2024内蒙古中考数学一轮知识点复习 第14课时 二次函数的图象与性质（课件）

第14课时

二次函数的图象与性质

内蒙古中考真题及拓展3

考点精讲1

重难点分层练2二次函数图象与性质二次函数图象的平移根据二次函数解析式判断函数性质根据二次函数解析式判断函数图象二次函数的图象与性质二次函数的概念概念特殊形式解析式的三种形式确定二次函数解析式的步骤二次函数解析式的确定考点精讲【对接教材】北师：九下第二章P29～P45；

人教：九上第二十二章P28～P42.1考点二次函数的概念概念形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数特殊形式特别地，当a≠0，b＝c＝0时，y＝ax2是二次函数的特殊形式2考点二次函数的图象与性质1.根据二次函数解析式判断函数性质对称轴1.直接利用公式x＝______求解；2.转化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，则对称轴为直线_________注:还可利用x＝(其中x1、x2为关于对称轴对称的两点的横坐标)求解顶点坐标1.直接利用顶点坐标___________________求解；2.将一般式化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，则顶点坐标为________；3.将对称轴x＝x0代入函数解析式求解

x＝h(，)(h，k)增减性a>0时，在对称轴左侧，y随x的增大而______；在对称轴右侧，y随x的增大而______a<0时，在对称轴左侧，y随x的增大而______；在对称轴右侧，y随x的增大而______最值a>0时，y有最小值_________a<0时，y有最_____值减小增大减小增大大2.根据二次函数解析式判断函数图象a的正负(决定开口方向)a＞0开口________a＜0开口________a，b(决定对称轴位置)b＝0对称轴为y轴a、b同号对称轴在y轴______侧a、b异号对称轴在y轴______侧c(决定与y轴交点的位置)c＝0抛物线过原点c>0抛物线与y轴交于________c<0抛物线与y轴交于负半轴向上向下左右正半轴b2－4ac(决定抛物线与x轴交点个数)b2－4ac＝0与x轴有唯一交点(顶点)b2－4ac>0与x轴有________个交点b2－4ac<0与x轴没有交点两二次函数解析式的确定3考点1.解析式的三种形式一般式________________________顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标是__________交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标y＝ax2＋bx＋c(a≠0)(h，k)2.确定二次函数解析式的步骤方法待定系数法具体方法1.对于二次函数解析式y＝ax2＋bx＋c，若系数a，b，c中有一个未知，则代入二次函数图象上任意一点坐标；若有两个未知，则代入二次函数图象上任意两点坐标；2.对未给定二次函数解析式，根据所给点坐标选择适当的解析式：(1)顶点在原点，可设为y＝ax2；(2)对称轴是y轴(或顶点在y轴上)，可设为y＝ax2＋c；(3)顶点在x轴上，可设为y＝a(x－h)2；(4)抛物线过原点，可设为y＝ax2＋bx；具体方法(5)已知顶点(h，k)时，可设为顶点式y＝a(x－h)2＋k；(6)已知抛物线与x轴的两交点坐标为(x1，0)，(x2，0)时，或已知对称轴及与x轴的一个交点(x1，0)，利用对称轴可求出另外一个交点的坐标(x2，0)，可设为两点式y＝a(x－x1)(x－x2)；(7)已知二次函数图象上任意三点坐标，可设为y＝ax2＋bx＋c；3.联立一次方程(组)，求得系数或常数项；4.将所得系数或常数项代入解析式即可【满分技法】若已知抛物线与x轴相交的其中一个交点是A(x1，0)，且其对称轴是直线x＝h，则另一个交点B的横坐标为x2＝2h－x14考点二次函数图象的平移平移前解析式平移n个单位(n＞0)平移后解析式简记y＝a(x－h)2＋k(a≠0)向左平移n个单位y＝a(x－h)2＋k左“＋”右“－”向右平移n个单位y＝a(x－h)2＋k向上平移n个单位y＝a(x－h)2＋k上“＋”下“－”向下平移n个单位y＝a(x－h)2＋k【满分技法】在一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)平移过程中，先把抛物线的解析式化成顶点式，然后根据平移规律，左右平移给x加减平移单位，上下平移给等号右边整体加减平移单位

＋n－n＋n－n重难点分层练一、二次函数图象与性质例1已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的几组对应值如下表：一题多设问x…－4－3－2－1012…y…－503430－5…回顾必备知识根据表格中的信息，解答下列问题：(1)观察表格可得抛物线与x轴的交点坐标为___________________；与y轴的交点坐标为________；抛物线的对称轴为直线____________；顶点坐标为____________；(0，3)(－3，0)、(1，0)x＝－1(－1，4)x…－4－3－2－1012…y…－503430－5…(2)根据描点法画出该函数的大致图象；例1题图(3)抛物线的开口向________；(4)抛物线的表达式为_____________________，化为顶点式为_____________________；(5)抛物线上的点A(，

