2024内蒙古中考数学一轮知识点复习 第23课时 解直角三角形及其应用（课件）

第23课时解直角三角形及其应用

考点精讲1

内蒙古中考真题及拓展2解直角三角形及其应用锐角三角函数正弦余弦正切特殊角的三角函数值30°45°60°直角三角形的边角关系三边关系两锐角关系边角关系解直角三角形的实际应用仰角、俯角坡度、坡角方向角考点精讲

【对接教材】北师：九下第一章P1～P27；

人教：九下第二十八章P60～P85.1考点锐角三角函数图示

正弦∠A的正弦：sinA＝

＝____余弦∠A的余弦：cosA＝

＝____正切∠A的正切：tanA＝

＝____(在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A为△ABC中的一锐角)针对训练1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，则cosB的值为(

)

A.

B.C.

D.C2考点特殊角的三角函数值三角函数30°45°60°示意图sinα____

cosα____tanα___1针对训练2.在△ABC中，∠A,∠B满足|cosA－

|＋(1－tanB)2＝0，则∠C的大小是(

)

A.45°

B.60°

C.75°

D.105°

D3考点直角三角形的边角关系三边关系a2＋___＝c2

两锐角关系∠A＋∠B＝_____边角关系sinA＝cosB＝___；cosA＝sinB＝___；tanA＝___；tanB＝___90°b2针对训练3.在Rt△ABC中，AC＝5，∠C＝90°，cosB＝

，则AB＝____，BC＝___，sinA＝____．13124考点解直角三角形的实际应用仰角、俯角在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角坡度(坡比)、坡角坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度(坡比)，用字母i表示；坡面与水平线的夹角α叫坡角；i＝tanα＝方向角一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)×度，A点位于O点的北偏东30°方向，B点位于O点的南偏东60°方向，C点位于O点的北偏西45°方向(或西北方向)针对训练第4题图4.已知，一艘货船在A处，巡逻艇C在其南偏西60°的方向上．(1)如图①，A处在巡逻艇C的___________方向上；(2)如图②，一艘客船在B处，巡逻艇C在其南偏西30°的方向上．①此时从巡逻艇上看这两艘船的视角∠ACB的度数为_____；②若BC＝4海里，则货船沿AC方向航行过程中距离客船B的最短距离为___海里.北偏东60°30°2解直角三角形的实际应用(包头2考，呼和浩特5考，赤峰4考)内蒙古中考真题及拓展第1题图命题点一、解一个直角三角形1.(2023赤峰17题3分)如图，一根竖直的木杆在离地面3.1m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成38°角，则木杆折断之前的高度约为____m．(参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78)8.1二、解两个直角三角形

类型一母子型2.(2021呼和浩特20题8分)如图，线段EF与MN表示某一段河的两岸，EF∥MN.综合实践课上，同学们需要在河岸MN上测量这段河的宽度(EF与MN之间的距离)，已知河对岸EF上有建筑物C、D，且CD＝60米，同学们首先在河岸MN上选取点A处，用测角仪测得C建筑物位于A北偏东45°方向，再沿河岸走20米到达B处，测得D建筑物位于B北偏东55°方向，请你根据所测数据求出该段河的宽度．(用非特殊角的三角函数或根式表示即可)第2题图第2题图

解：如解图，分别过点C、D作CP⊥MN，DQ⊥MN，垂足为P、Q，PQ设河宽为x米，由题意知，△ACP为等腰直角三角形，∴AP＝CP＝x，BP＝x－20，在Rt△BDQ中，∠BDQ＝55°，∴tan55°＝

