圆锥曲线第二定义的应用 微点2 圆锥曲线第二定义的应用（二）（含答案解析）

专题9圆锥曲线第二定义的应用

微点2圆锥曲线第二定义的应用（二）

【微点综述】

过圆锥曲线焦点的弦称为焦点弦，关于焦点弦问题，除了运用弦长公式外，常利用

过焦点的特点，即用圆锥曲线统一定义求出焦半径，从而得到焦点弦的长，也可使

与焦点弦相关的问题获得简解，达到优化解题、提高解题效率的效果.本节在上一

微点的基础上，进一步概述圆锥曲线第二定义的应用.

（四）求离心率（或其取值范围）

22

例1.已知点F是椭圆C:5+£=l（a>0,0>0）的右焦点，点8是短轴的一个端

点，线段5斤的延长线交椭圆C于点。，且丽=2而，则椭圆C的离心率为

【答案】昱

3

【解析】解法1：BF=2FD,根据题意0/=c,OB=bBF=a,ED=g点。

2

横坐标C+；c==3c,纵坐标bg,假设点。在第一象限，带入椭圆方程

222

9c2b2]_

=1,9e?=3,73

彳+方3V

2-11百

解法2：tan£=一,cos0--,—,e=——

ca1+133

【评注】应用以下两个结论，可以快速求出椭圆或双曲线的离心率（或其取值范

围）.

88

（1）椭圆与双曲线焦点弦长公式：|4同=至=越（恒网=至=之叵为直线与

112431243

2525

焦点所在轴的夹角）；

（2）在圆锥曲线中，若e|cos8|=C，则有e|cosq=KW|（恒同=?为直线

与焦点所在轴的夹角）.

22

例2.（2021・重庆•三模）已知双曲线C：，-5=1（。＞0力＞0）的左右焦点分别为

月,F2,过月的直线交双曲线C的左支于P,。两点，若可;=西.西，且

△PQ6的周长为12a,则双曲线C的离心率为（）

A*B.6C*D.2&

【答案】A

【分析】根据条件求得|P5|=3a,.•.归耳|=%在RtZ^Pf；鸟中，由勾股定理可

得关于a,c的等式，进而可求得离心率.

【详解】由双曲线定义知|尸闾一|尸£|=|。周一|。周=2a,

则|尸制=|尸闾-2a,|Q£|=|Q周一2a,.•.|P2|=|尸制+|Q周=|尸闾+|Q周一4a,

APQK的周长为|%|+|＜2巴|+|P+=2（|P瑞|+|。/）-4a=1勿,

•••I尸闾+|。国=8即|PQ|=4a,

由PgQ6）=OnP£.PQ=OnPgLPQ,

2

AZF2PQ=90°,^\PF2f+16a=\QF2f,A\QF2\-\PF2\=2a,

.".\PF2\-3a,\QF2\-5a,.".\PF{\=a,

在RdPf；月中，a2+（3a）2=（2c）2,故6=£=®.故选A.

a2

【评注】本题的关键点是：由%=%•函得到NEPQ=90°.

（五）求最值

22

例3.过椭圆二+匕=1的右焦点B并垂直于X轴的直线与椭圆的一个交点为B,椭

259

圆上不同的两点A（N，y）,C（X2，%）,满足条件：I5AM6⑸,1外C|成等差数列，则弦

AC的中垂线在）轴上的截距的范围是（）

A.崎B・崎+臀）

【答案】C

【分析】利用焦半径公式得％+Z=8,设AC中点M（4,y°）,利用点差法可求得

kAC,进而求得弦AC的中垂线方程，求得其在轴上的截距，利用加（4,%）在椭

圆“内”，可求得结果.

