高中数学选择性必修一课件：2 1 1 倾斜角与斜率(人教A版)

第二章

§2.1直线的倾斜角与斜率2.1.1倾斜角与斜率1.了解直线的斜率和倾斜角的概念.2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率.学习目标XUEXIMUBIAO内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE知识点一直线的倾斜角1.倾斜角的定义(1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴

与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.2.直线的倾斜角α的取值范围为

.正向0°≤α<180°知识点二直线的斜率1.直线的斜率把一条直线的倾斜角α的

叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝

.正切值tanα2.斜率与倾斜角的对应关系图示

倾斜角(范围)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范围)k＝0k>0不存在k<03.过两点的直线的斜率公式过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝

.思考任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？答案由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的.思考任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？答案由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的.思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.任一直线都有倾斜角，都存在斜率.(

)2.任何一条直线有且只有一个斜率和它对应.(

)3.若直线的倾斜角为α，则0°≤α≤180°.(

)4.经过两点的直线的斜率公式适用于任何直线.(

)××××2题型探究PARTTWO一、直线的倾斜角例1

(1)已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是A.0°≤α<90° B.90°≤α<180°C.90°<α<180° D.0°<α<180°√解析直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.(2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为A.α＋45° B.α－135°C.135°－α D.α－45°√√解析根据题意，画出图形，如图所示：通过图象可知：当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.反思感悟直线倾斜角的概念和范围(1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论.(2)注意倾斜角的范围.反思感悟直线倾斜角的概念和范围(1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论.(2)注意倾斜角的范围.跟踪训练1

(1)已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为__________.60°或120°解析有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.(2)已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为________.135°解析设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°，所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°.二、直线的斜率例2经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.(1)求经过两点A(2,3)，B(4,5)的直线的斜率，并确定直线的倾斜角α；即tanα＝1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°.(2)求经过两点A(a，2)，B(3,6)的直线的斜率.解当a＝3时，斜率不存在；反思感悟求直线的斜率(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的.(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关.跟踪训练2

(1)若直线的倾斜角为135°，则直线的斜率为_____.－1(2)过点P(－2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，则m的值为_____.1三、倾斜角和斜率的应用例3已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.(1)求直线l的斜率k的取值范围；要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞).(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.解由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，∴α的取值范围是45°≤α≤135°.反思感悟倾斜角和斜率的应用(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系.(2)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解.跟踪训练3已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2).(1)求直线AB和AC的斜率；(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围.解如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，3随堂演练PARTTHREE1.(多选)下列说法正确的是A.若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°B.若k是直线的斜率，则k∈RC.任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D.任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角√12345√√2.下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是A.(4,2)与(－4,1) B.(0,3)与(3,0)C.(3，－1)与(2，－1) D.(－2,2)与(－2,5)√12345解析D项，因为x1＝x2＝－2，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在.3.若经过A(m，3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于A.2 B.1 C.－1 D.－2√12345解析设直线AB，BC的斜率分别为kAB，kBC，∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kBC，123455.经过A(m，3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是__________.(其中m≥1)123450°<α≤90°解析当m＝1时，倾斜角α＝90°；∴0°<α<90°.故0°<α≤90°.1.知识清单：(1)直线的倾斜角及其范围.(2)直线斜率的定义和斜率公式.2.方法归纳：数形结合思想.3.常见误区：忽视倾斜角范围，图形理解不清.课堂小结KETANGXIAOJIE4课时对点练PARTFOUR1.若直线过坐标平面内两点(4,2)，(1,2＋

)，则此直线的倾斜角是A.30° B.150° C.60° D.120°√基础巩固12345678910111213141516∴直线的倾斜角为150°.2.已知经过点P(3，m)和点Q(m，－2)的直线的斜率为2，则m的值为√123456789101112131415163.(多选)下列说法中，错误的是A.任何一条直线都有唯一的斜率B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大C.任何一条直线都有唯一的倾斜角D.若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等√12345678910111213141516√√解析A错，因为倾斜角为90°的直线没有斜率；B错，因为0°<α<90°时，k>0,90°<α<180°时，k<0；C显然对；若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，D错.√123456789101112131415165.直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是A.0°≤α≤90°B.90°≤α<180°C.90°≤α<180°或α＝0°D.90°≤α≤135°√123456789101112131415166.已知三点A(a，2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，实数a的值为________.12345678910111213141516解析∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kBC，7.如图，已知直线l1的倾斜角是150°，l2⊥l1，垂足为B.l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分∠BAC，则l3的倾斜角为________.1234567891011121314151630°解析因为直线l1的倾斜角为150°，所以∠BCA＝30°，8.已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标为________________.(3,0)或(0，－3)解析若点P在x轴上，设点P的坐标为P(x，0)，∴x＝3，即P(3,0).若点P在y轴上，设点P的坐标为P(0，y)，∴y＝－3，即P(0，－3).123456789101112131415169.过两点A(3－m－m2，－2m)，B(m2＋2,3－m2)的直线的倾斜角为135°，求m的值.12345678910111213141516解依题意可得，直线的斜率为－1，又直线过两点A(3－m－m2，－2m)，B(m2＋2,3－m2)，经检验m＝－1不合题意，故m＝－2.证明由于A，B，C三点共线，所以此直线的斜率既可用A，B两点的坐标表示，也可用A，C两点的坐标表示，1234567891011121314151611.已知直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率k的最大值是√12345678910111213141516综合运用解析如图，kOA＝2，kl′＝0，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故k∈[0,2].故直线l的斜率k的最大值为2.12.若三点A(3,1)，B(－2，k)，C(8,1)能构成三角形，则实数k的取值范围为____________________.12345678910111213141516(－∞，1)∪(1，＋∞)要使A，B，C三点能构成三角形，需三点不共线，13.若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系是________.12345678910111213141516k1<k3<k2解析由题图可知，k1<0，k2>0，k3>0，且l2比l3的倾斜角大.∴k1<k3<k2.14.已知O(O为坐标原点)是等腰直角三角形OAB的直角顶点，点A在第一象限，∠AOy＝15°，则斜边AB所在直线的斜率为_____.12345678910111213141516解析如图，设直线AB与x轴的交点为C，则∠ACO＝180°－∠A－∠AOC＝180°－45°－105°＝30°.15.已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(2，－1)的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是______________________.拓广探究(－∞，－1]∪[3，＋∞)解析∵直线l与线段AB有公共点，∴直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，当l的倾斜角小于90°时，k≥kPB；当l的倾斜角大于90°时，k≤kPA.∴直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞).12345678910111213141516∵点M在函数y＝－2x＋8的图象上，且x∈[2,5]，∴设该线段为AB且A(2,4)，B(5，－2).12345678910111213141516备用工具&资料15.已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(2，－1)的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是______________________.拓广探究(－∞，－1]∪[3，＋∞)解析∵直线l与线段AB有公共点，∴直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，当l的倾斜角小于90°时，k≥kPB