八年级数学等腰三角形经典教学案

...wd......wd......wd...等腰三角形等腰三角形含义：有两条边相等的三角形。常见题：两边长和第三边，求周长。例题：两条边长分别为2和5，求周长，注意：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。等腰三角形的性质：1.等边对等角，例如：AB=AC，∠B=∠C等腰三角形的性质：2等腰△的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合〔通常称作“三线合一〞〕。注意：只有等腰三角形才有三线合一。[例1]如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求：△ABC各角的度数．3.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等〔简写成“等角对等边〞〕．4.[例2]求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．：∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC〔如图〕．求证：AB=AC．证明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B〔两直线平行，同位角相等〕，∠2=∠C〔两直线平行，内错角相等〕．又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C，∴AB=AC〔等角对等边〕．练习：：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：AB=AD．证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC〔两直线平行，内错角相等〕．又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD〔等角对等边〕．[例3]如图〔1〕，标杆AB的高为5米，为了将它固定，需要由它的中点C向地面上与点B距离相等的D、E两点拉两条绳子，使得D、B、E在一条直线上，量得DE=4米，绳子CD和CE要多长分析：这是一个与实际生活相关的问题，解决这类型问题，需要将实际问题抽象为数学模型．此题是在等腰三角形中等腰三角形的底边和底边上的高，求腰长的问题．一、复习知识要点1．有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．2．三角形按边分类：三角形3．等腰三角形是轴对称图形，其性质是：性质1：等腰三角形的两个底角相等〔简写成“等边对等角〞〕性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．4．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等〔简写成“等角对等边〞〕．二、例题例：如图，五边形ABCDE中AB=AE，BC=DE，∠ABC=∠AED，点F是CD的中点．求证：AF⊥CD.分析：要证明AF⊥CD，而点F是CD的中点，联想到这是等腰三角形特有的性质，于是连接AC、AD，证明AC=AD，利用等腰三角形“三线合一〞的性质得到结论．证明：连接AC、AD在△ABC和△AED中∴△ABC≌△AED〔SAD〕∴AC=AD〔全等三角形的对应边相等〕又∵△ACD中AF是CD边的中线〔〕∴AF⊥CD〔等腰三角形底边上的高和底边上的中线互相重合〕三、练习〔一〕、选择题1．等腰三角形的对称轴是〔〕A．顶角的平分线B．底边上的高C．底边上的中线D．底边上的高所在的直线2．等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，则该三角形的周长是〔〕A．17cmB．22cmC．17cm或22cmD．18cm3．等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是〔〕A．40°B．50°C．60°D．30°4．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是〔〕A．100°B．100°或40°C．40°D．80°5．如图1，C、E和B、D、F分别在∠GAH的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF，假设∠A=18°，则∠GEF的度数是〔〕A．80°B．90°C．100°D．108°如图1答案:1．D2．B3．A4．C5．B如图2〔二〕、填空题6．等腰△ABC的底角是60°，则顶角是________度．7．等腰三角形“三线合一〞是指___________．8．等腰三角形的顶角是n°，则两个底角的角平分线所夹的钝角是_________．9．如图2，△ABC中AB=AC，EB=BD=DC=CF，∠A=40°，则∠EDF的度数是_____．10．△ABC中，AB=AC．点D在BC边上〔1〕∵AD平分∠BAC，∴_______=________；________⊥_________；〔2〕∵AD是中线，∴∠________=∠________；________⊥________；〔3〕∵AD⊥BC，∴∠________=∠_______；_______=_______．11．△ABC中，∠A=65°，∠B=50°，则AB：BC=_________．12．AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，要使AD∥BC，则△ABC的边一定满足________．13．△ABC中，∠C=∠B，D、E分别是AB、AC上的点，AE=2cm，且DE∥BC，则AD=________．