1Q

【详解】•.•|乃川,1巴例,1乙。成等差数列，:.\F2A\+\F2C\=2\F2B\=—,

44

利用焦半径公式得：因川=5-（玉，|玛［=5-三9,代入可得芯+々=8

J。

设AC中点M（4,%）,椭圆上不同的两点4（玉,凹）,。（*2,%），

2

V+支=1

259,两式作差可得二=4•干，・&=《+，

左2

V,2玉一々25x+为25%

+^-=1

259

.•.弦AC的中垂线的方程为：>-%=筌气》-4）,

36

当尤=0时，y=-等，此即AC的中垂线在y轴上的截距,

<1,得-*<%<］，故选C.

【评注】（1）对于弦中点问题常用“根与系数的关系'’或"点差法”求解，在使用根与

系数的关系时，要注意使用A>0条件，在用"点差法''时，要检验直线与圆锥曲线

是否相交.

（2）用"点差法''求解弦中点问题的解题步骤：

①设点，设出弦的两端点的坐标；②代入：将两端点的坐标代入曲线方程；③作

差：将两式相减，再用平方差公式展开；④整理：转化为斜率和中点坐标的关系

式，然后求解.

例4.（2017•新课标I理10）已知F为抛物线C：V=4x的焦点，过尸作两条互相

垂直的直线4，6，直线4与C交于4、B两点，直线4与C交于。、E两点，则

|4却+|。目的最小值为（）

A.16B.14C.12D.10

【答案】A

【解析】解法I：如图，直线4与c交于A、8两点，直线4与c交于。、

£两点，要使|A8|+|D£|最小，则A与O,B,E关于x轴对称，即直线OE的斜率

v2=

为I,又直线/,过点（1,0）,则直线乙的方程为y=x-i，联立方程组一，则

y=x-l

y2-4j-4=0,乂+必=4,乂%=一4,

•|X—刃=血'阮=8,+目的最小值为2|。目=16,故

选A.

解法2：设直线4的倾斜角为。，则4的倾斜角为根据焦点弦长公式可得

加急=焉

2P4

阿2P

sin2[1+6>cos20cos20,

44416

\AB\+\DE\=--------1-----------------------------------

sin20cos20sin2<9cos20sin220

,.•0<sin228ql,.,•当6=45°时，|AB|+|DE|的最小，最小为16,故选A.

【评注】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线的定义，到定点的距离要想到转

化到准线上.另外，直线与抛物线方程联立，求判别式、韦达定理是通法，需要重

点掌握.考查到最值问题时要能想到用函数思想与方法及基木不等式进行解决.

例5.（2021•云南大理•二模）设抛物线V=8x的焦点为凡过F的直线/与抛物线

交于点A,B,与圆x2+y2—4x+3=0交于点p,Q,其中点A,P在第一象限，则

21Api+|QB|的最小值为（）

A.2V2+3B.272+5C.4^+5D.4V2+3

【答案】D

【分析】根据抛物线与圆的位置关系，利用抛物线的焦半径公式，将2|用+|。目

表示为焦半径与半径的关系，然后根据坐标乙,4的特点结合基本不等式求解出

2|AP|+|Q8|的最小值.

【详解】如图所示，•••圆的方程为丁+>2-48+3=0即为（x—2）2+产=1,.•.圆心

为（2,0）,即为抛物线V=8%的焦点且半径R=l,

2\AP\+\QB\=2（|AF|-R）+（附-R）,2\AP\+\QB\=2\AF\+\BF\-3,

又,.14曰=4=x.+2,\BF\=xB+~=xB+2,/.2|AP|+|2B|=2xA+xg+3,

设/:x=/ny+2,/.\2，Ax2-（4+8m2）x+4=0,XX=4,

y=Sx'7AB

21AH+|Q6|=2/+/+322y]2xAxB+3=4行+3,取等号时

xA=&,4=2血.

