2024内蒙古中考数学二轮专项训练 题型六 函数的实际应用 （含答案）

2024内蒙古中考数学二轮专项训练题型六函数的实际应用类型一最值问题1.“互联网＋”让我国经济更具活力，直播助销就是运用“互联网＋”的生机勃勃的销售方式，让大山深处的农产品远销全国各地．甲为当地特色花生与茶叶两种产品助销，已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元，销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同．(1)求每千克花生、茶叶的售价；(2)已知花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克．甲计划两种产品共助销60千克，总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍．则花生、茶叶各销售多少千克可获得最大利润？最大利润是多少？2.科学计算器是一种常见的生活和学习工具，它有着重要的作用．根据市场需求，某文具店代售A，B两种品牌的科学计算器，下表为其中两次的进货情况：进货批次进货数量(个)进货花费(元)A品牌B品牌第一次1015510第二次1520720(1)求A，B两种品牌科学计算器的进货单价；(2)该文具店某次进货时，恰好赶上厂家的优惠活动，活动有两种方案：方案一：购买A、B两种品牌的科学计算器，每满10个赠送2个B品牌科学计算器；方案二：A、B两种品牌的科学计算器均按8.5折计算．若该文具店老板计划购进A，B两种品牌的科学计算器共50个，且两种品牌的数量均不少于20个．请你帮老板算一算，如何购买能使花费最少？(注：厂家规定，两种优惠方案不能同时使用)3.猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销．小李在某网店选中A，B两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售，两款玩偶的进货价和销售价如下表：价格类别A款玩偶B款玩偶进货价(元/个)4030销售价(元/个)5645(1)第一次小李用1100元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个；(2)第二次小李进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小李计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？(3)小李第二次进货时采取了(2)中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小李来说哪一次更合算？(注：利润率＝eq\f(利润,成本)×100%)4.某公司电商平台，在2021年“五一”长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y(件)是关于售价x(元/件)的一次函数，下表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W(元)的三组对应值数据.x407090y1809030W360045002100(1)求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；(2)若该商品进价a(元/件)，售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；(3)因新冠肺炎疫情期间，该商品进价提高了m(元/件)(m＞0)，公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过55(元/件)，且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足(1)中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求m的值．5.甲，乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：说明：①汽车数量为整数；②月利润＝月租车费－月维护费；③两公司月利润差＝月利润较高公司的利润－月利润较低公司的利润．在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：(1)当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是______元；当每个公司租出的汽车为______辆时，两公司的月利润相等；(2)求两公司月利润差的最大值；(3)甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元(a>0)给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围．6.某体育专卖店销售A型和B型两种健身器材，其中A型健身器材每台的利润为400元，B型健身器材每台的利润为500元，该体育专卖店计划一次性购进两种型号的健身器材共100台，其中B型健身器材的台数不超过A型健身器材台数的3倍，设购进A型健身器材x台，销售这100台健身器材的总利润为y元．(1)求y关于x的函数关系式；(2)当A型健身器材购进多少台时，销售的总利润最大？最大利润为多少？(3)实际进货时，厂家对A型健身器材的出厂价下降m(0<m<400)元，且限定该体育专卖店最多购进A型健身器材80台，若该体育专卖店保持两种健身器材的售价不变．请你根据以上信息，设计出使这100台健身器材销售总利润最大的进货方案．