，∴tan55°·x＝x＋40，∴(tan55°－1)·x＝40，∴

，∴该段河的宽度为

米．3.(2021赤峰16题3分)某滑雪场用无人机测量雪道长度．如图，通过无人机的镜头C观测一段水平雪道一端A处的俯角为50°，另一端B处的俯角为45°，若无人机镜头C处的高度CD为238米，点A，D，B在同一直线上，则雪道AB的长度为_____米．(结果保留整数，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)类型二背靠背型第3题图4384.(2023呼和浩特20题7分)如图①，已知甲地在乙地的正东方向，因有大山阻隔，由甲地到乙地需要绕行丙地，已知丙地位于甲地北偏西30°方向，距离甲地460km，丙地位于乙地北偏东66°方向，现要打通穿山隧道，建成甲乙两地直达高速公路，如果将甲、乙、丙三地当作三个点A、B、C，可抽象成如图②所示的三角形，求甲乙两地之间直达高速线路的长AB.(结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可)第4题图解：如解图，过点C作CD⊥AB于点D，∵丙地位于甲地北偏西30°方向，距离甲地460km，∴在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，∴AD＝

AC＝230km，CD＝

AC＝230km.∵丙地位于乙地北偏东66°方向，∴在Rt△BDC中，∠CBD＝24°，∴BD＝

km.∴AB＝AD＋BD＝(230＋

)km.答：甲乙两地之间直达高速线路的长AB为(230＋

)km.D第4题图5.(2021包头22题8分)某工程队准备从A到B修建一条隧道，测量员在直线AB的同一侧选定C，D两个观测点，如图，测得AC长为

km，CD长为

(＋

)km，BD长为

km，∠ACD＝60°，∠CDB＝135°(A、B、C、D在同一水平面内)．(1)求A、D两点之间的距离；第5题图E解：(1)如解图，过点A作AE⊥CD，垂足为E，∴∠AEC＝90°.∵在Rt△ACE中，sin∠ACE＝

，∠ACD＝60°，AC＝

，第5题图E∴AE＝

·sin60°＝

.∵cos∠ACE＝

，∴CE＝

·cos60°＝

.∵CD＝

(

)，∴DE＝CD－CE＝

，∵在Rt△AED中，AD＝

，∴AD＝

，∴A、D两点之间的距离为

km；(2)求隧道AB的长度．第5题图E(2)∵∠AED＝90°，AE＝DE＝

，∴∠ADE＝45°.∵∠CDB＝135°，∴∠ADB＝∠CDB－∠ADE＝90°，∴△ADB是直角三角形．在Rt△ADB中，AB＝

＝

＝3.∴隧道AB的长度为3km.6.(2022包头22题8分)如图，一个人骑自行车由A地到C地途经B地，当他由A地出发时，发现他的北偏东45°方向有一电视塔P，他由A地向正北方向骑行了3km到达B地，发现电视塔P在他北偏东75°方向，然后他由B地向北偏东15°方向骑行了6km到达C地．(1)求A地与电视塔P的距离；第6题图解：(1)由题意知∠A＝45°，∠NBC＝15°，∠NBP＝75°，如解图，过点B作BE⊥AP于点E，则∠ABE＝90°－45°＝45°，E∴AE＝BE.∵AB＝3，∴AE＝BE＝3.在Rt△BEP中，∠EBP＝180°－∠ABE－∠NBP＝180°－45°－75°＝60°，∴PE＝BE·tan60°＝3，∴AP＝AE＋PE＝3＋3.答：A地与电视塔P的距离为(3＋3)km；第6题图E(2)求C地与电视塔P的距离．(2)∵BE＝3，∠BEP＝90°，∠EBP＝60°，∴BP＝

＝6.又∵∠CBP＝∠NBP－∠NBC＝75°－15°＝60°，BC＝6，∴△BCP是等边三角形，∴CP＝BP＝6.答：C地与电视塔P的距离为6km.第6题图E7.(2021甘肃省卷)如图①是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年(1535年)，是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：方案设计：如图②，宝塔CD垂直于地面，在地面上选取A，B两处分别测得∠CAD和∠CBD的度数(A，D，B在同一条直线上)．第7题图创新考法数据收集：通过实地测量：地面上A，B两点的距离为58m，∠CAD＝42°，∠CBD＝58°.问题解决：求宝塔CD的高度(结果保留一位小数)．参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90