综上可知：（2|AP|+|Q即疝产40+3.故选D.

y

【评注】本题考查抛物线与圆的综合应用，着重考查了抛物线的焦半径公式的运

用，难度较难.（1）已知抛物线丁=2冲（〃>0）上任意一点几）以及焦点

F,则有|用厂|=%+$（2）当过焦点的直线/与抛物线y2=2px（p>0）相交于

2

A（X,X）,B（&,y2）,则有贴=勺,y%=-P?•

22

例6.（2022江苏南京六合月考）已知椭圆,+3=1内有一点P（1,T）,尸是椭圆

的右焦点，M是椭圆上一点，则MP+迅的最小值为.

【答案】4

【详解】如图，F（l,0）,椭圆的离心率为£=叱，由椭圆的第二定义可知

a5

y/5\MF\=\MN\,

+的最小值，就是由P作PN垂直于椭圆的准线于N,|PN|为所

2

求，椭圆的右准线方程为》=幺=5,；.MP+石的最小值为：5-1=4.

C

（六）解决存在型问题

22

例7.(2022・全国•模拟预测)已知椭圆C：鼻+#=l(a>Z?>0)的右焦点为尸，上

顶点为M,直线的斜率为-变，且原点到直线的距离为述.

23

(I)求椭圆C的标准方程；

(II)若不经过点厂的直线/：丁=丘+机伏<0,〃?>0)与椭圆。交于48两点，且

与圆炉+)2=1相切.试探究的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，

请说明理由.

2

【答案】(I)y+/=l(ID是，2G

【分析】(/)由题意设E(c,0)、M(0,b),由斜率公式、点到直线的距离公式列方

程即可得解；(〃)由直线与圆相切可得加=1+左2,设A&,y),B(孙冉)，由韦

达定理及弦长公式可得|4同，由焦半径公式可得|AF|、|BF|,进而可得A/W尸的

周长，化简即可得解.

【详解】(Q设尸(c,0),M(0,&),则一2=一也，

c2

直线的方程为二+2=1,即法+。-仇?=0,

cb

...原点到直线FM的距离为-苫-=四,解得力=1,C=V2(负值舍去)，

yjb2+c23

尤

又〃=〃+。2=3，.•.椭圆C的标准方程为上2+y2=l.

3-

ImI

(〃)•.•直线/：丁=履+皿攵<0,加>。)与圆Y+V=1相切，.・.不二1,即

，1+攵~

m2=1+公，

V2_

设A(西,yj,8(%,%)，联立了+)，得(3/+1卜2+6岐+3(加2_])=0,

y=kx+m

/.A=36k2>-12（3公+1）（〃/一。=设（3/-w2+l）=24公>o,

_-6km3（病一1）

%+*2=o；2,.，X,X,=-----，

3左+1123^+1

|AB|=Jl+父,归-*21=Jl+公•J（X]+*2）~-4中2

l-42

,同理

\BF\=y/3-—X,,

3一

|AF|+|SF|=2>/3--（^+x2）,

...AABF的周长是

2痒部+切-袈-乎尚一黔=25贝3的周长

为定值2G.

【评注】本题考查了椭圆方程的确定及直线与椭圆的综合应用，考查了椭圆中的定

值问题及运算求解能力，合理转化条件、细心计算是解题关键，属于中档题.

2

例&设双曲线方程"%"过v其右焦点且斜率不为零的直绍与双曲线交于

43两点，直线4的方程为1=心4,B在直线4上的射影分别为C，D.

（I）当4垂直于x轴，/=-2时，求四边形ABCD的面积;

（II）。=0,《的斜率为正实数，A在第一象限，B在第四象限，试比较

与1的大小;

\BD\-\FA\

(Ill)是否存在实数使得对满足题意的任意直线和直线的

交点总在X轴上，若存在，求出所有的「值和此时直线49和交点的位置；若不

存在，请说明理由.

