高中数学选择性必修一课件：2 4 2 圆的一般方程(人教版)

2.4.2圆的一般方程第二章

§2.4圆的方程1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标

和半径的大小.3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.学习目标前面我们已讨论了圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，现将其展开可得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.可见，任何一个圆的方程都可以变形为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式.请大家思考一下，形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程表示的曲线是不是圆？下面我们来探讨这一方面的问题.导语随堂演练课时对点练一、圆的一般方程的辨析二、求圆的一般方程三、圆的轨迹问题内容索引一、圆的一般方程的辨析问题1

如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圆的方程，有什么条件？当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆.问题2

当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？条件图形D2＋E2－4F<0不表示任何图形D2＋E2－4F＝0D2＋E2－4F>0表示以

为圆心，以

为半径的圆1.圆的一般方程：当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程_________________

称为圆的一般方程.2.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0知识梳理注意点：(1)二元二次方程要想表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项.(2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0.注意点：(1)二元二次方程要想表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项.(2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0.例1

若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆.(1)求实数m的取值范围；解由表示圆的充要条件，得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，(2)写出圆心坐标和半径.解将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，反思感悟圆的一般方程的辨析(1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆.(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解.跟踪训练1

(1)若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆，则圆心坐标和半径分别为________________.解析方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)，(2)点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为_____.由圆的性质，知直线x－y＋1＝0经过圆心，9π∴该圆的面积为9π.(2)点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为_____.由圆的性质，知直线x－y＋1＝0经过圆心，9π∴该圆的面积为9π.二、求圆的一般方程例2

已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1).(1)求△ABC的外接圆的一般方程；解设△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，即△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.(2)若点M(a，2)在△ABC的外接圆上，求a的值.解由(1)知，△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0，∵点M(a，2)在△ABC的外接圆上，∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0，即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或6.反思感悟求圆的方程的策略(1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程；(2)待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列关于a，b，r或D，E，F的方程组解出系数得到方程.∵圆心在直线x＋y－1＝0上，即D＋E＝－2. ①∴D2＋E2＝20. ②又∵圆心在第二象限，故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.三、圆的轨迹问题问题3

轨迹和轨迹方程有什么区别？提示轨迹是指点在运动变化中形成的图形，比如直线、圆等.轨迹方程是点的坐标满足的关系式.例3

点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点.(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；解设线段AP的中点为M(x，y)，由中点公式，得点P的坐标为(2x－2,2y).∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程.解设线段PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.延伸探究1.在本例条件不变的情况下，求过点B的弦的中点T的轨迹方程.解设T(x，y).因为点T是弦的中点，所以OT⊥BT.当斜率存在时，有kOT·kBT＝－1.整理得x2＋y2－x－y＝0.当x＝0或1时，点(0,0)，(0,1)，(1,0)，(1,1)也都在圆上.故所求轨迹方程为x2＋y2－x－y＝0.2.本例条件不变，求BP的中点E的轨迹方程.解设点E(x，y)，P(x0，y0).整理得x0＝2x－1，y0＝2y－1，∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－1)2＋(2y－1)2＝4，反思感悟求与圆有关的轨迹问题的方程(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.(3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.跟踪训练3

已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程.解以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(如图)，则A(－2,0)，B(2,0)，设C(x，y)，BC的中点D(x0，y0).将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.∵点C不能在x轴上，∴y≠0.综上，点C的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点.轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0).1.知识清单：(1)圆的一般方程.(2)求动点的轨迹方程.2.方法归纳：待定系数法、几何法、定义法、代入法.3.常见误区：忽视圆的一般方程表示圆的条件.课堂小结随堂演练1.若x2＋y2－x＋y－2m＝0是一个圆的方程，则实数m的取值范围是√1234解析根据题意，得(－1)2＋12－4×(－2m)>0，2.已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为(－2,3)，D，E分别为A.4，－6 B.－4，－6C.－4,6 D.4,6√1234又已知该圆的圆心坐标为(－2,3)，∴D＝4，E＝－6.3.(多选)圆x2＋y2－4x－1＝0A.关于点(2,0)对称B.关于直线y＝0对称C.关于直线x＋3y－2＝0对称D.关于直线x－y＋2＝0对称√1234√√解析x2＋y2－4x－1＝0⇒(x－2)2＋y2＝5，即圆心的坐标为(2,0).A项，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2,0)是圆心，故正确；B项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y＝0过圆心，故正确；C项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x＋3y－2＝0过圆心，故正确；D项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x－y＋2＝0不过圆心，故不正确.12344.已知△ABC的顶点A(0,0)，B(4,0)，且AC边上的中线BD的长为3，则顶点C的轨迹方程是____________________.(x－8)2＋y2＝36(y≠0)1234解析设C(x，y)(y≠0)，∵B(4,0)，且AC边上的中线BD长为3，即(x－8)2＋y2＝36(y≠0).课时对点练√解析根据题意，若方程表示圆，则有(2a)2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，解得a<1，基础巩固12345678910111213141516√√2.已知圆的方程为x2＋y2＋2ax＋9＝0，圆心坐标为(5,0)，则它的半径为√解析圆的方程x2＋y2＋2ax＋9＝0，即(x＋a)2＋y2＝a2－9，它的圆心坐标为(－a，0)，可得a＝－5，123456789101112131415163.(多选)下列结论正确的是A.任何一个圆的方程都可以写成一个二元二次方程B.圆的一般方程和标准方程可以互化C.方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0表示圆D.若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，

