![高中数学选择性必修一课件:2 4 2 圆的一般方程(人教版)_第1页](http://file4.renrendoc.com/view3/M00/1B/0C/wKhkFmaPoEqAGfHmAAEMRvLJi1w989.jpg)
![高中数学选择性必修一课件:2 4 2 圆的一般方程(人教版)_第2页](http://file4.renrendoc.com/view3/M00/1B/0C/wKhkFmaPoEqAGfHmAAEMRvLJi1w9892.jpg)
![高中数学选择性必修一课件:2 4 2 圆的一般方程(人教版)_第3页](http://file4.renrendoc.com/view3/M00/1B/0C/wKhkFmaPoEqAGfHmAAEMRvLJi1w9893.jpg)
![高中数学选择性必修一课件:2 4 2 圆的一般方程(人教版)_第4页](http://file4.renrendoc.com/view3/M00/1B/0C/wKhkFmaPoEqAGfHmAAEMRvLJi1w9894.jpg)
![高中数学选择性必修一课件:2 4 2 圆的一般方程(人教版)_第5页](http://file4.renrendoc.com/view3/M00/1B/0C/wKhkFmaPoEqAGfHmAAEMRvLJi1w9895.jpg)
版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
2.4.2圆的一般方程第二章
§2.4圆的方程1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程,并能熟练地指出圆心的坐标
和半径的大小.3.能根据某些具体条件,运用待定系数法确定圆的方程.学习目标前面我们已讨论了圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,现将其展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.可见,任何一个圆的方程都可以变形为x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式.请大家思考一下,形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲线是不是圆?下面我们来探讨这一方面的问题.导语随堂演练课时对点练一、圆的一般方程的辨析二、求圆的一般方程三、圆的轨迹问题内容索引一、圆的一般方程的辨析问题1
如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0能表示圆的方程,有什么条件?当D2+E2-4F>0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆.问题2
当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示什么图形?条件图形D2+E2-4F<0不表示任何图形D2+E2-4F=0D2+E2-4F>0表示以
为圆心,以
为半径的圆1.圆的一般方程:当D2+E2-4F>0时,二元二次方程_________________
称为圆的一般方程.2.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形x2+y2+Dx+Ey+F=0知识梳理注意点:(1)二元二次方程要想表示圆,需x2和y2的系数相同且不为0,没有xy这样的二次项.(2)二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D2+E2-4F>0.注意点:(1)二元二次方程要想表示圆,需x2和y2的系数相同且不为0,没有xy这样的二次项.(2)二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D2+E2-4F>0.例1
若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆.(1)求实数m的取值范围;解由表示圆的充要条件,得(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0,(2)写出圆心坐标和半径.解将方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0写成标准方程为(x+m)2+(y-1)2=1-5m,反思感悟圆的一般方程的辨析(1)由圆的一般方程的定义,若D2+E2-4F>0成立,则表示圆,否则不表示圆.(2)将方程配方后,根据圆的标准方程的特征求解.跟踪训练1
(1)若方程2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0)表示圆,则圆心坐标和半径分别为________________.解析方程2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0),(2)点M,N在圆x2+y2+kx+2y-4=0上,且点M,N关于直线x-y+1=0对称,则该圆的面积为_____.由圆的性质,知直线x-y+1=0经过圆心,9π∴该圆的面积为9π.(2)点M,N在圆x2+y2+kx+2y-4=0上,且点M,N关于直线x-y+1=0对称,则该圆的面积为_____.由圆的性质,知直线x-y+1=0经过圆心,9π∴该圆的面积为9π.二、求圆的一般方程例2
已知A(2,2),B(5,3),C(3,-1).(1)求△ABC的外接圆的一般方程;解设△ABC外接圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,即△ABC的外接圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0.(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上,求a的值.解由(1)知,△ABC的外接圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0,∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上,∴a2+22-8a-2×2+12=0,即a2-8a+12=0,解得a=2或6.反思感悟求圆的方程的策略(1)几何法:由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径,得到圆的方程;(2)待定系数法:选择圆的一般方程或标准方程,根据条件列关于a,b,r或D,E,F的方程组解出系数得到方程.∵圆心在直线x+y-1=0上,即D+E=-2. ①∴D2+E2=20. ②又∵圆心在第二象限,故圆的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0.三、圆的轨迹问题问题3
轨迹和轨迹方程有什么区别?提示轨迹是指点在运动变化中形成的图形,比如直线、圆等.轨迹方程是点的坐标满足的关系式.例3
点A(2,0)是圆x2+y2=4上的定点,点B(1,1)是圆内一点,P,Q为圆上的动点.(1)求线段AP的中点M的轨迹方程;解设线段AP的中点为M(x,y),由中点公式,得点P的坐标为(2x-2,2y).∵点P在圆x2+y2=4上,∴(2x-2)2+(2y)2=4,故线段AP的中点M的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ的中点N的轨迹方程.解设线段PQ的中点为N(x,y),在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|.设O为坐标原点,连接ON(图略),则ON⊥PQ,∴|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,∴x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4,故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.延伸探究1.在本例条件不变的情况下,求过点B的弦的中点T的轨迹方程.解设T(x,y).因为点T是弦的中点,所以OT⊥BT.当斜率存在时,有kOT·kBT=-1.整理得x2+y2-x-y=0.当x=0或1时,点(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)也都在圆上.故所求轨迹方程为x2+y2-x-y=0.2.本例条件不变,求BP的中点E的轨迹方程.解设点E(x,y),P(x0,y0).整理得x0=2x-1,y0=2y-1,∵点P在圆x2+y2=4上,∴(2x-1)2+(2y-1)2=4,反思感悟求与圆有关的轨迹问题的方程(1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程.(2)定义法:根据圆、直线等定义列方程.(3)代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等.跟踪训练3
已知△ABC的边AB长为4,若BC边上的中线为定长3,求顶点C的轨迹方程.解以直线AB为x轴,AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(如图),则A(-2,0),B(2,0),设C(x,y),BC的中点D(x0,y0).将①代入②,整理得(x+6)2+y2=36.∵点C不能在x轴上,∴y≠0.综上,点C的轨迹是以(-6,0)为圆心,6为半径的圆,去掉(-12,0)和(0,0)两点.轨迹方程为(x+6)2+y2=36(y≠0).1.知识清单:(1)圆的一般方程.(2)求动点的轨迹方程.2.方法归纳:待定系数法、几何法、定义法、代入法.3.常见误区:忽视圆的一般方程表示圆的条件.课堂小结随堂演练1.若x2+y2-x+y-2m=0是一个圆的方程,则实数m的取值范围是√1234解析根据题意,得(-1)2+12-4×(-2m)>0,2.已知圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2,3),D,E分别为A.4,-6 B.-4,-6C.-4,6 D.4,6√1234又已知该圆的圆心坐标为(-2,3),∴D=4,E=-6.3.(多选)圆x2+y2-4x-1=0A.关于点(2,0)对称B.关于直线y=0对称C.关于直线x+3y-2=0对称D.关于直线x-y+2=0对称√1234√√解析x2+y2-4x-1=0⇒(x-2)2+y2=5,即圆心的坐标为(2,0).A项,圆是关于圆心对称的中心对称图形,而点(2,0)是圆心,故正确;B项,圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形,直线y=0过圆心,故正确;C项,圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形,直线x+3y-2=0过圆心,故正确;D项,圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形,直线x-y+2=0不过圆心,故不正确.12344.已知△ABC的顶点A(0,0),B(4,0),且AC边上的中线BD的长为3,则顶点C的轨迹方程是____________________.(x-8)2+y2=36(y≠0)1234解析设C(x,y)(y≠0),∵B(4,0),且AC边上的中线BD长为3,即(x-8)2+y2=36(y≠0).课时对点练√解析根据题意,若方程表示圆,则有(2a)2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0,解得a<1,基础巩固12345678910111213141516√√2.已知圆的方程为x2+y2+2ax+9=0,圆心坐标为(5,0),则它的半径为√解析圆的方程x2+y2+2ax+9=0,即(x+a)2+y2=a2-9,它的圆心坐标为(-a,0),可得a=-5,123456789101112131415163.(多选)下列结论正确的是A.任何一个圆的方程都可以写成一个二元二次方程B.圆的一般方程和标准方程可以互化C.方程x2+y2-2x+4y+5=0表示圆D.若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,
+Dx0+Ey0+F>0√12345678910111213141516√√解析AB显然正确;C中方程可化为(x-1)2+(y+2)2=0,所以表示点(1,-2);D正确.4.已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=1过点A(1,0),则圆C的圆心的轨迹是A.点 B.直线C.线段 D.圆√解析∵圆C:(x-a)2+(y-b)2=1过点A(1,0),∴(1-a)2+(0-b)2=1,∴(a-1)2+b2=1,∴圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心,1为半径的圆.123456789101112131415165.圆C:x2+y2-4x+2y=0关于直线y=x+1对称的圆的方程是A.(x+1)2+(y-2)2=5 B.(x+4)2+(y-1)2=5C.(x+2)2+(y-3)2=5 D.(x-2)2+(y+3)2=5√解析把圆C的方程化为标准方程为(x-2)2+(y+1)2=5,∴圆心C(2,-1).