【答案】(I)24(ID(III)，存在，f=；,此时两直线的交点为

加

【分析】(/))当4垂直于x轴，直线4方程为x=2,四边形ABOC为矩形，将

x=2代入双曲线方程，求出A5坐标，得出|AB|,即可求解；

(〃)设4的方程为x=my+2,,篦>0,设A,6两点的纵坐标分别为以，%,将4

的方程与双曲线方程联立，得到关于y的方程，根据韦达定理得出力，为关系，结

合力>0,为<0，将根据线段长公式化简

\AC\-\FB\JAC\\BF\^XA|九1

，

\BD\-\FA\~\BD\'\AF\~xH'\yA\

n~r

T+

j®利田占川用在皿曲纬knTM—♦'--3巾

丹小JHi吊、c，Q住以纸J-HJ1号11,由

XB\y\

A1+半.1%|\r+—

y}3

%>-%>°，即可得出结论.

(〃/)设4%,力)，B(xB,yB),则D(t,yH),求出直线A。和直线BC

的方程，利用两条直线相交在％轴上,可得2/可，A%+Q-/)(%+%)=。，将%，%

关系，代入，得18/〃-12(2-»〃=0对一切加H±且都成立，有，=1，求出交点

32

的横坐标，即可求解.

【详解】(/)右焦点的坐标为尸(2,0).故4：x=2.

x=2,

联立2y2解得y=±3.故|A3|=6,又|AC|=4,故四边形A8OC的面积为

x----=1

I3

24.

(//)设4的方程为1=阳+2,这里加>0.

将4的方程与双曲线方程联立，得到3(my+2)2_y2_3=0,即

(3m2-l)y2+12冲+9=0.

由九%<°知3m2—1<0，此时,

2rr

l+y-l^l93

\AC\-\FB\=\AC\\BF\^XA㈤=■

TBDT\FA\~\BD\'\AF'\~x'\y\~2

BAn~+-

43

12m

由于一,=力+%>。，故%>-%>0,

3m2—

11IACI-IFBI,

即叼>卬>。，故丁房，因此两而<1

(HI)由(〃)得⑶/一厅+口冲+9=0.(有两交点表示加#±等)

设4%，%)，8(j,%),则C(f,%)，。«，力)・

4,巧)的绝对值不小于1，故乙7/,且巧,力/.

丁一力x-t

又因直线斜率不为零，故力力力.直线A。的方程为

力一力XA-f

x-t

直线8c的方程为

Xl

yB-yAB~

若这两条直线的交点在x轴上，则当y=0时,

两方程的X应相同,即x=/+f-')=t+

yA-yByB-yA

故力(加为+2—)+%(利为+2-。=0,即2而%为+(27)(%+%)=0.

912m

现.产而二I,以+%=一而n,代入上式,得1M一12（2-输=°对一切

士走都成立，即18=24—12r,r=L

32

此时交点的横坐标为％=，+一期⑴一）

力一打

J（〃%+2一）J।三（%+%）一（2—）%j।27=5

2%一九2%一力224

综上，f存在，/=；,此时两直线的交点为

【评注】本题考查双曲线与直线的位置关系，联立直线方程和双曲线方程是解题的

基础，应用韦达定理设而不求是解题的关键，将所研究的问题转化为两交点的坐标

关系，考查计算能力，属于难题.

【总结】

通过上面几个例子，我们对圆锥曲线的统一定义有了全面、完整、深刻的理解，

也为我们利用圆锥曲线的统一定义解题提供了思考的方法，同时弥补了教材讲得

不透彻的局限.

从以上各题可以看出，解决这类问题的常规解法，是按照解析几何问题求解的

“三部曲”，把直线和曲线方程联立，消元得到关于x或y的一元二次方程，用韦

达定理得到交点坐标的关系式，最后将目标转化表示，运算量往往不是一般的

大，若运用焦半径公式的倾斜角形式，可以简化运算，直达结论，起到事半功

倍的效果.

