高中数学选择性必修一课件：2 2 3 直线的一般式方程(人教A版)

第二章

§2.2直线的方程2.2.3直线的一般式方程1.掌握直线的一般式方程.2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示

直线.3.会进行直线方程的五种形式之间的转化.学习目标XUEXIMUBIAO内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE知识点一直线的一般式方程关于x和y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程

(其中A，B不同时为0)叫做直线的

，简称一般式.Ax＋By＋C＝0一般式方程思考平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？答案都可以，原因如下：(1)若直线的斜率k存在.直线可表示成y＝kx＋b，可转化为kx＋(－1)y＋b＝0，这是关于x，y的二元一次方程.(2)若直线的斜率k不存在，方程可表示成x－a＝0，它可以认为是关于x，y的二元一次方程，此时方程中y的系数为0.知识点二直线的五种形式的方程形式方程局限点斜式_______________不能表示斜率不存在的直线斜截式_________不能表示斜率不存在的直线两点式_____________截距式不能表示____________________________一般式______________无y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋bx1≠x2，y1≠y2与坐标轴平行及过原点的直线Ax＋By＋C＝0思考当A＝0或B＝0时，方程Ax＋By＋C＝0分别表示什么样的直线？答案(1)若A＝0，此时B≠0，方程化为y＝

，表示与y轴垂直的一条直线.(2)若B＝0，此时A≠0，方程化为x＝

，表示与x轴垂直的一条直线.知识点三直线各种形式方程的互化知识点三直线各种形式方程的互化思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.任何直线方程都能表示为一般式.(

)2.任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化.(

)3.对于二元一次方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0，B≠0时，方程表示斜率不存在的直线.(

)4.当A，B同时为零时，方程Ax＋By＋C＝0也可表示为一条直线.(

)√×××2题型探究PARTTWO一、直线的一般式方程例1根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(2)经过点A(－1,5)，B(2，－1)两点；即2x＋y－3＝0.(3)在x轴，y轴上的截距分别为－3，－1；即x＋3y＋3＝0.(4)经过点B(4,2)，且平行于x轴.解y－2＝0.(4)经过点B(4,2)，且平行于x轴.解y－2＝0.反思感悟求直线一般式方程的策略在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式.跟踪训练1

(1)根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式.③经过点P1(3，－2)，P2(5，－4)的直线方程为____________.x＋2y＋4＝02x－y－3＝0x＋y－1＝0(2)直线2x－y－2＝0绕它与y轴的交点A按逆时针方向旋转90°所得的直线方程是A.x－2y＋4＝0 B.x＋2y－4＝0C.x－2y－4＝0 D.x＋2y＋4＝0√解析直线2x－y－2＝0与y轴的交点为A(0，－2)，二、直线的一般式方程的应用例2设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.(1)已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值；解由题意知m2－2m－3≠0，即m≠3且m≠－1，(2)已知直线l的斜率为1，求m的值.由直线l化为斜截式方程得m＝－2或m＝－1(舍去).∴m＝－2.延伸探究对于本例中的直线l的方程，若直线l与y轴平行，求m的值.解∵直线l与y轴平行，反思感悟含参直线方程的研究策略(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0.(2)令x＝0可得在y轴上的截距.令y＝0可得在x轴上的截距.若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式.(3)解分式方程要注意验根.跟踪训练2

