高考文数一轮复习课件第七章不等式第四节基本不等式及其应用

第四节基本不等式及其应用总纲目录教材研读1.基本不等式考点突破2.几个重要的不等式3.利用基本不等式求最值考点二基本不等式的实际应用考点一利用基本不等式求最值考点三含参问题1.基本不等式(1)基本不等式

≤

成立的条件:a>0,b>0.(2)等号成立的条件:当且仅当①

a=b

时等号成立.(3)其中②

称为正数a,b的算术平均数,③

称为正数a,b

的几何平均数.教材研读2.几个重要的不等式(1)a2+b2≥④2ab

(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.(2)ab≤

(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.(3)

≥

(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.(4)

+

≥2(a,b同号),当且仅当a=b时取等号.3.利用基本不等式求最值已知x>0,y>0,则(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当⑤

x=y

时,x+y有最⑥小

值,是

⑦2

.(简记:积定和最小)(2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当⑧

x=y

时,xy有最⑨大

值,是

.(简记:和定积最大)基本不等式求最值的两个常用结论(1)已知a,b,x,y∈R+,若ax+by=1,则有

+

=(ax+by)

=a+b+

+

≥a+b+2

=(

+

)2.(2)已知a,b,x,y∈R+,若

+

=1,则有x+y=(x+y)

=a+b+

+

≥a+b+2

=(

+

)2.1.下列不等式中正确的是

()A.若a∈R,则a2+9>6aB.若a,b∈R,则

≥2C.若a,b>0,则2lg

≥lga+lgbD.若x∈R,则x2+

>1答案

C∵a>0,b>0,∴

≥

.∴2lg

≥2lg

=lgab=lga+lgb.C2.设x>0,y>0,且x+y=18,则xy的最大值为

()A.80

B.77

C.81

D.82答案

C∵x>0,y>0,x+y=18,∴18=x+y≥2

,即

≤9,∴xy≤81.故xy的最大值为81.C3.已知x,y>0且x+4y=1,则

+

的最小值为

()A.8

B.9

C.10

D.11答案

B∵x+4y=1(x,y>0),∴

+

=

+

=5+

≥5+2

=5+4=9

当且仅当x=2y=

时,取等号

.B4.(2015北京东城二模)函数y=2x+

(x<0)的最大值为

.答案-4解析∵x<0,∴-x>0,∴(-2x)+

≥2

=4

当且仅当-2x=-

,即x=-1时等号成立

,即2x+

≤-4.-4典例1(1)已知0<x<1,则x(3-3x)取得最大值时x的值为()A.

B.

C.

D.

(2)已知a>0,b>0,a+b=1,则

+

的最小值为

.(3)(2017北京通州期末)已知y=x+

(x>1),那么y的最小值是

.考点一利用基本不等式求最值考点突破答案(1)B(2)4(3)3解析(1)∵0<x<1,∴x(3-3x)=3x(1-x)≤3

=

.当且仅当x=1-x,即x=

时,“=”成立.(2)∵a>b,b>0,a+b=1,∴

+

=

+

=2+

+

≥2+2

=4,即

+

的最小值为4,当且仅当a=b=

时等号成立.(3)∵x>1,∴y=x-1+

+1≥2

+1=3,当且仅当x=2时取等号,故y的最小值是3.方法技巧(1)利用基本不等式解决条件最值问题的关键是构造和为定值或乘积为

定值,主要有两种思路:①对条件使用基本不等式,建立相应的不等式求

解.②对条件变形,以进行“1”的代换,从而利用基本不等式求最值.(2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件,但可以通过