＋Dx0＋Ey0＋F>0√12345678910111213141516√√解析AB显然正确；C中方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝0，所以表示点(1，－2)；D正确.4.已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，则圆C的圆心的轨迹是A.点 B.直线C.线段 D.圆√解析∵圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，∴(1－a)2＋(0－b)2＝1，∴(a－1)2＋b2＝1，∴圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1为半径的圆.123456789101112131415165.圆C：x2＋y2－4x＋2y＝0关于直线y＝x＋1对称的圆的方程是A.(x＋1)2＋(y－2)2＝5 B.(x＋4)2＋(y－1)2＝5C.(x＋2)2＋(y－3)2＝5 D.(x－2)2＋(y＋3)2＝5√解析把圆C的方程化为标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5，∴圆心C(2，－1).设圆心C关于直线y＝x＋1的对称点为C′(x0，y0)，12345678910111213141516∴圆C关于直线y＝x＋1对称的圆的方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝5.6.若当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α等于√12345678910111213141516所以当k＝0时圆的半径最大，面积也最大，此时直线的斜率为－1，7.过三点O(0,0)，M(1,1)，N(4,2)的圆的方程为__________________.x2＋y2－8x＋6y＝0解析设过三点O(0,0)，M(1,1)，N(4,2)的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，12345678910111213141516故所求圆的方程为x2＋y2－8x＋6y＝0.x2＋y2－4x－5＝0解析设圆C的圆心坐标为(a，0)(a>0)，12345678910111213141516解得a＝2(a＝－2舍去)，所以圆C的方程为x2＋y2－4x－5＝0.9.已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示一个圆.(1)求t的取值范围；解圆的方程化为[x－(t＋3)]2＋[y＋(1－4t2)]2＝1＋6t－7t2.12345678910111213141516(2)求这个圆的圆心坐标和半径；12345678910111213141516(3)求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程.10.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹方程.12345678910111213141516解设B点坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，由于点C的坐标是(4,3)且点C是线段AB的中点，12345678910111213141516于是有x0＝8－x

，y0＝6－y. ①因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4，把①代入②，得(8－x＋1)2＋(6－y)2＝4，整理，得(x－9)2＋(y－6)2＝4.所以点B的轨迹方程为(x－9)2＋(y－6)2＝4.11.圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0关于直线x－y－1＝0对称的圆的方程是x2＋y2－4x＋3＝0，则a的值为A.0 B.1 C.2 D.3√12345678910111213141516综合运用又两圆关于直线x－y－1＝0对称，12.圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的面积为A.8π B.4πC.2π D.π√解析原方程可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝2，1234567891011121314151613.已知圆C经过点(4,2)，(1,3)和(5,1)，则圆C与两坐标轴的四个截距之和为_____.－21234567891011121314151612345678910111213141516解析设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将(4,2)，(1,3)，(5,1)代入方程中，所以圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.令x＝0，则y2＋4y－20＝0，由根与系数的关系得y1＋y2＝－4；令y＝0，则x2－2x－20＝0，由根与系数的关系得x1＋x2＝2，故圆C与两坐标轴的四个截距之和为y1＋y2＋x1＋x2＝－4＋2＝－2.14.设直线2x＋3y＋1＝0和圆x2＋y2－2x－3＝0相交于点A，B，则弦AB的垂直平分线的方程是_____________.解析圆的方程x2＋y2－2x－3＝0，化为标准方程为(x－1)2＋y2＝4，圆心坐标为(1,0)，123456789101112131415163x－2y－3＝0即3x－2y－3＝0.15.已知点P(7,3)，圆M：x2＋y2－2x－10y＋25＝0，点Q为圆M上一点，点S在x轴上，则|SP|＋|SQ|的最小值为A.7 B.8 C.9 D.10√拓广探究12345678910111213141516解析由题意知圆M的方程可化为(x－1)2＋(y－5)2＝1，所以圆心为M(1,5)，半径为1.如图所示，作点P(7,3)关于x轴的对称点P′(7，－3)，连接MP′，交圆M于点Q，交x轴于点S，此时|SP|＋|SQ|的值最小，否则，在x轴上另取一点S′，连接S′P，S′P′，S′Q，由于P与P′关于x轴对称，所以|SP|＝|SP′|，|S′P|＝|S′P′|，所以|SP|＋|SQ|＝|SP′|＋|SQ|＝|P′Q|<|S′P′|＋|S′Q|＝|S′P|＋|S′Q|.1234567891011121314151616.在平面直角坐标系xOy中，长度为2的线段EF的两端点E，F分别在两坐标轴上运动.(1)求线段EF的中点G的轨迹C的方程；12345678910111213141516解设G(x，y)，由中点坐标公式得E(2x，0)，F(0,2y)，整理得x2＋y2＝1，∴线段EF的中点G的轨迹C的方程为x2＋y2＝1.(2)设轨迹C与x轴交于A1，A2两点，P是轨迹C上异于A1，A2的任意一点，直线PA1交直线l：x＝3于M点，直线PA2交直线l于N点，求证：以MN为直径的圆C总过定点，并求出定点坐标.12345678910111213141516解由已知设A1(