类型二分段函数1.为响应国家深化具有中国特色体教融合发展的要求，某中学积极行动，并决定购买一批体育用品．在购买足球时，由于足球价格稍贵，该校与一运动器械专卖店议价，最终优惠如下：每个足球的原价为90元，若一次性购买不超过10个，则按原价销售；若一次性购买超过10个，前10个按原价销售，超过的部分打8折．(1)设该中学购买足球x个，所需费用为y元，请写出y关于x的函数关系式；(2)若该中学计划购买足球的费用不超过1200元，则最多能购买几个足球？(3)若购买了20个足球，则平均每个足球的售价为多少元？2.超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克，同样数量的苹果只用200元．(1)求苹果的进价；(2)如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格减少2元/千克，写出购进苹果的支出y(元)与购进数量x(千克)之间的函数关系式；(3)超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完．据统计，销售单价z(元/千克)与一天销售数量x(千克)的关系为z＝－eq\f(1,100)x＋12.在(2)的条件下，要使超市销售苹果利润w(元)最大，求一天购进苹果数量．(利润＝销售收入－购进支出)3.某果品合作社收购了14吨水果，决定同时采用两种方式进行销售：方式1：直接销售，每吨水果可获得利润0.2万元；方式2：加工成水果制品销售，每吨水果可获得利润0.6万元，但需要支付加工费．设加工成水果制品的水果为x吨，当0≤x≤8时，加工总费用y(万元)与x2成正比，当8＜x≤14时，加工总费用y(万元)与x满足一次函数关系，经过统计得到如下数据：x(吨)51012y(万元)1.253.84.4若将x吨水果加工成水果制品销售，其余直接销售．(1)求y与x的函数关系式；(2)若将这14吨水果全部销售完所获得的总利润w为3.4万元，求x的值；(3)求这14吨水果全部销售完的情况下，能获得的最大总利润w是多少？类型三面积问题1.为了节省材料，某水产养殖户计划用长为96米的围网在水塘中围成如图所示的①②③三块区域，其中区域①是正方形，区域②、③是矩形，已知AG∶BG＝3∶2，设BG的长为2x米．(1)是否存在x，使得矩形CDFE的面积为180平方米，若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；(2)当x为何值时，矩形ABCD的面积最大？最大面积是多少？第1题图2.工人师傅用一块长为12分米，宽为8分米的矩形铁皮制作一个无盖长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．(厚度不计)(1)请在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求当长方体底面面积为32平方分米时，裁掉的正方形边长是多少？(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的5倍(长大于宽)，并将容器外表面进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，求裁掉的正方形边长为多少时，总费用最低，最低费用为多少元？第2题图3.为了美化校园，某校计划在如图所示的一块边长为40米的正方形区域ABCD上建造花坛，其中E、F、G、H分别为正方形区域各边中点，铺灰区域为四个全等的矩形，在四边形EFGH区域种植甲种花，在铺灰区域种植草坪，剩余部分种植乙种花．设AM的长为x米，种植草坪的区域面积为y平方米．(1)求y关于x的函数关系式；(2)种植甲种花每平方米的价格为20元，种植乙种花每平方米价格为30元，种植草坪每平方米的价格为10元，设建造花坛的总费用为W元，求W的最小值．第3题图参考答案类型一最值问题1.解：(1)设每千克花生的售价为x元，则每千克茶叶的售价为(40＋x)元，根据题意，得50x＝10(40＋x)，解得x＝10，∴40＋x＝40＋10＝50(元)，答：每千克花生的售价为10元，每千克茶叶的售价为50元；(2)设花生销售m千克，茶叶销售(60－m)千克获利最大，所获利润为w元，由题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6m＋36（60－m）≤1260，,m≤2（60－m），))解得30≤m≤40，w＝(10－6)m＋(50－36)(60－m)＝4m＋840－14m＝－10m＋840，∵－10＜0，∴w随m的增大而减小，∵30≤m≤40，∴当m＝30时，利润最大，此时花生销售30千克，茶叶销售60－30＝30千克，w最大＝－10×30＋840＝540(元)，答：当花生销售30千克，茶叶销售30千克时利润最大，最大利润为540元．2.