高中数学第十章概率10.1随机事件与概率10.1.4概率的基本性质课后提能训练

A级——基础过关练1．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20，0.30，0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为() D．【答案】A【解析】依题意，射中8环及以上的概率为0.20＋＋A．2．(2021年南昌月考)下列说法中正确的是()A．对立事件一定是互斥事件B．若A，B为随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)C．若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1D．若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A与B是对立事件【答案】A【解析】A说法显然正确；B说法错误，当事件A，B能同时发生时，不满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；C说法错误，P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；D说法错误，例如：袋中有除颜色外其余均相同的红球、黄球、黑球、绿球各1个，从袋中任意摸1个球，设事件A＝{摸到红球或黄球}，事件B＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A与B不是对立事件，但P(A)＋P(B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝1.3．(2021年沈阳月考)(多选)口袋里装有1红、2白、3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件A＝“取出的两球同色”，B＝“取出的2球中至少有一个黄球”，C＝“取出的2球中至少有一个白球”，D＝“取出的两球不同色”，E＝“取出的2球中至多有一个白球”．下列判断中正确的是()A．A与D为对立事件 B．C与E是对立事件C．P(C∪E)＝1 D．P(B)＝P(C)【答案】AC【解析】因为口袋里装有1红、2白、3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，由对立事件定义得A与D为对立事件，故A正确；C与E有可能同时发生，不是对立事件，故B错误；P(C)＝1－eq\f(6,15)＝eq\f(3,5)，P(E)＝eq\f(14,15)，P(CE)＝eq\f(8,15)，从而P(C∪E)＝P(C)＋P(E)－P(CE)＝1，故C正确；黄球与白球的个数不同，从而P(B)≠P(C)，故D错误．4．抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“向上的点数是奇数”，事件B表示“向上的点数不超过3”，则P(A∪B)＝()A．eq\f(1,2) B．eq\f(2,3)C．eq\f(5,6) D．1【答案】B【解析】(方法一)A包含向上点数是1，3，5的情况，B包含向上的点数是1，2，3的情况，所以A∪B包含了向上点数是1，2，3，5的情况，故P(A∪B)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).(方法二)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(2,6)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).故选B．5．从1，2，3，…，30这30个数中任意摸出一个数，则事件“摸出的数是偶数或能被5整除的数”的概率是()A．eq\f(7,10) B．eq\f(3,5)C．eq\f(4,5) D．eq\f(1,10)【答案】B【解析】(方法一)这30个数中“是偶数”的有15个，“能被5整除的数”有6个，这两个事件不互斥，既是偶数又能被5整除的数有3个，所以事件“是偶数或能被5整除的数”包含的样本点是18个，而样本点共有30个，所以所求的概率为eq\f(18,30)＝eq\f(3,5).(方法二)设事件A“摸出的数为偶数”，事件B“摸出的数能被5整除”，则P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(6,30)＝eq\f(1,5)，P(A∩B)＝eq\f(3,30)＝eq\f(1,10)，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,5)－eq\f(1,10)＝eq\f(3,5).故选B．6．(2021年毕节期末)如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35，0.30，0.25，则不命中靶的概率是________．【答案】0.10【解析】“射手命中圆面Ⅰ”为事件A，“命中圆环Ⅱ”为事件B，“命中圆环Ⅲ”为事件C，“不中靶”为事件D，则A，B，C彼此互斥，故射手中靶的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90.因为中靶和不中靶是对立事件，故不命中靶的概率为P(D)＝1－P(A∪B∪C)＝1－0.90＝0.10.7．已知事件A，B互斥，它们都不发生的概率为eq\f(2,5)，且P(A)＝2P(B)，则P(A)＝________．【答案】eq\f(2,5)【解析】因为事件A，B互斥，它们都不发生的概率为eq\f(2,5)，所以P(A)＋P(B)＝1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5).又因为P(A)＝2P(B)，所以P(A)＋eq\f(1,2)P(A)＝eq\f(3,5)，所以P(A)＝eq\f(2,5).8．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应概率如下表所示：排队人数01234大于或等于5概率abc已知至多3人排队等候的概率为0.72，则至少2人排队等候的概率为________．【答案】0.68【解析】由题意知至多3人排队等候的概率为0.72，则a＋b＋0.3＋0.1＝0.72，从而得到a＋b＝0.32，故至少2人排队等候的概率为1－a－b＝0.68.9．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为________．【答案】eq\f(1,12)【解析】易知试验样本点的总数为36，由log2xy＝1，得2x＝y，其中x，y∈{1，2，3，4，5，6}，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝6))共3个样本点，所以p＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).10．