2.______＝；3.AE＝_____；4.AB⊥_____；5.CD是直径．若其中任意两个结论成立，那么其他三个结论也成立，即“知二推三”，注意：推论中被平分的弦不是直径【满分技法】应用：半径、弦心距和弦的一半构成直角三角形，满足OB2＝OE2＋BE2，常用于在圆中求线段长平分平分垂直平分BECD6考点

三角形的外接圆概念经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆

圆心三角形三条边的____________的交点性质三角形的外心到三角形的三个顶点的距离_____角度关系∠BOC＝2∠A垂直平分线相等7考点

圆内接四边形概念四边形的四个顶点均在同一个圆上的四边形叫做圆的内接四边形

性质1.圆内接四边形的对角______，如图，∠A＋∠BCD＝______，∠B＋∠D＝______2.圆内接四边形的任意一个外角等于它的________(和它相邻的内角的对角)，如图∠DCE＝______互补180°180°内对角∠A8考点

圆内接正多边形边心距如图，设正n边形的边长为a，则边心距

周长l＝na面积中心角【满分技法】正六边形的边长等于其外接圆的半径，正三角形的边长等于其外接圆半径的倍，正方形的边长等于其外接圆半径的倍

θ＝S＝lr＝nar证明：圆内接四边形的对角互补．已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形．求证：∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.【自主作答】证明：如解图，连接OB，OD.题图∵∠A所对的弧为

，∠C所对的弧为

，又∵和

所对的圆心角的和是周角，∴∠A＋∠C＝

＝180°.同理∠ABC＋∠ADC＝180°.回归教材重难点分层练回顾必备知识例1一题多设问如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点(点C与点D在AB异侧)，连接CD交AB于点E，连接OC、AD、BD.例1题图例1题图(1)∠ACB＝_____；【解题依据】用到的圆的性质为______________________.90°(2)若∠BAC＝26°，则∠ACO＝_____，∠BOC＝_____；【解题依据】求∠BOC时用到的圆的性质___________________________________.直径所对的圆周角为90°26°52°(3)若∠ABD＝54°，OC∥BD，则∠ACO＝_____；同弧所对的圆周角等于圆心角的一半27°(4)若∠CAB＝30°，则∠CDB＝_____，若点B为

的中点，则∠BCD＝_____，∠COB＝_____，∠OCB＝_____；【解题依据】第一空用到的圆的性质为______________________.(5)当CD⊥AB时，若AB＝10，CD＝8，则BE＝____.【解题依据】用到的圆的性质为_______________________________________________.30°30°60°60°等弧所对的圆周角相等2垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧例1题图提升关键能力例2一题多设问如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC、AC于点D、E，连接DE.(1)求证：DE＝BD；例2题图①(1)证明：如解图，连接AD、BE，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.又∵AB＝AC，∴∠CAD＝∠BAD.∵∠DBE＝∠CAD，∠DEB＝∠BAD，∴∠DBE＝∠DEB，∴DE＝DB；(2)若AE＝DE，求∠ABD的度数；(2)解：如解图，连接BE，例2题图①∵AE＝DE，∴＝

，∴∠ABE＝∠CBE.∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，易证△ABE≌△CBE(ASA)，∴AB＝CB，又∵AB＝AC，∴AB＝CB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABD＝60°；在△ABE和△CBE中例2题图①(3)若BC＝6，AB＝5，求AE的长；例2题图①(3)解：如解图，∵AB＝AC，∠ADB＝90°，∴BD＝

BC＝3.由勾股定理得，AD＝＝4，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴×BC×AD＝

×AC×BE，即

×6×4＝

×5×BE，∴BE＝

.在Rt△AEB中，由勾股定理得，

；(4)如图②，连接OD、BE，交于点F.①求证：OD⊥BE；例2题图②(4)①证明：如解图，连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝∠ADB＝90°.∵AB＝AC，∴DC＝DB.∵OA＝OB，∴OD是△BAC的中位线，∴OD∥AC，∴∠OFB＝∠AEB＝90°，∴OD⊥BE；②若

