人教版九年级数学下册相似《相似三角形（第3课时）》示范教学设计

相似三角形（第3课时）教学目标1．掌握“两角分别相等的两个三角形相似”，并能运用这个判定定理解决简单问题．2．掌握直角三角形相似的判定方法，能运用直角三角形相似的条件解决简单的问题．教学重点理解“两角分别相等的两个三角形相似”和直角三角形相似的特殊判定方法．教学难点“两角分别相等的两个三角形相似”和直角三角形相似的特殊判定方法的证明．教学准备准备量角器、带刻度的直尺和一副三角尺．教学过程知识回顾目前我们学习了哪些判定三角形相似的方法？【答案】定义法：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似．利用平行线判定三角形相似：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．利用三边判定三角形相似：三边成比例的两个三角形相似．利用两边和夹角判定三角形相似：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．【设计意图】复习上节课学习的知识，巩固基础，为本节课的学习作准备．新知探究一、探究学习【问题】观察两副三角尺，其中有同样两个锐角（30°与60°，或45°与45°）的两个三角尺大小可能不同，它们相似吗？【师生活动】学生分小组观察、讨论，得出答案．有同样两个锐角（30°与60°，或45°与45°）的两个三角尺相似．【探究】任意画一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，这时∠C＝∠C′吗？分别度量这两个三角形的边长，计算，，，你有什么发现？【师生活动】教师引导学生画出△ABC和△A'B'C'．学生独立完成测量、计算，得出答案．根据三角形的内角和可知，∠C＝∠C′；通过度量、计算可知，＝＝．所以△ABC∽△A′B′C′．让学生归纳发现的结论，提出猜想．【猜想】两角分别相等的两个三角形相似．【追问】你能证明这个猜想吗？【师生活动】学生给出已知和求证．如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′．求证△ABC∽△A′B′C′．学生模仿上节课的证明思路，完成证明过程．【答案】证明：在线段A′B′（或它的延长线）上截取A′D＝AB，过点D作DE∥B′C′，交A′C′于点E．∵DE∥B′C′，∴∠A′DE＝∠B′，△A′DE∽△A′B′C′．又∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∴∠B＝∠A′DE．∵AB＝A′D，∴△ABC≌△A′DE．∴△ABC∽△A′B′C′．【新知】一般地，我们有利用两组角判定两个三角形相似的定理：两角分别相等的两个三角形相似．符号表示：∵在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′．【设计意图】学生通过自己动手，猜想得出由两组角判定两个三角形相似的方法，并仿照上节课的证明思路，完成这个命题的证明，运用直观操作和逻辑推理相结合的方式，提高学生独立分析问题、解决问题的能力．二、典例精讲【例1】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8．E是AC上一点，AE＝5，ED⊥AB，垂足为D．求AD的长．【师生活动】学生独立完成，请一名学生代表板演，教师指导、讲解．【答案】解：∵ED⊥AB，∴∠EDA＝90°．又∠C＝90°，∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC．∴＝．∴AD＝＝＝4．【归纳】判定相似找两角，隐含条件很重要已知两个三角形中有一组角对应相等，只要看是否还有另一组角对应相等即可．一般地，在解题过程中要特别注意“公共角”“对顶角”“同角（或等角）的余角”等隐含条件．【设计意图】通过例1，考察学生是否会利用两组角判定三角形相似，引出“直角三角形相似的判定方法”．三、探究学习【问题】对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就相似了？【师生活动】学生自由发言，教师总结．【答案】由三角形相似的条件可知，如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似．【问题】我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL”来判定，那么，满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？【师生活动】学生小组讨论，并归纳发现的结论，提出猜想．【猜想】斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似．【追问】你能证明这个猜想吗？【师生活动】学生先给出已知和求证．如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝90°，∠C′＝90°，＝．求证Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．教师引导学生分析：要证Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，可设法证＝＝．若设＝＝k，则只需证＝k．学生根据分析，完成证明．【答案】证明：设＝＝k，则AB＝kA′B′，AC＝kA′C′．由勾股定理，得BC＝，B′C′＝．∴＝＝＝＝k．∴＝＝．∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．【新知】我们得到利用斜边和一条直角边判定直角三角形相似的定理：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似．符号表示：∵在△ABC和△A′B′C′中，＝，∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．【设计意图】类比判定两个直角三角形全等的“HL”方法，猜想得出由斜边和一条直角边判定直角三角形相似的方法，并完成这个命题的证明，让学生体会从特殊到一般的方法，提高推理论证能力．四、典例精讲【例2】如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠ACB＝∠A′C′B′＝90°，CD，C′D′分别是两个三角形斜边上的高，且CD∶C′D′＝AC∶A′C′．求证：△ABC∽△A′B′C′．【师生活动】学生独立完成，请一名学生代表板演，教师指导、讲解．【答案】证明：∵CD，C′D′分别是两个三角形斜边上的高，∴∠ADC＝∠A′D′C′＝90°．又CD∶C′D′＝AC∶A′C′，∴Rt△ADC∽Rt△A′D′C′．∴∠A＝∠A′．∵∠ACB＝∠A′C′B′＝90°，∴△ABC∽△A′B′C′．【归纳】直角三角形相似的判定方法：（1）有一个锐角相等的两个直角三角形相似；（2）两组直角边成比例的两个直角三角形相似；（3）斜边和一条直角边成比例