添项、分离常数、平方等方法使之能运用基本不等式.常用的方法还

有:拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.1-1已知函数y=x-4+

(x>-1),当x=a时,y取得最小值b,则a+b等于

()A.-3

B.2

C.3

D.8答案

C

y=x-4+

=x+1+

-5,因为x>-1,所以x+1>0,

>0,所以由基本不等式,得y=x+1+

-5≥2

-5=1,当且仅当x+1=

,即x=2时取等号,所以a=2,b=1,则a+b=3.C1-2实数x,y满足x+2y=2,则3x+9y的最小值是

.答案6解析利用基本不等式可得3x+9y=3x+32y≥2

=2

.∵x+2y=2,∴3x+9y≥2

=6,当且仅当3x=32y,即x=1,y=

时取等号.6典例2

(2015北京通州二模)某工厂近期要生产一批化工试剂,经市场

调查得知,生产这批试剂的成本分为以下三个部分:①生产1单位试剂需

要原料费50元;②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每

生产1单位试剂补贴20元组成;③后续保养的费用是每单位

元(试剂的总产量为x单位,50≤x≤200).设P(x)(元)是生产每单位试剂的

成本,则P(x)的最小值是

.考点二基本不等式的实际应用220答案220解析由题意得生产每单位试剂的成本P(x)与x的函数关系式为P(x)=50+

+x+

-30=x+

+40,因为x+

+40≥2

+40=220,当且仅当x=

,即x=90时,等号成立,所以生产每单位试剂的成本P(x)的最小值为220.易错警示对实际问题,在审题和建模时一定不可忽略变量的范围,一般地,每个表

示实际意义的代数式必须为正,由此可得变量的范围,然后利用基本不

等式求最值.2-1某工厂去年某产品的年销售量为100万件,每件产品的销售价为10

元,每件产品的固定成本为8元,今年,工厂第一次投入100万元,并计划以

后每年比上一年多投入100万元,预计销售量从今年开始每年比上一年

增加10万件,第n次投入后,每件产品的固定成本为g(n)=

(k>0,k为常数,n∈N),若产品销售价保持不变,第n次投入后的年利润为f(n)万元.(1)求k的值及f(n)的表达式;(2)若今年是第1年,则第几年的年利润最高?最高年利润为多少万元?解析(1)当n=0时,由题意得k=8.从而f(n)=(100+10n)

-100n=1000-80×

,n∈N.(2)由(1)知f(n)=1000-80

≤1000-80×2×

=520,当且仅当

=

,即n=8时取等号.所以第8年的年利润最高,最高年利润为520万元.典例3(1)已知不等式(x+y)

≥9对任意的正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为

()A.2

B.4

C.6

D.8(2)设x>y>z,且

+

≥

(n∈N)恒成立,则n的最大值为

()A.2

B.3

C.4

D.5考点三含参问题答案(1)B(2)C解析(1)(x+y)

=1+a+

+

≥1+a+2

=(

+1)2(x,y,a>0),当且仅当y=

x时取等号,所以(x+y)·

的最小值为(

+1)2,于是(

+1)2≥9恒成立.所以a≥4,故选B.(2)因为x>y>z,所以x-y>0,y-z>0,x-z>0,不等式

+

≥

恒成立等价于n≤(x-z)

恒成立.因为x-z=(x-y)+(y-z)≥2

,

+

≥2

,所以(x-z)·

≥2

×2

=4(当且仅当x-y=y-z时等号成立),则要使n≤(x-z)

恒成立,只需使n≤4(n∈N),故n的最大值为4.1.在应用基本不等式求最值时,要把握三个条件,即“一正——各项都是

正数;二定——和或积为定值;三相等——等号能取得”,这三个条件缺

一不可.易错警示2.若无明显“定值”,则常用配凑的方法,使和为定值或积为定值.当多

次使用基本不等式时,一定要注意每次是否能保证等号成立,并且要注

意取等号的条件的一致性,否则就会出错,因此在利用基本不等式处理

问题时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤,而且也是检验转

换是否有误的一种方法.3-1已知a>0,b>0,若不等式

+

≥

恒成立,则m的最大值为(

)A.9

B.12

C.18

D.24答案

B∵

+

≥

,且a>0,b>0,∴m≤

(a+3b)=6+

+

,又

+

≥2