解：(1)设A，B两种品牌科学计算器的进货单价分别为x元和y元，根据题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10x＋15y＝510，,15x＋20y＝720，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝24，,y＝18.))答：A，B两种品牌科学计算器的进货单价分别为24元和18元；(2)设总花费为w元，购买m个A品牌科学计算器，则购买(50－m)个B品牌科学计算器．选择方案一购买：根据题意可知，最少花费为购买任意42个科学计算器，赠送8个B品牌科学计算器，则需花钱购买B品牌科学计算器的数量为(42－m)个，∴最少花费w＝24m＋18×(42－m)＝6m＋756，∵6＞0，根据题意可得，20≤m≤30，∴当m＝20时，总花费最少，为6×20＋756＝876(元)；选择方案二购买：最低花费w＝[24m＋18×(50－m)]×0.85＝5.1m＋765，∵5.1＞0，根据题意可得20≤m≤30，∴当m＝20时，总花费最少，为5.1×20＋765＝867(元)．∵876＞867，∴选择方案二，购买20个A品牌科学计算器，30个B品牌科学计算器时，花费最少．3.解：(1)设A款玩偶购进x个，B款玩偶购进y个，根据题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝30，,40x＋30y＝1100，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝20，,y＝10，))答：A款玩偶购进20个，B款玩偶购进10个；(2)设A款玩偶购进a个，则B款玩偶购进(30－a)个，利润为w.由题意可知，a≤eq\f(1,2)(30－a)，解得a≤10，∴w＝(56－40)a＋(45－30)(30－a)＝16a＋15(30－a)＝a＋450.∵1>0，∴w随a的增大而增大，∴当a＝10时，w有最大值，w最大＝10＋450＝460(元)，答：购进A款玩偶10个，B款玩偶20个时，利润最大，最大利润为460元；(3)第一次利润率为eq\f(20×（56－40）＋10×（45－30）,1100)≈42.7%，第二次利润率为eq\f(10×（56－40）＋20×（45－30）,10×40＋20×30)＝46%，∵46%>42.7%，∴从利润率的角度分析，对于小李来说第二次更合算．4.解：(1)设y＝kx＋b(k≠0)，把(40，180)，(70，90)代入得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(40k＋b＝180，,70k＋b＝90，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－3，,b＝300，))∴y关于x的函数解析式为y＝－3x＋300；(2)由(1)得，W＝(－3x＋300)(x－a)，把x＝40，W＝3600，代入上式，得3600＝(－3×40＋300)(40－a)，解得a＝20，∴W＝(－3x＋300)(x－20)＝－3x2＋360x－6000＝－3(x－60)2＋4800.∵－3＜0，∴售价x＝60元/件时，周销售利润W最大，最大利润为4800元；(3)由题意得，W＝－3(x－100)(x－20－m)(x≤55)，∵－3＜0，对称轴为直线x＝60＋eq\f(m,2)＞60，∴当0＜x≤55时，w随x的增大而增大，∴当x＝55时，周销售利润最大，∴4050＝－3(55－100)(55－20－m)，∴m＝5.答：当周销售最大利润是4050元时，m的值为5.5.解：(1)48000，37；【解法提示】[(50－10)×50＋3000]×10－200×10＝48000元，∴当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元；设每个公司租出的汽车为x辆，由题意可得，[(50－x)×50＋3000]x－200x＝3500x－1850，解得x＝37或x＝－1(舍)，∴当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等．(2)设两公司的月利润分别为y甲，y乙，月利润差为y，则y甲＝[(50－x)×50＋3000]x－200x，y乙＝3500x－1850，当甲公司的利润大于乙公司时，0＜x＜37，y＝y甲－y乙＝[(50－x)×50＋3000]x－200x－(3500x－1850)＝－50x2＋1800x＋1850，∵－50＜0，∴当x＝－eq\f(1800,－50×2)＝18时，利润差最大，最大值为18050元；当乙公司的利润大于甲公司时，37＜x≤50，y＝y乙－y甲＝3500x－1850－[(50－x)×50＋3000]x＋200x＝50x2－1800x－1850，∵50＞0，对称轴为直线x＝－eq\f(－1800,50×2)＝18，∴当x＝50时，利润差最大，最大值为33150元．∵18050＜33150，∴两公司月利润差的最大值为33150元；(3)∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，则利润差为y＝－50x2＋1800x＋1850－ax＝－50x2＋(1800－a)x＋1850，对称轴为直线x＝eq\f(1800－a,100)，∵－50＜0，x只能取整数，且当两公司租出的汽车均为17辆时，月利润之差最大，∴16.5<eq\f(1800－a,100)<17.5，解得50<a<150.6.