2024内蒙古中考数学一轮知识点复习 第22课时 相似三角形(含位似)（课件）

第22课时相似三角形(含位似)

考点精讲1

重难点分层练2

内蒙古中考真题及拓展3比例线段及性质比例线段比例的性质黄金分割平行线分段成比例相似三角形的性质及判定概念性质判定方法相似多边形及其性质概念性质图形的位似概念性质相似三角形考点精讲

【对接教材】北师：九上第四章P75～P123；

人教：九下第二十七章P23～P59.比例线段及性质1.比例线段概念在四条线段a、b、c、d中，如果其中两条线段的比_____另外两条线段的比，即＝，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段1考点等于2.比例的性质基本性质＝⇔ad＝____(abcd≠0)合比性质如果＝，那么＝______(b，d≠0)等比性质＝＝…＝(b，d，…，n≠0)⇒＝____(b＋d＋…＋n≠0)bc3.黄金分割图示图1概念如图1，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC＞BC)，且，那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫黄金比，即＝≈0.618，≈0.382【满分技法】一条线段上有两个黄金分割点4.平行线分线段成比例图示图2图3图4基本事实两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例，如图2，当l3∥l4∥l5时，有，等推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．如图3，在△ADE和△ABC中，∵DE∥BC，∴，；如图4,在△ADE和△ABC中,∵DE∥BC，∴针对训练1.如果2x＝3y(且xy≠0)，则下列比例式中正确的是(

)A.

B.C.

D.C2.如果

＝

＝

(b＋d≠0)，则

＝___．43.一个偌大的舞台，当主持人站在黄金分割点处时，不仅看起来美观，而且音响效果也非常好，若舞台的长度为10米，那么主持人到较近的一端应为____米(精确到0.1米)．3.84.如图，直线a∥b∥c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.若AB∶BC＝1∶2，DE＝3，则EF的长为___．第4题图65.如图，已知D、E分别为AB、AC上的两点，且DE∥BC，AE＝2CE，AB＝6，则AD的长为___．6.如图，点D、E分别在△ABC的两边BA、CA的延长线上，DE∥BC，已知AE＝3，AC＝6，AD＝2，则BD＝___．第5题图第6题图46相似三角形的性质与判定2考点概念如果两个三角形的两角对应相等，或三条边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形性质1.相似三角形的对应角_____，对应边_______；2.相似三角形对应线段(高、中线、角平分线)成比例，且等于_______；3.相似三角形的周长比等于_______，面积比等于_____________判定方法1.平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；2.三边_______的两个三角形相似；3.两边成比例且夹角_____的两个三角形相似；4._____相等的两个三角形相似相等成比例相似比相似比相似比的平方成比例相等两角【满分技法】相似三角形的判定思路：(1)有平行截线——用平行线的性质，找等角(2)有一对等角，找(3)有两边对应成比例，找另一对等角该角的两边对应成比例夹角相等第三边也对应成比例一对直角针对训练7.如图，在△ABC中，DE∥BC，AE∶EC＝2∶3，则DE∶BC＝_____，△ADE的周长与△ABC的周长之比为_____，△ADE的面积与△ABC的面积之比为_______．第7题图2∶52∶54∶258.如图，在△ABC和△ADE中，∠1＝∠2，有以下四个条件，①∠B＝∠D，②∠C＝∠E，③，④，要使△ABC∽△ADE，只需要添加一个条件即可，这个条件可能是________(填正确条件的序号)．第8题图①②③相似多边形及其性质3考点概念两个边数相同的多边形，如果它们的角分别_____，边_______，那么这两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做_______性质1.相似多边形对应角_____，对应边_______；2.相似多边形的周长比等于_______，面积比等于______________相等成比例相似比相等成比例相似比相似比的平方

针对训练第9题图9.如图，矩形ABCD∽矩形DEFC，且面积比为4∶1，则AE∶ED的值为_____．3∶1图形的位似4考点概念如图，两个多边形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，其中对应点连线的交点O叫做位似中心性质1.两个图形是位似图形，具有相似图形的一切性质；2.对应点的连线都经过同一点；3.对应边互相平行或在同一条直线上；4.位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于位似比【满分技法】位似图形与相似图形的区别：位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形.针对训练第10题图10.如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2∶3，若AB＝4，则DE＝___.611.如图，已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，若点B的坐标为(2，4)，点E的坐标为(－1，2)，则点P的坐标为________.第11题图(－2，0)第1题图证明：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．1.已知：如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE分别交AB、AC于点D、E.求证：