(1)若直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a＝____.1解析由题意知a≠0，当x＝0时，y＝2；(2)已知(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0为直线l的方程，求证：不论k取何实数，直线l必过定点，并求出这个定点的坐标.解整理直线l的方程得(x＋y)＋k(x－y－2)＝0.无论k取何值，该式恒成立，所以直线l经过定点M(1，－1).核心素养之直观想象与数学运算HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANGYUSHUXUEYUNSUAN一般式下直线的平行与垂直的问题典例已知直线l1：3x＋(m＋1)y－6＝0，l2：mx＋2y－(m＋2)＝0，分别求满足下列条件的m的值.(1)l1⊥l2；解∵l1⊥l2，∴3×m＋(m＋1)×2＝0，(2)l1∥l2.解∵l1∥l2，∴3×2＝m×(m＋1)，∴m＝－3或m＝2，当m＝－3时，l1∥l2；当m＝2时，l1与l2重合，不符合题意，舍去.∴m＝－3.素养提升(1)一般式下，两直线平行与垂直的判定如下：设直线l1与l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，(2)对于这类题目既要借助图形，更要选择运算方法，通过计算，确定结果，所以突出考查直观想象与数学运算的数学核心素养.3随堂演练PARTTHREE√1234512345A.30° B.60° C.150° D.120°√3.若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为A.A≠0 B.B≠0C.A·B≠0 D.A2＋B2≠0√12345解析方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0.4.已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有直线都恒过点A.(0,0) B.(0,1) C.(3,1) D.(2,1)√12345解析kx－y＋1－3k＝0可化为y－1＝k(x－3)，所以直线过定点(3,1).5.若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是45°，则实数m的值是____.1234531.知识清单：(1)直线的一般式方程.(2)直线五种形式方程的互化.(3)利用直线方程判定直线的平行与垂直.2.方法归纳：分类讨论法、化归转化.3.常见误区：忽视直线斜率不存在情况；忽视两直线重合情况.课堂小结KETANGXIAOJIE4课时对点练PARTFOUR1.过点(2,1)，斜率k＝－2的直线方程为A.x－1＝－2(y－2) B.2x＋y－1＝0C.y－2＝－2(x－1) D.2x＋y－5＝0√基础巩固12345678910111213141516解析根据直线方程的点斜式可得，y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0.2.过点A(2,3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为A.x－2y＋4＝0 B.2x＋y－7＝0C.x－2y＋3＝0 D.x－2y＋5＝0√12345678910111213141516化简可得x－2y＋4＝0，故选A.3.直线3x－2y－4＝0的截距式方程是√123456789101112131415164.已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋2＝0与l2：x＋ay＋1＝0平行，则实数a的值为A.－1或2 B.0或2C.2 D.－1√12345678910111213141516解析由l1∥l2知，a×a＝1×(a＋2)，即a2－a－2＝0，∴a＝2或a＝－1.当a＝2时，l1与l2重合，不符合题意，舍去；当a＝－1时，l1∥l2.∴a＝－1.√123456789101112131415166.斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为______________.123456789101112131415162x－y＋1＝0解析由y－3＝2(x－1)得2x－y＋1＝0.7.已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为______.12345678910111213141516解析把(3,0)代入已知方程，得(a＋2)×3－2a＝0，∴a＝－6，∴直线方程为－4x＋45y＋12＝0，8.若直线l过点(1,3)且在两条坐标轴上的截距相等，则直线l的斜率k＝________.12345678910111213141516－1或3解析直线l经过原点时，可得斜率k＝3.直线不经过原点时，直线l过点(1,3)且在两条坐标轴上的截距相等，∴经过点(a，0)，(0，a).(a≠0).∴k＝－1.综上可得，直线l的斜率k＝－1或3.9.已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求直线l′的一般式方程，l′满足：(1)过点(－1,3)，且与l平行；方法二

由l′与l平行，可设l′方程为3x＋4y＋m＝0.将点(－1,3)代入上式得m＝－9.∴所求直线方程为3x＋4y－9＝0.12345678910111213141516(2)过点(－1,3)，且与l垂直.12345678910111213141516即4x－3y＋13＝0.方法二

由l′与l垂直，可设其方程为4x－3y＋n＝0.将(－1,3)代入上式得n＝13.∴所求直线方程为4x－3y＋13＝0.10.已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0.(1)若这两条直线垂直，求k的值；12345678910111213141516解根据题意，得(k－3)×2(k－3)＋(4－k)×(－2)＝0，(2)若这两条直线平行，求k的值.12345678910111213141516解根据题意，得(k－3)×(－2)－2(k－3)×(4－k)＝0，解得k＝3或k＝5.经检验，均符合题意.∴若这两条直线平行，则k＝3或k＝5.11.直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是√综合运用1234567891011121314151612.两条直线mx＋y－n＝0和x＋my＋1＝0互相平行的条件是√12345678910111213141516解析令m×m＝1×1，得m＝±1.当m＝1时，要使x＋y－n＝0与x＋y＋1＝0平行，需n≠－1.当m＝－1时，要使－x＋y－n＝0与x－y＋1＝0平行，需n≠1.13.直线y＝mx－3m＋2(m∈R)必过定点A.(3,2) B.(－3,2)C.(－3，－2) D.(3，－2)√12345678910111213141516解析由y＝mx－3m＋2，得y－2＝m(x－3)，所以直线必过点(3,2).14.垂直于直线3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线l的方程为______________________________.4x＋3y－12＝0或4x＋3y＋12＝0解析由题意可设与直线3x－4y－7＝0垂直的直线的方程为4x＋3y＋c＝0(c≠0)，得c2＝122，c＝±12，∴直线l的方程为4x＋3y－12＝0或4x＋3y＋12＝0.1234567891011121314151615.(多选)若直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的斜率为A.1 B.－1 C.－2 D.2√12345678910111213141516拓广探究√解析当直线ax＋y－2－a＝0过原点时，可得a＝－2.当直线ax＋y－2－a＝0不过原点时，由题意知，当a＝0时，直线l与x轴无交点，与在y轴上的截距2＋a相等，综上知，a＝－2或1.所以直线l的斜率为－1或2.1234567891011121314151616.已知在△ABC中，点A的坐标为(1,3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的方程.12345678910111213141516解设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E分别为AB，AC的中点，∵点B在中线y－1＝0上，∴设B点坐标为(x，1).又∵A点坐标为(1,3)，D为AB的中点，又∵点D在中线x－2y＋1＝0上，∴B点坐标为(5,1).1234567891011121314151612345678910111213141516同理可求出C点的坐标是(－3，－1).故可求出△ABC三边AB，BC，AC所在直线的方程分别为x＋2y－7＝0，x－4y－1＝0和x－y＋2＝0.备用工具&资料解设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E分别为AB，AC的中点，∵点B在中线y－1＝0上，∴设B点坐标为(x，1).又∵A点坐标为(1,3)，D为