某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为不合格．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．(1)求此人被评为优秀的概率；(2)求此人被评为良好及以上的概率．解：将5杯饮料编号为1，2，3，4，5，编号1，2，3表示A饮料，编号4，5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)，(235)，(245)，(345)，共有10种．令D表示“此人被评为优秀”的事件，E表示“此人被评为良好”的事件，F表示“此人被评为良好及以上”的事件．(1)P(D)＝eq\f(1,10).(2)P(E)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)，P(F)＝P(D)＋P(E)＝eq\f(7,10).B级——能力提升练11．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为eq\f(1,7)，从中取出2粒都是白子的概率是eq\f(12,35).则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是()A．eq\f(1,7) B．eq\f(12,35)C．eq\f(17,35) D．1【答案】C【解析】易知事件“从中取出2粒都是黑子”和“从中取出2粒都是白子”为互斥事件，故所求的概率为eq\f(1,7)＋eq\f(12,35)＝eq\f(17,35).故选C．12．(多选)张明与李华两人做游戏，则下列游戏规则中公平的是()A．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数为奇数则张明获胜，向上的点数为偶数则李华获胜B．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，恰有一枚正面向上则张明获胜，两枚都正面向上则李华获胜C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则张明获胜，扑克牌是黑色的则李华获胜D．张明、李华两人各写一个数字6或8，两人写的数字相同则张明获胜，否则李华获胜【答案】ACD【解析】选项A中，向上的点数为奇数与向上的点数为偶数的概率相等，A符合题意；选项B中，张明获胜的概率是eq\f(1,2)，而李华获胜的概率是eq\f(1,4)，故游戏规则不公平，B不符合题意；选项C中，扑克牌是红色与扑克牌是黑色的概率相等，C符合题意；选项D中，两人写的数字相同与两人写的数字不同的概率相等，D符合题意．13．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为eq\f(3,7)，乙夺得冠军的概率为eq\f(1,4)，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．【答案】eq\f(19,28)【解析】由题意知事件“甲夺得冠军”与“乙夺得冠军”互斥，故所求事件的概率为eq\f(3,7)＋eq\f(1,4)＝eq\f(19,28).14．(2021年合肥调研)甲、乙、丙、丁四人参加4×100米接力赛，他们跑每一棒的概率均为eq\f(1,4)，则甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率为________．【答案】eq\f(5,12)【解析】设事件A＝“甲跑第一棒”，事件B＝“乙跑第四棒”，则P(A)＝eq\f(1,4)，P(B)＝eq\f(1,4).记甲跑第x棒，乙跑第y棒为(x，y)，则共有可能结果12种：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)．甲跑第一棒，乙跑第四棒只有一种结果，即(1，4)，故P(A∩B)＝eq\f(1,12)，所以甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)－eq\f(1,12)＝eq\f(5,12).15．口袋中有若干个大小形状完全相同的红球、黄球、蓝球，随机摸出一球，是红球的概率为0.45，是红球或黄球的概率为0.64，则摸出是红球或蓝球的概率是________．【答案】0.81【解析】因为摸出是红球的概率为0.45，是红球或黄球的概率为0.64，所以摸出黄球的概率为0.64－0.45＝0.19，所以摸出是红球或蓝球的概率为1－0.19＝0.81.16．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率，则当天商店不进货的概率为________．【答案】eq\f(3,10)【解析】商店不进货即日销售量少于2件，显然“日销售量为1件”与“日销售量为0件”不可能同时发生，彼此互斥，分别计算两事件发生的频率，将其视作概率，利用概率加法公式可解．记“当天商品销售量为0件”为事件A，“当天商品销售量为1件”为事件B，“当天商店不进货”为事件C，则P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,20)＋eq\f(5,20)＝eq\f(3,10).17．(2021年成都模拟)一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m＋2的概率．解：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的样本点有：1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个．从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有：1和2，1和3，共2个，因此所求事件的概率为p＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，试验的样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}，共16个样本点．又满足条件n≥m＋2的样本点有：(1，3)，(1，4)，(2，4)，共3个．所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝eq\f(3,16)，故满足条件n＜m＋2的事件的概率为1－P1＝1－eq\f(3,16)＝eq\f(13,16).C级——探索创新练18．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310(ⅰ)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润(单位：元)的平均数；(ⅱ)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．解：(1)若当天需求量n≥