答案:6．607．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合8．〔90+n〕°9．70°10．略11．112．AB=AC13．2cm14．30海里〔三〕、解答题15．如图，CD是△ABC的中线，且CD=AB，你知道∠ACB的度数是多少吗由此你能得到一个什么结论请表达出来与你的同伴交流．16．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，求证：∠ABC=∠ADC.17．如图，△ABC中BA=BC，点D是AB延长线上一点，DF⊥AC于F交BC于E，求证：△DBE是等腰三角形．答案:15．∠ACB=90°．结论：假设一个三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形16．连接BD，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB．∵CB=CD，∴∠CBD=∠CDB．∴∠ABC=∠ADC17．证明∠D=∠BED等边三角形定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=AB．分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC至D，使CD=BC，连接AD．[例5]右图是屋架设计图的一局部，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BD、DE要多长分析：观察图形可以发现在Rt△AED与Rt△ACB中，由于∠A=30°，所以DE=AD，BC=AB，又由D是AB的中点，所以DE=AB．[例]等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高．：如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高．求：CD的长．分析：观察图形可以发现，在Rt△ADC中，AC=2a，而∠DAC是△ABC的一个外角，则∠DAC=15°×2=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，可求出CD．等边三角形一、复习知识要点1．三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形．2．等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°3．等边三角形的判定方法：〔1〕三条边都相等的三角形是等边三角形；〔2〕三个角都相等的三角形是等边三角形；〔3〕有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．4．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．二、练习〔一〕、选择题1．正△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于〔〕A．60°B．90°C．120°D．150°2．以下三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角〔每个顶点处各取一个外角〕都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有〔〕A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④3．如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF的形状是〔〕A．等边三角形B．腰和底边不相等的等腰三角形C．直角三角形D．不等边三角形4．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是〔〕A．2cmB．4cmC．8cmD．16cm5．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则对△ADE的形状最准备的判断是〔〕A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．不能确定形状答案：1．C2．D3．A4．C5．B〔二〕、填空题6．△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则∠B=_______．7．AD是等边△ABC的高，BE是AC边的中线，AD与BE交于点F，则∠AFE=______．8．等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，分别是_____________．9．△ABC中，∠B=∠C=15°，AB=2cm，CD⊥AB交BA的延长线于点D，则CD的长度是_______．答案：6．60°7．60°8．三；三边的垂直平分线9．1cm〔三〕、解答题10．D、E分别是等边△ABC中AB、AC上的点，且AE=BD，求BE与CD的夹角是多少度11．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，求证：BC=3AD.12．如图，点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，①求证：△BCE≌△ACD；②求证：CF=CH；③判断△CFH的形状并说明理由．13．如图，点E是等边△ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D满足BD=AC，且BE平分∠DBC，求∠BDE的度数．