解：(1)∵购进A型健身器材x台，∴购进B型健身器材(100－x)台，根据题意，得y＝400x＋500(100－x)＝400x＋50000－500x＝－100x＋50000，即y关于x的函数关系式为y＝－100x＋50000；(2)∵B型健身器材的台数不超过A型健身器材台数的3倍，∴100－x≤3x，解得x≥25.∵y＝－100x＋50000，－100＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x＝25时，y有最大值，y最大＝47500元．答：当购进A型健身器材25台时，销售的总利润最大，最大利润为47500元；(3)根据题意得y＝(400＋m)x＋500(100－x)，即y＝(m－100)x＋50000，其中25≤x≤80.①当0<m<100时，m－100<0，y随x的增大而减小，∴当x＝25时，y取最大值．即该体育专卖店购进25台A型健身器材和75台B型健身器材才能使得总利润最大；②当m＝100时，m－100＝0，y＝50000.即该体育专卖店购进A型健身器材数量满足25≤x≤80的整数时，总利润相同；③当100<m<400时，m－100>0,y随x的增大而增大，∴当x＝80时，y取最大值．即该体育专卖店购进80台A型健身器材和20台B型健身器材才能使得总利润最大．类型二分段函数1.解：(1)由题意知，当一次性购买足球不超过10个时，y＝90x，当一次性购买足球超过10个时，y＝90×10＋90×0.8×(x－10)＝72x＋180，∴y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(90x（0<x≤10），,72x＋180（x>10）；))(2)当x＝10时，y＝90×10＝900，1200－900＝300＞90，∴购买的数量超过10个，∴72x＋180≤1200，解得x≤eq\f(85,6).∵x为整数，∴最多能购买14个足球；(3)∵20＞10，∴y＝72×20＋180＝1620，则平均售价为1620÷20＝81元，答：平均每个足球的售价为81元．2.解：(1)设苹果的进价为m元/千克，根据题意，得eq\f(300,m＋2)＝eq\f(200,m－2)，解得m＝10，经检验，m＝10是原分式方程的解，且符合题意．∴苹果的进价为10元/千克；(2)根据题意，当0≤x≤100时，y＝10x；当x＞100时，y＝100×10＋(10－2)(x－100)＝8x＋200，∴超市购进苹果的支出y(元)与购进数量x(千克)之间的函数关系式是y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10x（0≤x≤100），,8x＋200（x＞100）；))(3)根据题意，购进苹果数量与销售数量都为x千克，且购进量不超过300千克，①当0≤x≤100时，w＝xz－y＝(－eq\f(1,100)x＋12)x－10x＝－eq\f(1,100)x2＋2x＝－eq\f(1,100)(x－100)2＋100.∵－eq\f(1,100)＜0，∴当x＝100时，w取最大值，最大值为100；②当100＜x≤300时，w＝xz－y＝(－eq\f(1,100)x＋12)x－(8x＋200)＝－eq\f(1,100)x2＋4x－200＝－eq\f(1,100)(x－200)2＋200.∵－eq\f(1,100)＜0，∴当x＝200时，w取最大值，最大值为200.∵100＜200，∴要使超市销售苹果利润最大，则一天购进的苹果数量为200千克．3.解：(1)当0≤x≤8时，设y＝ax2(a≠0)，由题意得，1.25＝a×52，解得a＝0.05，∴y＝0.05x2；当8＜x≤14时，设y＝kx＋b(k≠0)，由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3.8＝10k＋b，,4.4＝12k＋b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝0.3，,b＝0.8，))∴y＝0.3x＋0.8.综上所述，y与x的函数关系式为y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0.05x2（0≤x≤8），,0.3x＋0.8（8＜x≤14）；))(2)由题意得，x吨水果加工成水果制品销售，则(14－x)吨直接销售，当0≤x≤8时，w＝0.2(14－x)＋0.6x－0.05x2＝3.4，解得x1＝2，x2＝6；当8＜x≤14时，w＝0.2(14－x)＋0.6x－(0.3x＋0.8)＝3.4，解得x＝14.综上所述，当销售总利润w为3.4万元时，x的值为2或6或14；(3)设销售完这14吨水果所获得的利润为w，由题意得，当0≤x≤8时，w＝0.2(14－x)＋0.6x－0.05x2＝－0.05x2＋0.4x＋2.8＝－0.05(x－4)2＋3.6，∵－0.05<0，∴当x＝4时，w有最大值，最大值为3.6万元；当8＜x≤14时，w＝0.2(14－x)＋0.6x－(0.3x＋0.8)＝0.1x＋2，∵0.1>0，∴当x＝14时，w有最大值，最大值为3.4万元．∵3.4＜3.6，∴这14吨水果全部销售完的情况下，能获得的最大总利润为3.6万元．类型三面积问题1.解：(1)存在，理由如下：由题意可得，AG＝3x，在矩形CDFE中，DC＝AG＋BG＝5x