【针对训练】

（2022绵阳三模）

22

1.已知双曲线C：二一4=1（。＞0,匕＞0）的右焦点为F,过产且斜率为6的直

a~b~

线交。于A、B两点,若通=5而，则C的离心率为（）

45〃-8

A.-B.-C.2D.一

335

【答案】A

【解析】

【分析】设出忸耳=x,|A同=5x,利用双曲线的第二定义，结合直线的斜率为

G，建立等式，即可求得双曲线的离心率.

【详解】设忸耳=x,则|A同=5x,

2

过A、8作双曲线右准线％=幺的垂线，垂足分别为。、C,过8作4。的垂线，

C

垂足为E.

根据双曲线的第二定义可得|人。|=宁，忸q='

.'.\AE\=—,

e

由直线的斜率为石，可得在RtZkABE中，ZA5E=30°,

4

：.\AB\^2\AE\,:.\AB\^\AF\+\BF\^6x^2\AE\^2x—r,

4

/.e=—.

3

故选：A.

22

2.已知双曲线/>0）的右焦点为尸，过尸且斜率为6的直线

交C于A、B两点,若衣=4而，则C的离心率为（）

569

A.—B.—C.—D.一

8555

【答案】B

【解析】

22

【分析】设双曲线C：「-2=1的右准线为/,过A、B分别作40J_/于M,

ab~

BN上1于N,于。，根据直线A8的斜率为G，得到同口二3人用，再

利用双曲线的第二定义得到=而而|），又|A8|=|而|+|方结合

/=4而求解.

22

【详解】设双曲线C:「-4=l的右准线为/,

a"b~

过A、B分别作于M,BN工1于N,BDLAA/于。，

如图所示：

因为直线A3的斜率为6，

所以直线的倾斜角为60。，

Z.ABAD=60°,|A£)|=^|AB|,

由双曲线的第二定义得：

|刎一网=|明，(府卜阿毛|阴[(四+|阿,

又•.•丽=4而，

•二同臼啊

・e--

5

故选：B

【点睛】本题主要考查双曲线的第二定义的应用以及离心率的求法，还考查了数形

结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.

3.已知片,鸟是双曲线/的左、右焦点，P为双曲线左支上一

点，若国T的最小值为8。，则该双曲线的离心率的取值范围是()

A.(1,3)B.(1,2)C.(1,3JD.(1,2]

【答案】C

【解析】

\ppI2(2a+\PF\)24a2

【分析】由定义知：|列囹-伊乃|=2。，\PF^2a+\PF\\,产T=―,1,1

|P用|P司

4/

+4a+|PFi|>8a,当且仅当=|PFi|,即|PFi|=2a时取得等号.再由焦半径公式得双

冏I

曲线的离心率的取值范围.

【详解】由双曲线定义可得:

\PF2f(2a+1P用f4a2

\PF2\-\PF\\=2a,\PF2\=2a+\PFy\,"闻Mi"

4a2

当且仅当同=\PFi\,即|PFi|=2a时取得等号.此时|P闾=4a

由双曲线的几何性质可得，PF2>c+a,即可4«2c+aneW3,又双曲线的离心

率e>l,ee(l,3].

故选:C.

4.已知椭圆工+乙=1内有一点P(1,-1),尸为椭圆的右焦点，在椭圆上有一点

43

例，使|MP|+2|MF1取得最小值，则点M坐标为()

小高D；平』卜手

【答案】A

【解析】

【分析】利用椭圆的第二定义进行求解.

V-221

【详解】因为椭圆方程为二+2v-=1,所以椭圆得离心率e=±,

432

设点M到椭圆右准线的距离为d,根据椭圆第二定义有：

等=e=g,所以d=2MF,所以|阴+2|"/|=|"青+1

表示椭圆上一点M到椭圆内定点P和到椭圆右准线的距离之和，

当MP垂直于右准线时，|阴+21M月取得最小值.此时M的纵

坐标为-1,代入椭圆方程看+^=1,求得M的横坐标为2国.