.【自主作答】证明：如解图，过点E作EF∥AB，交BC于点F.F∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形DBFE是平行四边形，

回归教材

，

，∵DE＝BF，∴

，∴

.第1题图F证明：三边成比例的两个三角形相似．2.已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，

.求证：△ABC∽△A′B′C′.【自主作答】第2题图证明：如解图，在线段A′B′(或它的延长线)上截取A′D＝AB，过点D作DE∥B′C′，交A′C′于点E，DE∴△A′DE∽△A′B′C′，∴

，又∵

，A′D＝AB，∴

，

，∴DE＝BC，A′E＝AC，∴△A′DE≌△ABC，∴△ABC∽△A′B′C′.第2题图DE重难点分层练模型一A字型模型分析正A字型斜A字型模型特点有一个公共角(∠A)模型展示DE∥BCDE与BC不平行正A字型斜A字型解题思路(1)由DE∥BC，直接得到两个三角形相似；(2)寻找公共角的对应边成比例，如条件(1)寻找另一组对应角相等，如条件∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B；(2)寻找公共角的对应边成比例，如条件结论△ADE∽△ABC△ADE∽△ACB第1题图模型应用1.如图，在△ABC中，∠B＝45°，点D为BC边上的一点，AD⊥AB，过点D作DE⊥AD，交AC于点E，若AB＝4，DE＝1，则△ABC的面积为____．第2题图2.如图，在△ABC中，AB＝5，D，E分别是边AC和AB上的点，AD·BC＝

.(1)若∠AED＝∠C，则DE的长为___；(2)若∠AED＝∠B，则DE·AC的值为___．模型二8字型模型分析正8字型斜8字型模型特点有一组等角(对顶角∠AOB＝∠COD)模型展示AB∥CDAB与CD不平行正8字型斜8字型解题思路(1)由AB∥CD，直接得到两个三角形相似；(2)寻找对顶角的对应边成比例，如条件(1)寻找另一组对应角相等，如条件∠A＝∠C或∠B＝∠D；(2)寻找公共角的对应边成比例，如条件结论△AOB∽△DOC△AOB∽△COD模型应用第3题图3.如图，线段AE、BD交于点C，连接AB、DE，若AC＝9，CE＝4，BC＝CD＝6，DE＝3，则AB的长为____．4.如图，在

ABCD中，点E是边AD上一点，且AD＝3ED，EC交对角线BD于点F，则

等于___．第4题图5.(2023阜新)如图，已知每个小方格的边长均为1，则△ABC与△CDE的周长比为_____．第5题图2∶1相似三角形的相关计算(包头5考，呼和浩特7考，赤峰5考)内蒙古中考真题及拓展命题点1.(2022赤峰12题3分)如图，D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，AC＝4，则AE的长是(

)

A.1B.2C.3D.4第1题图C第2题图2.(2023包头17题3分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD＝3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N.若AC＝2，则MN的长为___．拓展训练第3题图3.(2023临沂)如图，点A，B都在格点上，若BC＝

，则AC的长为(

)

A.B.C.D.B4.(2023百色)如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°.∠ACB的平分线CD交AB于点D，则点D是线段AB的黄金分割点．若AC＝2，则BD＝______．第4题图5.(2023烟台)《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE

＝0.4米，那么CD为___米．第5题图36.(2023黄冈)如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD.(1)求证：△ABC∽△DEC；第6题图(1)证明：∵∠BCE＝∠ACD，∴∠BCE＋∠ACE＝∠ACD＋∠ACE，即∠ACB＝∠DCE.又∵∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEC；(2)若S△ABC∶S△DEC＝4∶9，BC＝6，求EC的长．第6题图(2)解：由(1)知△ABC∽△DEC，∵S△ABC：S△DEC＝4∶9，∴

，∴

.∵BC＝6，∴EC＝9.7.(2023广元节选)如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB边上一点(含端点A、B)，过点B作BE垂直于射线CD，垂足为E，点F在射线CD上，且EF＝BE，连接AF、BF.(1)求证：△ABF∽△CBE；第7题图(1)证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC