高中数学选择性必修一课件：1 1 1 第1课时 空间向量及其线性运算(人教A版)

第1课时

空间向量及其线性运算第一章

1.1.1空间向量及其线性运算1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程.3.掌握空间向量的线性运算.学习目标国庆期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那么他实际发生的位移是什么？又如何表示呢？导语随堂演练课时对点练一、空间向量的有关概念二、空间向量的加减运算三、空间向量的数乘运算内容索引一、空间向量的有关概念1.在空间，把具有

和

的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的

或

.空间向量用有向线段表示，有向线段的

表示空间向量的模，a的起点是A，终点是B，则a也可记作

，其模记为

或

.知识梳理方向大小长度模长度|a|2.几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量规定长度为0的向量叫做

，记为0单位向量

的向量叫做单位向量相反向量与向量a长度

而方向

的向量，叫做a的相反向量，记为____零向量模为1相等相反－a共线向量如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线__________

，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量

，即对于任意向量a，都有0

a相等向量方向

且模

的向量称为相等向量.在空间，_____且

的有向线段表示同一向量或相等向量互相平行或重合平行∥相同相等同向等长注意点：(1)平面向量是一种特殊的空间向量.(2)两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同.(3)向量不能比较大小.(4)共线向量不一定具备传递性，比如0.注意点：(1)平面向量是一种特殊的空间向量.(2)两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同.(3)向量不能比较大小.(4)共线向量不一定具备传递性，比如0.例1

(1)下列关于空间向量的说法中正确的是A.单位向量都相等B.若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反D.相等向量其方向必相同√解析A中，单位向量长度相等，方向不确定；B中，|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定；C中，向量不能比较大小.(2)(多选)下列命题为真命题的是A.若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝bB.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有C.若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝pD.空间中，a∥b，b∥c，则a∥c√√解析A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同；C为真命题，向量的相等满足传递性；D为假命题，平行向量不一定具有传递性，当b＝0时，a与c不一定平行.反思感悟空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念.跟踪训练1

如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，二、空间向量的加减运算二、空间向量的加减运算问题

空间中的任意两个向量是否共面？为什么？提示共面，任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此空间中向量的加减运算与平面中一致.加法运算三角形法则语言叙述首尾顺次相接，首指向尾为和图形叙述

平行四边形法则语言叙述共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和图形叙述

知识梳理减法运算三角形法则语言叙述共起点，连终点，方向指向被减向量图形叙述

加法运算交换律a＋b＝b＋a结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)注意点：(1)求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，可以共起点.(2)三角形法则、平行四边形法则在空间向量中也适用.例2

(1)(多选)如图，在正方体ABCD

－A1B1C1D1中，下列各式运算结果为

的是√√0解析方法一(转化为加法运算)方法二(转化为减法运算)反思感悟空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接.(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.跟踪训练2

如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果.三、空间向量的数乘运算定义与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘几何意义λ>0λa与向量a的方向______λa的长度是a的长度的

倍λ<0λa与向量a的方向______λ＝0λa＝0，其方向是任意的运算律结合律λ(μa)＝_____分配律(λ＋μ)a＝

，λ(a＋b)＝_______知识梳理相同相反|λ|(λμ)aλa＋μaλa＋λb注意点：(1)当λ＝0或a＝0时，λa＝0.(2)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度.(3)向量λa与向量a一定是共线向量.例3

如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：解∵P是C1D1的中点，解∵N是BC的中点，解∵M是AA1的中点，延伸探究

1.例3的条件不变，试用a，b，c表示向量解因为P，N分别是D1C1，BC的中点，反思感悟

利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量.(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.跟踪训练3

已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O，Q是CD的中点，求下列各题中x，y的值.∴x＝2，y＝－2.1.知识清单：(1)向量的相关概念.(2)向量的线性运算(加法、减法和数乘).(3)向量的线性运算的运算律.2.方法归纳：类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想.3.常见误区：应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数.课堂小结随堂演练1.(多选)下列命题中，真命题是A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C.只有零向量的模等于0D.共线的单位向量都相等√1234√√解析容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量.√1234A.平行四边形 B.空间四边形C.等腰梯形 D.矩形√1234∴四边形ABCD为平行四边形.412341234解析根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：课时对点练1.下列说法中正确的是A.空间中共线的向量必在同一条直线上B.

的充要条件是A与C重合，B与D重合C.数乘运算中，λ既决定大小，又决定方向D.在四边形ABCD中，一定有√基础巩固12345678910111213141516解析对于A，向量共线是指表示向量的有向线段所在直线平行或重合，所以A错误；12345678910111213141516对于C，λ既决定大小又决定方向，所以C正确；综上可知，正确的为B.2.向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是A.a＝b B.a＋b为实数0C.a与b方向相同 D.|a|＝3√解析向量a，b互为相反向量，则a，b模相等，方向相反，故选D.123456789101112131415163.如图，在四棱柱的上底面ABCD中，

则下列向量相等的是√12345678910111213141516A.a＋b－c B.a－b＋cC.b－a－c D.b－a＋c√12345678910111213141516√123456789101112131415166.(多选)已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，则下列四式中正确的有12345678910111213141516√√√C显然正确；1234567891011121314151612345678910111213141516又∵M是AA1的中点，123456789101112131415169.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中点.化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量.1234567891011121314151612345678910111213141516解因为M是BB1的中点，123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516√12345678910111213141516综合运用12.如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AC与BD的交点为O，点M在BC′上，且BM＝2MC′，则

等于√12345678910111213141516解析因为BM＝2MC′，12345678910111213141516在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，12345678910111213141516解析在四面体ABCD中，E，G分别是CD，BE的中点，1234567891011121314151614.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点.1234567891011121314151612345678910111213141516拓广探究1234567891011121314151661234567891011121314151616.如图，已知ABCD－A′B′C′D′是平行六面体.12345678910111213141516解如图，取AA′的中点E，在D′C′上取一点F，使D′F＝2FC′，连接EF，12345678910111213141516备用工具&资料16.如图，已知ABCD－A′B′C′D′是平行六面体.12345678910111213141516解如图，取AA′的中点E，在D′C′上取一点F，使D′F＝2FC