高中数学选择性必修一课件：习题课 空间向量的应用(人教A版)

习题课空间向量的应用课标要求素养要求通过对空间向量的学习，能熟练利用空间向量判断(或证明)空间线、面的位置关系，求点、线、面间的距离、空间角，及解决有关探索性问题.通过空间向量的应用，进一步提升学生的逻辑推理及数学运算素养.新知探究利用向量解决几何问题具有快捷、有效的特征.一般方法如下：先将原问题转化为等价的向量问题，即将已知条件中的角转化为向量的夹角，线段长度转化为向量的模，并用已知向量表示出未知向量，然后利用向量的运算解决该向量问题，从而原问题得解.本节我们对空间向量的应用进行总结，学会利用空间向量的有关知识解决立体几何中的综合问题.1.判断(证明)空间线、面的位置关系问题

主要是判断(证明)线、面之间的平行、垂直关系，一般是转化为判断直线的方向向量与平面的法向量的关系.2.求空间点、线、面的距离与空间角

线线距可转化为点线距，线面距、面面距可转化为点面距.求线线、线面、面面角时，注意与向量夹角之间的区别与联系.3.探究性问题

一般以解答题形式呈现，常涉及线、面平行、垂直位置关系的探究或空间角的计算问题.求解时，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，利用空间向量，进行逻辑推理.拓展深化[微判断]1.直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面平行.()

提示直线也可能在平面内.2.如果a，b与平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量.(

)

提示当a，b共线时，n就不一定是平面α的一个法向量.3.直线与平面所成的角就是直线的方向向量与平面的法向量所成的角.()

提示直线与平面所成的角的余角等于直线的方向向量与平面的法向量所成的角或其补角.×××[微训练]1.若直线l∥α，且l的一个方向向量为(m，2m，1)，平面α的一个法向量为(1，2，4)，则m为(

)答案B2.若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y，2)，平面β的一个法向量为u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z＝________.答案－33.已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG＝2，E，F分别是AB，AD的中点，则点C到平面GEF的距离为________.[微思考]

利用向量坐标解决立体几何问题的关键、难点是什么？

提示利用向量坐标解决立体几何问题的关键在于找准位置，建立适当、正确的空间直角坐标系，难点是在已建好的坐标系中表示出已知点的坐标，只有正确表示出已知点的坐标，才能通过向量的坐标运算，实现几何问题的代数化解法.[微思考]

利用向量坐标解决立体几何问题的关键、难点是什么？

提示利用向量坐标解决立体几何问题的关键在于找准位置，建立适当、正确的空间直角坐标系，难点是在已建好的坐标系中表示出已知点的坐标，只有正确表示出已知点的坐标，才能通过向量的坐标运算，实现几何问题的代数化解法.证明取BC中点H，连接OH，则OH∥BD，又四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∴OH⊥AC，(1)求证：AE∥平面BCF；(2)求证：CF⊥平面AEF.又四边形BDEF为平行四边形，即CF⊥AF，CF⊥AE，又AE∩AF＝A，AE，AF⊂平面AEF，∴CF⊥平面AEF.规律方法(1)恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键.(2)证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.(3)用向量证明垂直的方法①线线垂直：证明两直线的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零.②线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示.③面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示.(3)用向量证明垂直的方法①线线垂直：证明两直线的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零.②线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示.③面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示.证明如图，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，求证：平面A1AD⊥平面BCC1B1.令y1＝－1，则x1＝1，z1＝0，∴n1＝(1，－1，0).∴n1⊥n2.∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.平面MCD∩平面BCD＝CD，所以ME⊥平面BCD.因为△BCD是正三角形，所以BE⊥CD，以E点为坐标原点，ED，EB，EM所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图，解设CD的中点为E，连接ME，BE，因为△MCD是正三角形，所以ME⊥CD.又因为平面MCD⊥平面BCD，ME⊂平面MCD，【训练2】正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G，H分别是棱AB，AD，B1C1，D1C1的中点，则平面EFD1B1和平面GHDB的距离是________.解析因为平面EFD1B1∥平面GHDB，EF∥平面GHDB，所以平面EFD1B1和平面GHDB的距离，就是EF到平面GHDB的距离，也就是点F到平面GHDB的距离.(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且平面MPA与平面CPA的夹角为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值.所以AB2＋BC2＝AC2，所以△ABC为等腰直角三角形，由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.由OB，AC⊂平面ABC且OB∩AC＝O，知PO⊥平面ABC.由已知得O(0，0，0)，B(2，0，0)，设平面PAM的法向量为n＝(x，y，z).【训练3】已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC夹角的余弦值为________.解析如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz.设DA＝1，则A(1，0，0)，易知平面ABC的一个法向量为m＝(0，0，－1)，设平面AEF与平面ABC的夹角为θ，(1)证明因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，AB⊂平面

ABCD，所以AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD.又PA⊥PD，AB∩PA＝A，AB，PA⊂平面PAB，所以PD⊥平面PAB.(2)解取AD的中点O，连接PO，CO.因为PA＝PD，所以PO⊥AD.因为PO⊂平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PO⊥平面ABCD.因为CO⊂平面ABCD，所以PO⊥CO.因为AC＝CD，所以CO⊥AD.如图，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意得，A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(2，0，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，1).取x＝1，则y＝－2，z＝2，所以n＝(1，－2，2)为平面PCD的一个法向量.因为BM⊄平面PCD，所以要使BM∥平面PCD，角度2与空间角有关的探索性问题【例4－2】在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2，AA1＝3，点D为BC的中点.(1)证明设A1C交AC1于点F，则F为A1C的中点，连接DF.因为点D为BC的中点，所以在△A1BC中，A1B∥DF，而DF⊂平面AC1D，A1B⊄平面AC1D，所以A1B∥平面AC1D.所以存在符合题意的点E，此时点E为A1C的中点.规律方法(1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等.(2)对于位置探索型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数.(1)求证：AD⊥PC；(2)试确定点F的位置，使得直线EF与平面PDC所成的角和直线EF与平面ABCD所成的角相等.(2)解因为侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，PA⊂侧面PAD，所以PA⊥底面ABCD，所以直线AC，AD，AP两两垂直，以A为原点，直线AD，AC，AP为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，D(－2，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，E(－1，1，0)，P(0，0，2)，(1)证明如图所示，在平行四边形ABCD中，连接AC，令x＝1，得n＝(1，－1，－1).设平面PDC的法向量为n＝(x，y，z)，

一、素养落地1.通过学习应用空间向量解决线、面位置关系问题，求空间的距离和空间角的大小问题，使学生掌握应用空间向量解决立体几何常见问题的一般方法，在此过程中提升数学运算素养和直观想象素养.2.利用空间向量求空间角，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化.主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算.3.利用空间向量求空间的距离首先应掌握点到直线的距离、点到平面的距离的求法，其他的空间中的距离问题一般是转化为这两种距离求解.二、素养训练1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与B1D所成角大小为(

)答案D2.已知平面α内有一点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3，6)，则下列点P中，在平面α内的是(

) A.P(2，3，3) B.P(－2，0，1) C.P(－4，4，0) D.P(3，－3，4)答案A3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BD与平面A1C1D所成角的正弦值是(

)答案B4.已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量u＝(1，－3，z)，向量ν＝(3，

－2，1)与平面α平行，则z＝________.解析由题意知u⊥ν，∴3＋6＋z＝0，∴z＝－9.答案－9备用工具&资料3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BD与平面A1C1D所成角的正弦值是(

)答案B二、素养训练1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与B1D所成角大小为(

)答案D[微训练]1.若直线l∥α，且l的一个方向向量为(m，2m，1)，平面α的一个法向量为(1，2，4)，则m为(

)答