433

所以点M坐标为-^-,-1，故B,C,D错误.

故选：A.

（2022.四川凉山.高二期末）

22

5.已知月，乃是椭圆C:?+q=l的两个焦点，点M在椭圆C上，当

|"耳卜|叫|取最大值时，三角形“百鸟面积为（）

A.2GB.73C.2D.4

【答案】B

【解析】

【分析】根据椭圆的焦半径公式和椭圆中的X，〉的范围可求得可取最大值

时，点M在椭圆的短轴上.

【详解】设点M的坐标为M（X，X）,根据椭圆的焦半径公式可得:

用=2+闾=2-9

则有：|“用也马=4-%：

根据椭圆的特点，可知：-24占＜2

可得：当演=0时，|M耳可取最大值

此时，点M在椭圆的短轴上，则有：Sg钎=百

故选：B

（2021♦广州一模理）

6.已知以F为焦点的抛物线C：V=4x上的两点A,B,满足

而=2而则弦的中点到C的准线的距离的最大值是（）

cc8-10

A.2B.-C.—D.4

33

【答案】B

【解析】

【分析】根据抛物线焦点弦的性质以及弁=%用，联立可得进而

可用对勾函数的性质求|AB|=/l+J+2的最值，进而可求.

【详解】解法1：抛物线y2=4X的焦点坐标为（1,0）,准线方程为x=T,

设A&,y）,B（x2,y2）,则=忸目，由抛物线定义可知

xl+l=/la+l）①，.,.X]=/U2+4T,又因为筋=2序，所以

（l一N，-y）=/l（x2-Ly2），即l-X=X（x2一l）②，由①②可得：%=%工2=?

A

所以|A创=4尸+8尸=（玉+1）+（工2+1）=丸+，+2二」4/143,

43

当4=3时，\AB\^A+-+2=—,当X=1时，|AB|=/L+，+2=3,

A33A3

.•/九+!+2）=?,则弦A8的中点到C的准线的距离d=网，d最大值是

I丸Znax32

8

31

Q

...弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是],

故选：B.

2P

解法2：弦AB的中点到C的准线的距离p_2,根据

22sin20sin20

2_17i「3一

结论MsM=W7T=l一而e0,—,sin20=1-cos20G—,1,

2j|_4」

故选：B.

22

7.已知双曲线=力＞0）的左、右焦点分别为6，6,过C的右

焦点工的直线/，与。的右支分别交于AB两点，且|AB|=3忸勾，2\OB\=\F}F2\

（。为坐标原点），则双曲线C的离心率为.

【答案】叵

3

【解析】

【分析】由题意易知设忸段=（>0）,由双曲线定义可知

\BF}\^2a+t,\AF\^2a+2t,在Rs%玛和中由勾股定理，分别可得

4c2=（2a+/）2+/2,（2"+2。2=（2〃+疔+（3/）2,两式联立化简整理可得

4c2=竺二，由此即可求出结果.

9

【详解】如图，连接A耳，BF、.

因为2|0同=忻用，所以2耳_LBK，

设忸闾=d>0）,

因为|AB|=3忸段，所以|伍|=2f.

由双曲线定义可得忸耳|-忸闾=2，即|跖|=%+反

由双曲线定义可得|4耳|-|伍|=2a,即|A制=2a+2r,

在RtABF也中，由勾股定理可得忻且「=忸耳「+忸用2,即4c2=（2a+ty+*①,

在RtA4"B中，由勾股定理可得=忸耳「+|/叫2,即

（2a+2f）2=（2a+ry+（3r）2②，

由②得”当，代入①整理得叱=亚，所以C的离心率为姮.

393

故答案为：叵.

3

（2022四川凉山州模拟）

8.已知抛物线C：V=2x的焦点为尸，过点尸分别作两条直线4，4，4直线与抛

物线。交于A、8两点，直线4与抛物线。交于。、E两点，若4与4的斜率的平

方和为2,则|筋|+|。目的最小值为—.