，求

的值；②解：∵，∴设CE＝2x，OF＝3x，∵OD⊥BE，∴BF＝EF.由①知BD＝CD，∴DF是△BEC的中位线，∴FD＝

CE＝x，例2题图②∴OD＝OF＋FD＝3x＋x＝4x，∴AB＝AC＝8x，∴，∴，∴BC＝2BD＝

，∴

；例2题图②(5)如图③，过点D作DG⊥AC，交AC于点G.①求证：CD2＝AB·CG；例2题图③(5)①证明：如解图，连接AD，∵AB＝AC，∴∠ABD＝∠GCD.∵∠ADB＝∠DGC＝90°，∴△ADB∽∠DGC，∴.由(4)知DC＝DB，∴，即CD2＝AB·CG；②若OA＝5，sin∠CAB＝

，求DG的长；②解：如解图，连接BE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，又∵sin∠CAB＝

，∴.∵OA＝5，∴AB＝2OA＝10，∴BE＝8.∵DG⊥AC，∴∠DGA＝90°，∵CD＝BD，∴DG∥BE.∴DG是△BEC的中位线，∴DG＝

BE＝4；(6)如图④，过点B作BH⊥AB交AC的延长线于点H.①求证：∠BAC＝2∠CBH；例2题图④(6)①证明：如解图，连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠BAD＋∠ABD＝90°.∵BH⊥AB，∴∠CBH＋∠ABD＝90°，∴∠CBH＝∠BAD.∵AB＝AC，∴∠BAC＝2∠BAD.∴∠BAC＝2∠CBH；②若AB＝3，CH＝2，求tan∠CBH的值．②解：如解图，连接BE，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠BAC＋∠ABE＝90°.∵BH⊥AB，∴∠ABE＋∠EBH＝90°，∴∠BAC＝∠EBH.由①知∠BAC＝2∠CBH，∴∠EBH＝2∠CBH，∴∠EBC＝∠CBH.∵AB＝AC＝3，CH＝2，∴AH＝AC＋CH＝5.例2题图④在Rt△ABH中，

，∵

AB·BH＝

AH·BE，∴

，在Rt△EBH中，

，∴CE＝EH－CH＝

，在Rt△EBC中，tan∠EBC＝

，∴tan∠CBH＝tan∠EBC＝

.例2题图④内蒙古中考真题及拓展1命题点

圆周角定理及其推论的相关计算(包头3考，呼和浩特2考，赤峰4考)1.(2021赤峰10题3分)如图，点C、D在以AB为直径的半圆上，且∠ADC＝120°，点E是

上任意一点，连接

BE、CE.则∠BEC的度数为(

)第1题图A.20°B.30°C.40°D.60°B2.(2022赤峰11题3分)如图，⊙A经过平面直角坐标系的原点O，交x轴于点B(－4，0)，交y轴于点C(0，3)，点D为第二象限内圆上一点，则∠CDO的正弦值是(

)第2题图A.B.－

C.

D.

A3.(2023包头24题10分)如图，在⊙O中，B是⊙O上一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC.(1)求⊙O半径的长；第3题图(1)解：∵∠ABC＝120°，BM平分∠ABC.∴∠MBA＝∠MBC＝

∠ABC＝60°，∴∠ACM＝∠ABM＝60°，∠MAC＝∠MBC＝60°，∴在△AMC中，∠AMC＝60°，∴△AMC是等边三角形．∴AO＝CO，∠AOC＝2∠AMC＝120°.∴∠OAC＝∠OCA＝30°，∴AH＝CH＝

AC＝

.∴在Rt△AOH中，

，∴⊙O的半径长为2；如解图，连接OA、OC，过点O作OH⊥AC于点H.∟第3题图(2)求证：AB＋BC＝BM.(2)证明：如解图，在BM上截取BE＝BC，连接CE，∟E∵∠MBC＝60°，BE＝BC，∴△EBC为等边三角形，∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°，∴∠BCD＋∠DCE＝60°.∵∠ACM＝60°，∴∠ECM＋∠DCE＝60°.∴∠ECM＝∠BCD.第3题图∟E由(1)知△AMC为等边三角形，∴AC＝MC，∴△ACB≌△MCE(SAS)，∴AB＝ME.∵ME＋EB＝BM，∴AB＋BC＝BM.第3题图4.(2021包头24题10分)如图，在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，以AD为直径的⊙O交AB于点E，交AC于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为H，交

