高中数学选择性必修一课件：第三课时 空间中直线、平面的垂直(人教A版)

第三课时空间中直线、平面的垂直课标要求素养要求1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系.利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系，判定直线、平面的垂直关系，培养学生的数学运算、直观想象素养和逻辑推理素养.新知探究观察图片，图中旗杆所在直线和地面垂直.问题1.直线的方向向量与一平面的法向量平行，则该直线与平面有什么位置关系？2.若两平面的法向量垂直，则两平面垂直吗？提示1.垂直.2.垂直.1.两直线垂直的判定方法

设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则 l1⊥l2⇔_______________⇔_________________.2.直线和平面垂直的判定方法

设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则 l⊥α⇔__________⇔∃λ∈R，使得__________.3.平面和平面垂直的判定方法

设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则 α⊥β⇔__________⇔_________________.u1⊥u2u1·u2＝0u∥nu＝λnn1⊥n2n1·n2＝0拓展深化[微判断]1.两直线的方向向量垂直，则两直线垂直.()2.若一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面垂直.()

提示若一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行或在平面内.3.若两平面垂直，则这两个平面的法向量所成的角一定是90°.(

)√×√

[微训练]1.若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1，2，－2)，b＝(－2，3，2)，则(

)A.l1∥l2 B.l1⊥l2C.l1，l2相交但不垂直 D.不能确定解析∵a·b＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.答案

B2.若直线l的一个方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的一个法向量为n＝(－2，0，－4)，则(

) A.l∥α B.l⊥α C.l⊂α D.l与α斜交解析∵n＝(－2，0，－4)＝－2(1，0，2)＝－2a，∴n∥a，∴l⊥α.答案

B3.已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为u＝(－1，0，5)，v＝(t，5，1)，则t的值为________.解析∵平面α与平面β垂直，∴平面α的法向量u与平面β的法向量v互相垂直，∴u·v＝0，即－1·t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5.答案

5[微思考]1.若两个平面的法向量不垂直，那么这两个平面垂直吗？

提示不垂直.2.若直线l的方向向量与平面α内两条相交直线的方向向量都垂直，那么l与α垂直吗？

提示垂直.[微思考]1.若两个平面的法向量不垂直，那么这两个平面垂直吗？

提示不垂直.2.若直线l的方向向量与平面α内两条相交直线的方向向量都垂直，那么l与α垂直吗？

提示垂直.法二设AB中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得规律方法利用空间向量证明两直线垂直的常用方法及步骤：(1)基向量法：①选取三个不共面的已知向量(通常是它们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底；②把两直线的方向向量用基底表示；③利用向量的数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直.(2)坐标法：①根据已知条件和图形特征，建立适当的空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标；②根据所求出点的坐标求出两直线方向向量的坐标；③计算两直线方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直.【训练1】如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AC的中点.

求证：(1)BD1⊥AC；(2)BD1⊥EB1.证明以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为1，则B(1，1，0)，D1(0，0，1)，A(1，0，0)，【训练1】如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AC的中点.

求证：(1)BD1⊥AC；(2)BD1⊥EB1.证明以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为1，则B(1，1，0)，D1(0，0，1)，A(1，0，0)，题型二直线和平面垂直【例2】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC.∴EF⊥AB1，EF⊥AC.又AB1∩AC＝A，AB1，AC⊂平面B1AC，∴EF⊥平面B1AC.规律方法证明直线与平面垂直的方法：法一选基底，将相关向量用基底表示出来，然后利用向量的计算来证明.法二、法三建立空间直角坐标系，利用坐标将向量的运算转化为实数(坐标)的运算，以达到证明的目的.【训练2】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E，F分别为CD，PB的中点.求证：EF⊥平面PAB.证明以D为坐标原点，DA的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.设E(a，0，0)，其中a＞0，则C(2a，0，0)，A(0，1，0)，B(2a，1，0)，题型三平面和平面垂直角度1平面和平面垂直的证明【例3－1】在正三棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求证：平面GEF⊥平面PBC.而PA⊥平面PBC，∴FG⊥平面PBC.又FG⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PBC.法二同法一，建立空间直角坐标系，设平面EFG的法向量是n＝(x，y，z)，角度2平面和平面垂直的探索性问题【例3－2】如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC＝4，AB＝AD＝2.证明：平面PQC⊥平面DCQ.证明如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA，DP，DC分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.一、素养落地1.通过利用向量方法解决空间中直线、平面的垂直问题，把几何问题转化为代数问题解决，提升学生的数学运算、逻辑推理素养和直观想象素养.2.用向量知识证明直线、平面垂直问题的两种基本思路：

一是用一组基底表示直线的方向向量、平面的法向量，把线、面的位置关系转化为向量的关系，利用向量的运算进行判断；

二是用向量的坐标表示直线的方向向量、平面的法向量，把直线、平面的位置关系转化为向量的共线或数量积的运算问题.二、素养训练1.设l1的一个方向向量为a＝(1，3，－2)，l2的一个方向向量为b＝(－4，3，m)，若l1⊥l2，则m等于(

)答案B2.若平面α，β的法向量分别为a＝(2，－1，0)，b＝(－1，－2，0)，则α与β的位置关系是(

) A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.无法确定解析a·b＝－2＋2＋0＝0，∴a⊥b，∴α⊥β.答案

B3.已知A(3，0，－1)，B(0，－2，－6)，C(2，4，－2)，则△ABC是(

) A.等边三角形 B.等腰三角形

C.直角三角形 D.以上都不对答案C4.若向量a＝(－1，2，－4)，b＝(2，－2，3)是平面α内的两个不共线的向量，直线l的一个方向向量m＝(2，3，1)，则l与α的位置关系是________(填“垂直”“平行”“相交但不垂直”).因为m·n＝2×2＋3×5＋1×2≠0且m与n不平行，所以l与α相交但不垂直.答案相交但不垂直5.根据下列各条件，判断相应的直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系： (1)直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，－3，－1)，b＝(8，2，2)； (2)平面α，β的法向量分别是u＝(1，3，0)，v＝(－3，－9，0)； (3)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是a＝(1，－4，－3)，u＝(2，0，3).解(1)∵a·b＝1×8＋(－3)×2＋(－1)×2＝0，∴l1⊥l2.(2)∵v＝(－3，－9，0)＝－3(1，3，0)＝－3u，∴α∥β.(3)∵a·u＝－7≠0，∴l不与α平行，也不在α内.又a，u不共线，∴l与α不垂直.故l与α斜交.三、审题答题示范(一)利用空间向量证明线面垂直【典型示例】

(12分)求证：CD⊥平面GAC①.联想解题看到①想到利用空间向量证明线面垂直，即利用向量法证明CD与平面GAC内的两条相交直线垂直.满分示范证明如图，取AD的中点为O，连接OP，OB，OC，又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD且PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD，又OE⊂平面ABCD，∴PO⊥OE.4分满分心得(1)若题设中没有给出明显的三条直线两两垂直，需要根据条件推证出来，以便建立空间直角坐标系.(2)用坐标法证明线面垂直的步骤：建系→写坐标→计算数量积→结论.备用工具&资料满分示范证明如图，取AD的中点为O，连接OP，OB，OC，

[微训练]1.若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1，2，－2)，b＝(－2，3，2)，则(

)A.l1∥l2 B.l1⊥l2C.l1，l2相交但不垂直 D.不能确定解析∵a·b＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.答案

B3.已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为u＝(－1，0，5)，v＝(t，5，1)，则t的值为________.解析∵平面α与平面β垂直，∴平