【答案】8

【解析】

【分析】设出两条直线，分别和抛物线联立，根据抛物线的弦长公式得到

\AB\=xi+x2+l=m（y]+y2）+2,\CD\=n（y3+yll）+2,再由韦达定理得到

\AB\+\CD\^2（m2+n2）+4,利用均值不等式得到最值.

【详解】设4（%,加）,8（卬力），。（&，%），。（X4，%），

设直线4为x==，联立直线4和抛物线得到/一2，町，一1=0,两

根之和为：y+%=2，〃,同理联立直线人和抛物线得到%+%=2〃

由抛物线的弦长公式得到|他|=玉+七+1=加（必+%）+2,|。|=〃（%+%）+2

代入两根之和得到|AB|+|8|=2（m2+“2）+4,已知

11c221/，2\（11]儿/〃2）

—+—=2,m+〃=-（m+nJ-+—=-2+—+—>2,

mn~2'\mn'）2（nm~）

|A5|+|C£）|=2（m2+n2）+4>8.

故答案为8.

【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直

线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为

方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆

锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解

决，但应注意不要忽视判别式的作用.

22

9.已知双曲线工-匕=1的右焦点为耳，加是双曲线右支上一点，定点4(9,2),

916

3

求1M+用的最小值.

一，36

【答案】y.

【解析】

【分析】运用双曲线的第二定义，结合图像即可得到最小值.

由题意得。=3,Z?=4,则作=+52=J32+42=5，

所以e=£=],

a3

2

过点M作MN垂直于双曲线的右准线》=幺，垂足为N,

C

设|MN=4,则也丝ll=e,即=

d3

3

所以MIA/用=|M4|+d

显然，当M,N,A三点共线时，|M4|+沙用取得最小值,

22

10.如图，已知椭圆工+匕=1的左、右焦点分别为片,招，过6的直线交椭圆于

32

民。两点，过招的直线交椭圆于AC两点，且AC求四边形面积的最小值.

96

【答案】

【解析】

【分析】分类讨论直线8D的斜率存在与否，当斜率存在时，联立直线和椭圆方

程，根据弦长公式可求8D,AC,,进而根据基本等式即可求解面积的最小值，当无

斜率时，可求面积为4,进而可求最小值.

【详解】当直线3。斜率A存在且不为0时，设80方程为：y=Mx+l）,联立

y=Z（x+1）

<9n（3左2+2卜2+6攵2%+3%2_6=0,

132

设3a,凹）,。（孙必），则西+超=一盘万，32=会言，

2

由弦长公式可得忸q=47淳人-司=+X2）-4X,X2=4里?；

46l）+1

因为ACJ.即，故3c=—1,进而可得|AC=一46（公+1）

3（j+22k2+3

所以四边形的面积为

1,,,,14一（尸+1）4国炉+1）24（/+1）2

S=—8D•AC=-x——\------x——--------

2'11123k2+22左2+3一（2/+3）（3/+2）'

2

（2公+3）+（3/+2）

因为（2r+3）（3/+2）4，即

2

/29\25（公+1『

（2k2+3）（3公+2）<—~~匚'

=24伊+1）2〉24仰+1）［96

一（2公+3）（3-+2）-25卜2+］）2一25，当且仅当2公+3=3公+2n时，等

4

号成立，

当直线8。斜率不存在或者为0时、此时四边形的面积为

S^-\BD\-\AC\=-x2ax—^2b2^4>—

T1112a25

•••四边形面积的最小值为券96.

22

11.已知双曲线=-与=1（。>0/>0）的左、右两个焦点分别为月，K，P是它左

支上一点，尸到左准线的距离为d,双曲线的一条渐近线为y=gx,问是否存在

点尸，使d,|尸制，|尸可成等比数列？若存在，求出P的坐标；若不存在说明理由.