)关于抛物线对称轴对称的点B的坐标为_______________；下y＝－x2－2x＋3y＝－(x＋1)2＋4(－

，

)例1题图(6)若点C为抛物线上一点，且到对称轴的距离为1，则点C的坐标为__________________________；(7)若B(－5，y1)，C(－2，y2)，D(4，y3)三点在抛物线上，则y1，y2，y3的大小关系为_________________；(8)当－1≤x≤3时，y的最小值为________，y的最大值为________．y3＜y1＜y2－124(－2，3)或(0，3)例1题图二、二次函数解析式的确定形式一解析式未给出例2(1)已知抛物线以A(－1，4)为顶点，且过点B(2，－5)，求抛物线的解析式；解：(1)∵抛物线以A(－1，4)为顶点，∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)2＋4，将点B(2，－5)代入，得－5＝a(2＋1)2＋4，解得a＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－(x＋1)2＋4＝－x2－2x＋3(2)若抛物线经过(2，0)、(－1，0)、(1，－4)三点，求抛物线的解析式；(2)∵抛物线经过点(2，0)，(－1，0)，∴设抛物线的解析式为y＝a(x－2)(x＋1)，将点(1，－4)代入，得－4＝a(1－2)(1＋1)，解得a＝2，∴抛物线的解析式为y＝2(x－2)(x＋1)＝2x2－2x－4；(3)若抛物线过原点，且经过点(－1，－4)、(2，2)，求抛物线的解析式.(3)∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx，将点(－1，－4)、(2，2)分别代入，

得

解得∴抛物线的解析式为y＝－x2＋3x.形式二解析式已给出例3已知抛物线y＝ax2＋bx＋1.(1)当抛物线经过(1，－2)和(3，－2)两点时，求抛物线的解析式；一题多设问解：(1)将点(1，－2)，(3，－2)代入y＝ax2＋bx＋1，

得

解得∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋1；(2)当抛物线的顶点坐标为(2，－1)时，求抛物线的解析式；(2)由题意得

解得

或(不合题意，舍去)

∴抛物线的解析式为y＝

x2－2x＋1；(3)当抛物线的对称轴为直线x＝－1，且经过点(2，0)时，求抛物线的解析式；(3)∵抛物线的对称轴为直线x＝－1，∴－

＝－1，∴b＝2a，∴y＝ax2＋2ax＋1.将点(2，0)代入，得4a＋4a＋1＝0，解得a＝－

，∴抛物线的解析式为y＝－

x2－

x＋1；(4)若抛物线经过A(2，3)，B(4，5)，C(4，3)三点中的两点，求抛物线的解析式．(4)由题意可知，抛物线经过点(0，1)，∵过点(0，1)和A(2，3)的直线解析式为y＝x＋1，且点B(4，5)也在该直线上，∴抛物线经过A(2，3)，B(4，5)两点中的一点．∵B(4，5)，C(4，3)两点的横坐标相同，∴抛物线经过B(4，5)，C(4，3)两点中的一点，∴抛物线经过A(2，3)，C(4，3)两点．将A(2，3)，C(4，3)两点代入，

得

解得

∴抛物线的解析式为y＝－

x2＋

x＋1.形式三二次函数图象的平移确定解析式例4已知抛物线y＝－x2＋4x－3.(1)将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，求平移后的抛物线的解析式；解：(1)由题意可知，平移后的抛物线的解析式为y＝－(x＋1)2＋4(x＋1)－3＋2，即y＝－x2＋2x＋2；(2)将抛物线沿x轴平移，若平移后的抛物线过点(0，1)，求平移后的抛物线的解析式．(2)抛物线y＝－x2＋4x－3可化为y＝－(x－2)2＋1，设抛物线沿x轴平移h个单位长度，则平移后的解析式为y＝－(x－2＋h)2＋1，∵平移后的抛物线过点(0，1)，∴－(－2＋h)2＋1＝1，解得h＝2，∴平移后的抛物线的解析式为y＝－x2＋1.例5已知抛物线y＝x2＋2mx＋2m2－m.(1)若抛物线过点P(－2，t)、Q(4，t)，则m的值为___________；(2)若x＜3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为________；(3)若抛物线经过第一、二、三象限，则m的取值范围为___________；一题多设问－1m≤－3≤m＜1提升关键能力(4)若点B(2，yB)，C(5，yC)在抛物线上，且yB＞yC，求m的取值范围；(4)∵点B(2，yB)，C(5，yC)在抛物线y＝x2＋2mx＋2m2－m上，∵yB＝4＋4m＋2m2－m，yC＝25＋10m＋2m2－m，∵yB＞yC，∴4＋4m＋2m2－m＞25＋10m＋2m2－m，解得m<－