于点G，交AD于点M，连接AG，DE，DF.(1)求证：∠GAD＋∠EDF＝180°；第4题图(1)证明：∵AD是⊙O的直径，∴∠AED＝90°.∵FG⊥AB，∴∠AHF＝90°，∴∠AED＝∠AHF，∴DE∥GF，∴∠EDF＋∠DFG＝180°.∵∠GAD＝∠DFG，∴∠GAD＋∠EDF＝180°；第4题图(2)若∠ACB＝45°，AD＝4，tan∠ABC＝2，求HF的长．(2)解：如解图，连接OF，∵AD是BC边上的高，∴∠ADC＝90°.∵∠ACB＝45°，∴∠CAD＝∠ACB＝45°，∴AD＝CD.∵AD是⊙O的直径，∴∠AFD＝90°，∴DF⊥AC，∴AF＝CF.第4题图又∵OA＝OD，∴OF是△ADC的中位线，∴OF∥DC，∴∠AOF＝∠ADC＝90°，∴∠MFO＋∠FMO＝90°.∵∠AHM＝90°，∴∠MAH＋∠AMH＝90°.∵∠FMO＝∠AMH，∴∠MFO＝∠MAH，∴∠MFO＝∠BAD.又∵∠FOM＝∠ADB＝90°，∴△FMO∽△ABD，∴，第4题图在Rt△ABD中，∵tan∠ABD＝

＝2，AD＝4，∴BD＝2，OF＝OA＝2，∴

，∴MO＝1，∴AM＝1，∴在Rt△MOF中，

.∵∠AHM＝∠FOM＝90°，∠AMH＝∠FMO，∴△AHM∽△FOM，∴

，即

，∴HM＝

，∴HF＝HM＋MF＝

.拓展训练5.(2021荆州)如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA的延长线上．若A(2，0)，D(4，0)，以O为圆心、OD长为半径的弧经过点B，交y轴正半轴于点E，连接DE，BE，则∠BED的度数是(

)第5题图A.15°B.22.5°C.30°D.45°C6.(2023本溪)如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C和点D，则tan∠ADC＝____．第6题图2命题点

垂径定理的相关计算7.(2023赤峰10题3分)如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC＝30°，则∠BOC的度数为(

)第7题图A.30°

B.40°C.50°

D.60°D8.(2021玉林)学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题”，下列判断正确的是(

)拓展训练A.两人说的都对B.小铭说的对，小熹说的反例不存在C.两人说的都不对D.小铭说的不对，小熹说的反例存在D9.(2021鄂州)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图①，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图②，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是(

)

第9题图A.1米

B.(4－

)米C.2米

D.(4＋

)米B3命题点

三角形的外接圆10.(2020赤峰10题3分)如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O.若OA＝3，则△ABC外接圆的面积为(

)

第10题图A.3π

B.4πC.6π

D.9πD4命题点

正多边形与圆(呼和浩特5考)11.(2021呼和浩特8题3分)如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径d，根据我国魏晋时期数学家刘徽的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计π的值，下面d及π的值都正确的是(

)A.

，π≈8sin22.5°B.，π≈4sin22.5°C.，π≈8sin22.5°D.，π≈4sin22.5°第11题图C12.(2020呼和浩特23题10分)某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相关线段进行研究，发现多处出现著名的黄金分割比

≈0.618.如图，圆内接正五边形ABCDE，圆心为O，OA与BE交于点H，AC、AD与BE分别交于点M、N.根据圆与正五边形的对称性，只对部分图形进行研究．(其他可同理得出