..（3a,\fl5a

【答案】存在，---,±---.

I22）

【解析】

【分析】假设存在点P（%,%）满足题中条件，根据渐近线方程求出离心率，根据

等比数列的性质得到|P周=2|0耳］,再求出准线方程，利用焦半径公式求出方,再

代入双曲线方程求出方,即可得解.

【详解】解：假设存在点P（方,%）满足题中条件.

•.•双曲线的一条渐近线为y=底,

—=-^3,b—,/.h2—3a2,/.c2—a2=3a2,——2,即e=2.

aa

因为乙I尸国产闾成等比数列，所以鸣=啰=2,所以上用=2|0周①,

2

•.•双曲线的两准线方程为x=±幺,

4|=2x0+—=|2x0+a|,\PF2\=2x0-=|2x0-a|.

,点P在双曲线的左支上，，忸6|=—（a+外），|P周=a—气，

3r2v2

代入①得q_气=_2（。+%），二九0=__a,代入~4_科=1，

2cTb

解得先=±与，

・•・存在点尸使d,|尸耳笔|成等比数列，点尸的坐标是-半，土坐

（2022•江西九江•一模）

12.在直角坐标系宜内中，已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F,过点F的

直线交。于A,8两点，|AB|的最小值为4.

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）若而=2砺一（1+4）砺，求△B4B面积的最小值.

【答案】（1）V=4x；

（2）4.

【解析】

【分析】（1）由题可得2P=4,即求；

（2）分类讨论，利用条件可得S3A8=2SM"，然后利用韦达定理、弦长公式及

面积公式可表示S.8,即求；

【小问1详解】

当A8垂直于x轴时，|4用最小，

其最小值为2，=4,p=2,

/.抛物线C的标准方程为/=4x.

【小问2详解】

解法一：取加=_而=_几次+(1+4)方,

则点M在直线上，且点。为线段的中点.

,•S&PAB=2s△OAB.

当A8垂直于x轴时，A,8的坐标分别为(1,2),(1,-2),

S△户AS=2S&OAB—x4xl=4,

当A3不垂直于x轴时，设其斜率为％,则直线AB的方程为丁=%(》一1)(左H0).

\k\

则点。到直线AB的距离d=,

Jl+公

联立方程［)；中川，消去建理得心2一(2公+4卜+二=0,

y=4x

mI2K+44IAoi/4

贝！Jx^+x2=—乒—=2+—,|AB|=玉+z+P=4+—,

“△.=2S△的=2x；|阴/=(4+・卜^^=^^=4^7^〉4,

综上可得，△PAB面积的最小值为4.

解法二：当A3垂直于x轴时，48的坐标分别为(1,2),(1,-2),

由丽=4砺一(1+冷砺，得点P的坐标为(-1,奴+2),

则点P到直线A8的距离为2,

又|AB|=4,所以△PAB的面积为:x2x4=4,

当A8不垂直于x轴时，设其斜率为攵化。0）,

则直线AB的方程为y=A（x-1）,

设P,A,B的坐标分别为（％,M）,（占，匕），（与，，2），

则,=左（玉一1）,必=%（*2-1），

由丽=4丽一（1+4）砺，得毛=；1%―（1+;1）々，

%=—(1+4)%=4%(X]—1)—(1+4)2(工2~■1)=%[%甚—(1+之)々+1]，

即为=4（公+1）,故点P在直线y=Z（x+l）上，且此直线平行于直线A3.

则点尸到直线A3的距离d

\+k2

<：U；T'消去了整理得/x72-+4）x+/=0,

联立方程

同12k~+441i4

贝ijx+x=-=2H--,|A4BD|=Xj+x+p=4A+—,

{2kkk2

.一“如外公二k+二卜回二呻二七口

2112Ik2)VTo7网Vk-

综上可得，△PAB面积的最小值为4.

解法三：^OM=-OP=-AOA+(l+A