〔提示：连接CE〕答案：10．60°或120°11．∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∴在Rt△ADC中CD=2AD，∵∠BAC=120°，∴∠BAD=120°-90°=30°，∴∠B=∠BAD，∴AD=BD，∴BC=3AD12．①∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCE=∠ACD．又∵BC=AC，CE=CD，∴△BCE≌△ACD；②证明△BCF≌△ACH；③△CFH是等边三角形．13．连接CE，先证明△BCE≌△ACE得到∠BCE=∠ACE=30°，再证明△BDE≌△BCE得到∠BDE=∠BCE=30°Ⅲ、随堂练习，变式训练练习1：请同学们做课本51页的练习第一题，同时教师在黑板上补充一下题目：求等腰三角形个角度数：在等腰三角形中，有一个角的度数为36°.在等腰三角形中，有一个角的度数为110°.学生思考，练习，教师指导，并给出答案，之后引导学生对以上这种类型的题目存在的规律进展归纳总结。归纳：等腰三角形的一个内角的度数,求其它两角时,(a)假设角为钝角或直角,则它一定是顶角；(b)假设角为锐角,它可能是顶角,也可能是底角。本次变式训练中，教师应重点关注：〔1〕学生能否正确应用等腰三角形的性质；〔2〕学生是否注意到等腰三角形的地窖一定是锐角；〔3〕学生是否注意到可能的多种情况；(4)学生是否注意到等腰三角形的顶角可能是钝角，但底角一定是锐角。设计意图：及时稳固所学知识，了解学生学习效果，增强学生应用知识的能力，同时培养学生分类讨论的思想。练习2：：在△ABC中，AB=AC，BD=DC.AD=4,BC=6时，求②当时，求的度数。解:解:练习2的训练主要是让学生学会应用等腰三角形的性质2来解题。设计意图：及时稳固所学知识，了解学生学习效果，增强学生应用知识的能力，同时培养学生分类讨论的思想。Ⅳ、应用深化，稳固提高例：在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。BCBCAD解：因为AB=AC,BD=BC=AD所以∠ABC=∠C=∠BDA,∠A=∠ABD〔等边对等角〕设∠C=x,则∠BDA=∠A+∠ABD=2x从而∠ABC=∠C=∠BDA=2x于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=180°解得x=36°在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=72°，∠C=72°。通过例题讲解，教师应重点关注：〔1〕学生能否正确应用等腰三角形的性质解决问题；〔2〕学生应用所学知识的应用意识。设计意图：培养学生正确应用所学知识的应用能力，增强应用意识，参与意思，稳固所学性质。Ⅴ、课时小结请大家拿出前面剪得的等腰三角形，与小组同学一起结合图形指出你知道的内容。等腰三角形的两个底角相等〔简称“等边对等角〞〕；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。教师重点关注：①归纳、总结能力；②不同层次的学生对本节知识的认识程度；③学生独立面对困难和抑制困难的能力。设计意图：总结回忆学习内容，帮助学生归纳，激发学生主动参与的意识，为每一位学生创造在数学学习活动中获得成功的体验时机，并为程度不同的学生提供充分展示自己的时机。一、选择题〔每题6分，共30分〕每题有且只有一个正确答案1．等腰三角形〔不等边〕的角平分线、中线和高的条数总和是〔〕A．3B．5C．7D．92．在射线、角和等腰三角形中，它们〔〕轴对称图形A．都是B．只有一个是C．只有一个不是D．都不是3．如以以以下图：△ABC中，AB=AC，∠A=36°，D是AC上一点，假设∠BDC=72°，则图形中共有〔〕个等腰三角形。A．1B．2C．3D．44．三角形内有一点，它到三角形三边的距离都相等，同时与三角形三顶点的距离也都相等，则这个三角形一定是〔〕A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．非等腰三角形D．等边三角形5．△ABC中，AB=AC，AB边的中垂线与直线AC所成的角为50°，则∠B等于〔〕A．70°B．20°或70°C．40°或70°D．40°或20°二、填空题〔每题6分，共30分〕1．等腰三角形中的一个外角为130°，则顶角的度数是_______________。2．△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于D，CD=3，∠B=75°，则AB=_________________3．如以以以下图：△ABC中，AB=AC，DE是AB中垂线交AB、AC于D，E，假设△BCE的周长为24，AB=14，则BC=________，假设∠A=50°，则∠CBE=______________。4．等腰三角形中有两个角的比为1：10，则顶角的度数是__________________。5．如以以以下图：等边△ABC，D是形外一点，假设AD=AC，则∠BDC=_____________度。三、作图题〔6分〕，只画图，不写作法。如左图：直线MN及点A，B。在直线MN上作一点P，使∠APM=∠BPM。四、解答题〔第1小题12分，第2、3小题各11分〕1．：如图△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于H。求证：HB=HC。2．：如图：等边△ABC，D、E分别是BC、AC上的点，AD、BE交于N，BM⊥AD于M，假设AE=CD，求证：。3．：如图：△ABC中，AD⊥BC于D，∠BAC=120°，AB+BD=DC。求：∠C的度数。选作题：：如图：△ABC中，D是BC上一点，P是AD上一点，假设∠1=∠2，PB=PC