，即m的取值范围为m<－

；(5)当1≤x≤3时，函数y的最小值等于6，求m的值；(5)①当－m≤1，即m≥－1时，当x＝1时y有最小值6，∴1＋2m＋2m2－m＝6，即2m2＋m－5＝0，解得m＝

或m＝(不合题意，舍去)；②当1<－m<3，即－3≤m＜－1，当x＝－m时，y有最小值6，∴当m2－m＝6，即m2－m－6＝0，解得m＝－2或m＝3(不合题意，舍去)；③当－m≥3，即m≤－3，当x＝3时，y有最小值6，∴9＋6m＋2m2－m＝6，即2m2＋5m＋3＝0，解得m＝－(不合题意，舍去)或m＝－1(不合题意，舍去)．

综上所述，m的值为

或－2；(6)该抛物线的顶点随m的变化而移动，当顶点移到最低处时，求该抛物线的顶点坐标；(6)抛物线y＝x2＋2mx＋2m2－m的顶点为(－m，m2－m)，顶点移动到最低处，即顶点纵坐标最小，∵m2－m＝(m－)2－

，∴当m＝

时，纵坐标最小，即顶点移到最低处，当m＝

时，－m＝－

，m2－m＝－

，∴当顶点移到最低处时，该抛物线的顶点坐标为(－

，－)；(7)当m＝2时，平移该抛物线，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移方法及平移后的抛物线的解析式．(7)当m＝2时，该抛物线解析式为y＝x2＋4x＋6＝(x＋2)2＋2，将该抛物线向右平移2个单位，向下平移2个单位，可使其顶点恰好落在原点，平移后的抛物线的解析式为y＝x2.内蒙古中考真题及拓展1命题点二次函数的图象与性质1.(2021呼和浩特3题3分)二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是(

)D2.(2023包头10题3分)已知二次函数y＝ax2－bx＋c(a≠0)的图象经过第一象限的点(1，－b)，则一次函数y＝bx－ac的图象不经过(

)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限C3.(2023赤峰12题3分)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：以下结论正确的是(

)A.抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下B.当x<3时，y随x增大而增大C.方程ax2＋bx＋c＝0的根为0和2D.当y>0时，x的取值范围是0<x<2x…－10123…y…30－1m3…C4.(2023呼和浩特10题3分)已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x轴交于两点(m，0)，(n，0)，且过A(0，b)，B(3，a)两点(b，a是实数)，若0<m<n<2，则ab的取值范围是(

)

A.0＜ab＜

B.0＜ab＜

C.0＜ab＜

D.0＜ab＜C5.(2023包头20题3分)已知抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点D(4，y)在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点．当BE＋DE的值最小时，△ACE的面积为________．4二次函数图象的平移(包头2022.19，呼和浩特2022.7)2命题点6.(2022呼和浩特7题3分)关于二次函数y＝

x2－6x＋a＋27，下列说法错误的是(

)A.若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点(4，5)，则a＝－5B.当x＝12时，y有最小值a－9C.x＝2对应的函数值比最小值大7D.当a<0时，图象与x轴有两个不同的交点C7.(2022包头19题3分)在平面直角坐标系中，已知A(－1，m)和B(5，m)是抛物线y＝x2＋bx＋1上的两点，将抛物线y＝x2＋bx＋1的图象向上平移n(n是正整数)个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为________．48.(2023山西)抛物线的函数表达式为y＝3(x－2)2＋1,若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为(

)A.y＝3(x＋1)2＋3B.y＝3(x－5)2＋3C.y＝3(x－5)2－1D.y＝3(x＋1)2－1创新考法C9．(2023丽水)如图，已知抛物线L：y＝x2＋bx＋c经过点A(0，－5)，B(5，0)．(1)求b，c的值；第9题图解：(1)把点A(0，－5)，B(5，0)分别代入y＝x2＋bx＋c中，

得

解得∴b，c的值分别为－4，－5；(2)连接AB，交抛物线L的对称轴于点M.①求点M的坐标；(2)①设AB所在直线的函数解析式为y＝kx＋n(k≠0)，把A(0，－5)，B(5，0)分别代入y＝kx＋n，

得

解得

∴AB所在直线的函数解析式为y＝x－5.由(1)得，抛物线L的解析式为y＝x2－4x－5，第9题图∴抛物线L的对称轴是直线x＝2，当x＝2时，y＝x－5＝－3.∴点M的坐标是(2，－3)；第9题图②将抛物线L向左平移m(m＞0)个单位得到抛物线L1，过点M作MN∥y轴，交抛物线L1于点N，P是抛物线L1上一点，横坐标为