设圆心C关于直线y=x+1的对称点为C′(x0,y0),12345678910111213141516∴圆C关于直线y=x+1对称的圆的方程为(x+2)2+(y-3)2=5.6.若当方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆取得最大面积时,则直线y=(k-1)x+2的倾斜角α等于√12345678910111213141516所以当k=0时圆的半径最大,面积也最大,此时直线的斜率为-1,7.过三点O(0,0),M(1,1),N(4,2)的圆的方程为__________________.x2+y2-8x+6y=0解析设过三点O(0,0),M(1,1),N(4,2)的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,12345678910111213141516故所求圆的方程为x2+y2-8x+6y=0.x2+y2-4x-5=0解析设圆C的圆心坐标为(a,0)(a>0),12345678910111213141516解得a=2(a=-2舍去),所以圆C的方程为x2+y2-4x-5=0.9.已知方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0表示一个圆.(1)求t的取值范围;解圆的方程化为[x-(t+3)]2+[y+(1-4t2)]2=1+6t-7t2.12345678910111213141516(2)求这个圆的圆心坐标和半径;12345678910111213141516(3)求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程.10.如图,已知线段AB的中点C的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,求线段AB的端点B的轨迹方程.12345678910111213141516解设B点坐标是(x,y),点A的坐标是(x0,y0),由于点C的坐标是(4,3)且点C是线段AB的中点,12345678910111213141516于是有x0=8-x
,y0=6-y. ①因为点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,所以点A的坐标满足方程(x+1)2+y2=4,把①代入②,得(8-x+1)2+(6-y)2=4,整理,得(x-9)2+(y-6)2=4.所以点B的轨迹方程为(x-9)2+(y-6)2=4.11.圆x2+y2-ax-2y+1=0关于直线x-y-1=0对称的圆的方程是x2+y2-4x+3=0,则a的值为A.0 B.1 C.2 D.3√12345678910111213141516综合运用又两圆关于直线x-y-1=0对称,12.圆x2+y2-2x+6y+8=0的面积为A.8π B.4πC.2π D.π√解析原方程可化为(x-1)2+(y+3)2=2,1234567891011121314151613.已知圆C经过点(4,2),(1,3)和(5,1),则圆C与两坐标轴的四个截距之和为_____.-21234567891011121314151612345678910111213141516解析设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将(4,2),(1,3),(5,1)代入方程中,所以圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0.令x=0,则y2+4y-20=0,由根与系数的关系得y1+y2=-4;令y=0,则x2-2x-20=0,由根与系数的关系得x1+x2=2,故圆C与两坐标轴的四个截距之和为y1+y2+x1+x2=-4+2=-2.14.设直线2x+3y+1=0和圆x2+y2-2x-3=0相交于点A,B,则弦AB的垂直平分线的方程是_____________.解析圆的方程x2+y2-2x-3=0,化为标准方程为(x-1)2+y2=4,圆心坐标为(1,0),123456789101112131415163x-2y-3=0即3x-2y-3=0.15.已知点P(7,3),圆M:x2+y2-2x-10y+25=0,点Q为圆M上一点,点S在x轴上,则|SP|+|SQ|的最小值为A.7 B.8 C.9 D.10√拓广探究12345678910111213141516解析由题意知圆M的方程可化为(x-1)2+(y-5)2=1,所以圆心为M(1,5),半径为1.如图所示,作点P(7,3)关于x轴的对称点P′(7,-3),连接MP′,交圆M于点Q,交x轴于点S,此时|SP|+|SQ|的值最小,否则,在x轴上另取一点S′,连接S′P,S′P′,S′Q,由于P与P′关于x轴对称,所以|SP|=|SP′|,|S′P|=|S′P′|,所以|SP|+|SQ|=|SP′|+|SQ|=|P′Q|<|S′P′|+|S′Q|=|S′P|+|S′Q|.1234567891011121314151616.在平面直角坐标系xOy中,长度为2的线段EF的两端点E,F分别在两坐标轴上运动.(1)求线段EF的中点G的轨迹C的方程;12345678910111213141516解设G(x,y),由中点坐标公式得E(2x,0),F(0,2y),整理得x2+y2=1,∴线段EF的中点G的轨迹C的方程为x2+y2=1.(2)设轨迹C与x轴交于A1,A2两点,P是轨迹C上异于A1,A2的任意一点,直线PA1交直线l:x=3于M点,直线PA2交直线l于N点,求证:以MN为直径的圆C总过定点,并求出定点坐标.12345678910111213141516解由已知设A1(
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 0-6岁运动发展特点
- 高中二年级下学期生物《生态系统组成成分关系图》教学课件
- 土地工程监理大纲
- 卫生间改造装饰装修工程
- 轮船维修施工方案
- 气象行业职业技能竞赛(公共气象服务)考试题库大全-下(多选、判断题)
- 2024年石油钻井工技能竞赛考试题库大全-下(判断题)
- 2024年江苏职业技能大赛中职(中式烹饪赛项)考试题库(含答案)
- 办公文员综合素质的提升测试
- 统编版(2024)七年级上册道德与法治1.2《规划初中生活》教案
- 初中英语教研活动分享课件
- 涂料生产工艺
- 儿童文学-第一章课件
- 《三角形的面积》(教学设计)五年级上册数学苏教版
- 品管知识培训从入门到通
- 供货方案及供货进度合理性
- 农夫与蛇故事教学PPT模版12
- 常见先天性心脏病
- 四川省建设工程工程量清单计价定额解释
- 服装督导巡店工作检查表
- ISO9001-版质量管理手册
评论
0/150
提交评论